有限元近似誤差對EIT正逆問題影響的定量研究及算子分解方法的應(yīng)用.pdf

1、電阻抗斷層成像(Electrical Impedance Tomography, EIT)在數(shù)學(xué)上實際是一類橢圓型偏微分方程正反問題。已知模型的幾何結(jié)構(gòu)、激勵信號的源參數(shù)、阻抗分布求解模型的電勢分布稱之為正問題(forward problem)；根據(jù)邊界電壓的測量值求阻抗分布或變化，被稱為逆問題(inverse problem)。正問題的研究主要包括數(shù)學(xué)物理理論描述、數(shù)學(xué)模型建立和大規(guī)模方程組的求解等。逆問題在數(shù)學(xué)上是不適定的、病態(tài)的，

2、即很小的誤差會對解產(chǎn)生很大的影響，這導(dǎo)致了圖像重建問題對于正問題的誤差包括測量誤差、模型誤差高度敏感。近幾十年，測量誤差的研究頗為廣泛，而模型誤差的研究報道不多。通常，模型誤差主要來源于求解域的有限元近似、未知的接觸阻抗及未知的被測組織的具體形狀等。這些模型誤差對于EIT問題是至關(guān)重要的，決定著重建效率和圖像質(zhì)量。其中有限元的近似誤差是數(shù)學(xué)與工程理論基礎(chǔ)研究的一般問題，且在EIT領(lǐng)域的研究報道很少，因此本文的研究立足點為有限元近似誤差對

3、EIT正逆問題的定量影響。
　　有限元近似誤差主要取決于網(wǎng)格剖分密度和單元插值函數(shù)階數(shù)兩個方面。本文在大量的數(shù)值試驗的基礎(chǔ)上，具體從以下幾個方面做初步討論：
　　(1) EIT正問題有限元解的誤差分析
　　通過不同的剖分規(guī)模、不同階次的插值函數(shù)，在二維正方形區(qū)域選擇特殊的橢圓型偏微分方程例子，比較三角形與四邊形剖分的數(shù)值結(jié)果。結(jié)果表明，計算精度隨著單元數(shù)目和插值函數(shù)階次的增加而提高；隨著插值函數(shù)階次的提高，計算精度增加

4、的倍數(shù)也逐次提高；并且單元數(shù)目愈多、插值函數(shù)階數(shù)愈高，計算時耗愈大。
　　推導(dǎo)二維均勻圓域模型、三層同心圓域模型的解析解公式，應(yīng)用解析方法對三層同心圓的數(shù)值解進行討論，比較FEM數(shù)值解與解析解，定量地分析FEM數(shù)值解的計算精度、收斂階、相對誤差等數(shù)值指標。結(jié)果表明，對于某一特定的高階單元如二階單元、三次單元，增加剖分規(guī)模對于其計算精度的提升作用有限，不同的剖分規(guī)模誤差只在小數(shù)點后三位有變化；對于某一特定的剖分規(guī)模，應(yīng)用高階單元對提

5、高精度作用不大，如二次、三次、四次單元間的誤差只在小數(shù)點后兩位有變化。
　　(2)有限元剖分對二維、三維圖像重建的影響
　　通過仿真實驗，給出了三種評價圖像的數(shù)值指標：重建圖像質(zhì)量函數(shù)D、結(jié)構(gòu)相似度 SSIM和誤差總和TE，運用非迭代的線性近似算法—NOSER和迭代算法—基于TV正則化算法，分別定量地討論了剖分規(guī)模對重構(gòu)圖像的影響。數(shù)值試驗表明，在NOSER算法中，隨著二維圓域的網(wǎng)格剖分不斷加密，三種數(shù)值指標顯示圖像質(zhì)量越來

6、越高；通過基于極大后驗估計的誤差模型的誤差補償后，圖像質(zhì)量有所改善；加入不同信噪比的噪聲后，雖然噪聲對重建圖像造成了諸多偽影、斑跡；但是縱向比較來看；剖分不斷加密，圖像質(zhì)量依然越來越高。當網(wǎng)格剖分規(guī)模達到一定程度時，圖像質(zhì)量提高幅度有限，故對于線性近似的非迭代算法來說，選擇中分辨網(wǎng)格即可。采用迭代算法，低分辨網(wǎng)格的模型隨著迭代次數(shù)增加圖像質(zhì)量變高，誤差總和TE減小；而高分辨網(wǎng)格的模型在迭代過程中收斂速率變慢或者不收斂，誤差增大，重建過程

7、困難。故對于基于全變差正則化的迭代重構(gòu)算法選擇低分辨網(wǎng)格和合適的迭代次數(shù)就可以重建高質(zhì)量的圖像。
　　針對三維全電極模型，隨著單元數(shù)目、節(jié)點數(shù)目的增加，邊界電壓誤差減少；用于計算正問題的網(wǎng)格從低分辨到高分辨分為七個等級，用于重建的網(wǎng)格均采用中分辨率網(wǎng)格。數(shù)值試驗表明，從低分辨網(wǎng)格到高分辨網(wǎng)格，圖像質(zhì)量越來越高，偽影減少，邊界越發(fā)清晰。
　　(3)算子分解方法在EIT中的應(yīng)用
　　算子分解方法是圖像重建方法中的一種直接方

8、法。本文得到了算子分解方法的主要數(shù)學(xué)模型和理論構(gòu)架，以及算子分解方法的正則化理論。通過仿真實驗，對于多目標模型算子分解方法能得到較好的重建結(jié)果。
　　綜上，本文從數(shù)值分析的角度，在大量的數(shù)值模擬仿真試驗的基礎(chǔ)上，定量地考察了有限元剖分、不同階數(shù)的插值函數(shù)對正問題結(jié)果的影響；結(jié)合均勻場域的解析解公式對數(shù)值解進行了誤差分析；結(jié)合不同重建算法定量地討論了有限元剖分規(guī)模對圖像重建的影響；討論了求解EIT逆問題三大類方法之一直接法中的算子分