CAGD中若干非線性樣條曲線曲面的造型方法研究.pdf

1、本文對參數(shù)曲線曲面造型中的一種新的幾何造型方法--非線性樣條曲線曲面造型進行了深入的研究。其中包括基于三角／雙曲多項式的類二次非均勻B樣條曲線曲面,基于代數(shù)多項式、三角多項式和雙曲多項式混合的非線性樣條曲線曲面以及非線性的有理插值樣條曲線曲面。主要研究工作及成果如下:
　　 ●基于三角和雙曲多項式的類二次非均勻B樣條曲線曲面
　　 (1)分別構(gòu)造了基于三角多項式和雙曲多項式的類二次非均勻B樣條,這兩種曲線擁有二次非均勻B

2、樣條的絕大多數(shù)性質(zhì)。該類曲線對于非均勻節(jié)點為C1-連續(xù)。根據(jù)形狀參數(shù)的不同取值,曲線的形狀既能整體又能局部地變化。并且毋需采用重節(jié)點技術(shù)或解方程組,就能直接插值某些控制點或控制邊。此外,它們還能精確表示橢圓、拋物線和雙曲線。
　　 (2)提出一種基于三角和雙曲多項式加權(quán)混合的類二次非均勻B樣條曲線,這種曲線具有二次非均勻B樣條曲線相似性質(zhì)。這里的權(quán)系數(shù)也是形狀參數(shù),稱之為權(quán)參數(shù),取值范圍從[0,1]擴大到[-2.6482,3.9

3、412]。權(quán)參數(shù)的不同取值可以整體或局部地調(diào)整曲線的形狀,并且權(quán)參數(shù)能象開關(guān)那樣,使得曲線的各段能非常方便地在三角樣條、雙曲樣條之間自由轉(zhuǎn)換。不需要用重節(jié)點方法或解方程組,而只要令某個或某些權(quán)參數(shù)取-2.6482,曲線就能接插值于控制點或控制邊。此外,還能精確表示橢圓(圓)和雙曲線。
　　 ●基于代數(shù)、三角和雙曲多項式混合的非線性樣條曲線曲面
　　 (1)討論了三次Bézier型的代數(shù)三角混合多項式曲線曲面面造型方法。我

4、們將多項式函數(shù)與三角函數(shù)有機融合,構(gòu)造的基函數(shù)繼承了三次Bézier基函數(shù)的特性。不像C—Bézier方法只能一側(cè)逼近三次Bézier曲線,我們構(gòu)造的曲線能從兩側(cè)逼近它。并且,曲線變動范圍比C-Bézier要大。這種曲線曲面的形狀能被整體或局部凋控。選擇合適的控制點及參數(shù),曲線能精確表示一些超越曲線曲面。
　　 (2)討論了基于三角與雙曲多項式加權(quán)混合的類三次均勻B樣條的一類非線性樣條。使用加權(quán)方法,基于三角基{1,t,cosπ

5、／2,sinπ／2}及雙曲基{1,t,cosht,sinht},構(gòu)建了一種新的三角雙曲樣條曲線,簡稱CTH—B-樣條。這種曲線除具有三次均勻B樣條相同的性質(zhì)外,還具有局部可調(diào)性,局部插值性。當(dāng)參數(shù)λ1=0或1,這種曲線比FB曲線及UE曲線更方便地轉(zhuǎn)換成不同類型的曲線,而且計算更簡單,計算上也更加穩(wěn)定。與有理方法中的權(quán)因子相比,CTH-B-樣條曲線中的參數(shù)具有明確的幾何意義。此外CTH-B-樣條曲線還可以精確表示除二次曲線以外超越曲線,像

6、螺旋線,旋輪線和懸鏈線等。
　　 ●非線性的有理插值樣條曲線曲面
　　 (1)構(gòu)建了一種帶參數(shù)的C1分段有理三次Hermite插值樣條。討論了該樣條的逼近性,給出了一種提高插值曲線曲面逼近性的方法。對于給定的插值條件,選擇合適的參數(shù),生成的插值曲線曲面在逼近效果上好于標準三次Hermite插值曲線曲面。
　　 (2)構(gòu)造了一種帶參數(shù)的c2分段有理Hermite三次樣條函數(shù)。選擇合適的參數(shù),該樣條曲線比標準C2三次

7、Hermite插值樣條曲線更加逼近被插值曲線。參數(shù)還能局部調(diào)節(jié)曲線的形狀,這給約束控制帶來了方便。研究了該種插值曲線的區(qū)域控制問題。給出了將其約束于給定的二次曲線之上、之下或之間的充分條件。
　　 (3)給出一種有理三角Hennite插值樣條,具有Hermite插值樣條相似的性質(zhì)。這種樣條含有三角多項式和參數(shù)。利用參數(shù)的不同取值可以調(diào)控插值曲線的形狀,提高它的逼近度,甚至能使曲線達到C2連續(xù)。此外,選擇合適的控制點和參數(shù),該種樣