分數(shù)傅里葉變換理論及其在信號處理中的應用.pdf

1、隨著人們對高速率、高質(zhì)量的無線通信業(yè)務需求的不斷增長,未來無線通信系統(tǒng)面臨著越來越嚴峻的挑戰(zhàn)。如何提高有限頻譜資源的利用率和有效抑制通信中的干擾是未來無線通信系統(tǒng)的核心問題。一種有效的解決辦法就是引入先進的信號處理技術(shù)。近年來,在通信領域涌現(xiàn)出許多新型信號處理技術(shù)以提高頻譜利用率和信息傳輸?shù)目煽啃?極大地豐富了傅里葉變換這一基本信號分析與處理工具的內(nèi)涵和外延。其中,分數(shù)傅里葉變換作為傅里葉變換的廣義形式,它突破了傅里葉變換只能在時域或頻

2、域范圍內(nèi)進行信號分析的局限,能夠在介于時域和頻域之間的分數(shù)域分析、處理信號。與傅里葉變換相比,分數(shù)傅里葉變換多了一個旋轉(zhuǎn)角度的自由參數(shù),隨著角度從0連續(xù)增長到π/2,它能夠展示出信號從時域逐漸變化到頻域的所有特征。當研究信號的表達、傳輸、濾波、分離、估計或檢測等基本問題時,傅里葉變換僅能給出基于單一時域或頻域的分析結(jié)果,而分數(shù)傅里葉變換可以基于包括時、頻域在內(nèi)的多個角度分數(shù)域?qū)π盘栠M行對比分析,從而能夠得到“全局”意義的最優(yōu)結(jié)果。鑒于此

3、,本文從分數(shù)傅里葉分析的角度對通信系統(tǒng)各功能模塊涉及的一些基本運算、定理與準則展開分析與研究,得到的主要結(jié)果如下:
　　關于分數(shù)傅里葉變換的基礎理論,得到了幾個新結(jié)果。首先,導出了分數(shù)傅里葉變換下的Hermite算子(即分數(shù)階頻率算子)和酉算子(即分數(shù)階時、頻移算子),揭示了它們與分數(shù)傅里葉變換的內(nèi)在聯(lián)系,從而為分數(shù)傅里葉變換基礎理論問題的研究提供了一種直觀的、本質(zhì)的基于算子的解決方案。其次,利用分數(shù)階時、頻移算子,在繼承經(jīng)典卷積

4、基本性質(zhì)的基礎上,提出了一種廣義分數(shù)階卷積,并得到了相應的卷積定理,現(xiàn)有分數(shù)階卷積大都為該廣義分數(shù)階卷積的特例,從而解決了分數(shù)階卷積的統(tǒng)一定義問題。同時,提出了廣義分數(shù)階相關及其定理,并分析了廣義分數(shù)階相關與分數(shù)階能量譜/功率譜之間的關系,進而得到了線性系統(tǒng)的響應、激勵及其傳輸函數(shù)的分數(shù)階能量譜/功率譜間的關系。接著,針對現(xiàn)有時寬-帶寬積的分數(shù)階不確定性原理只適合單一信號(實信號或復信號)的問題,基于導出的分數(shù)階頻率算子提出了適合任意信

5、號的分數(shù)階不確定性原理,解決了分數(shù)階不確定性原理的統(tǒng)一表述問題,并揭示了實信號和復信號具有不同最小不確定性乘積的本質(zhì)原因。特別地,從通信信號的角度提出了信號能量聚集性的分數(shù)階不確定性原理,得到了信號能量最佳聚集的分數(shù)域(包括時、頻域)具有唯一性的有用結(jié)論。最后,利用分數(shù)階時、頻移算子得到了分數(shù)階Poisson求和公式及其對偶形式,并分析了它們與分數(shù)階傅里葉級數(shù)的關系。
　　討論了基于分數(shù)傅里葉變換的信號濾波問題。首先,闡明了有關分

6、數(shù)域濾波的幾個基本概念,主要包括分數(shù)域無失真?zhèn)鬏敆l件、分數(shù)域理想濾波器的特性、分數(shù)域濾波系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性以及級聯(lián)分數(shù)域濾波器的實現(xiàn)。其次,針對現(xiàn)有分數(shù)域Wiener濾波存在的問題,建立了基于廣義分數(shù)階卷積的分數(shù)域Wiener濾波器設計理論,得到了分數(shù)傅里葉變換下濾波問題的Wiener解,從而解決了最小均方誤差準則下基于分數(shù)域的最優(yōu)濾波問題,并通過數(shù)值算例與現(xiàn)有分數(shù)域Wiener濾波方案進行了比較。最后,針對現(xiàn)有分數(shù)域匹配濾波存在的問題

7、,利用廣義分數(shù)階卷積構(gòu)建了白噪聲背景下分數(shù)域匹配濾波器理論,并分析了分數(shù)域匹配濾波器的基本性質(zhì);進而又給出了有色噪聲背景下廣義分數(shù)域匹配濾波器的設計原理。所得到的結(jié)論對于設計分數(shù)域其他類型的濾波器具有重要的理論指導意義。
　　針對分數(shù)傅里葉變換采樣與重構(gòu)理論在實際應用中存在的問題,提出了相應的解決方案。首先,考慮到現(xiàn)有時間有限信號分數(shù)階采樣定理在實際應用中面臨的無法直接或準確獲取信號分數(shù)譜的問題,提出了一種僅由時域采樣值進行信號重

8、構(gòu)的分數(shù)階采樣定理。同時,注意到現(xiàn)有分數(shù)域帶限信號多通道采樣存在因譜泄露而造成信號失真的問題,提出了一種基于廣義分數(shù)階卷積的分數(shù)域帶限信號的多通道采樣定理。此外,認識到實際應用中并不存在嚴格的帶限信號,分別在函數(shù)空間中Riesz基和框架下建立了適合任意信號的一般化分數(shù)階采樣定理,從而可以有效地解決分數(shù)域帶限信號的采樣定理在應用中因sinc插值函數(shù)的高旁瓣和低衰減速率而導致的較大計算開銷和插值誤差的問題。最后,考慮到在一些應用中往往只能獲

9、取信號在某一有限時間間隔內(nèi)的值,提出了一種基于部分時域信息的分數(shù)域帶限信號重構(gòu)算法。與現(xiàn)有算法相比,該算法具有計算量、存儲量小,信號重構(gòu)精度高的特點。
　　針對分數(shù)傅里葉變換在信號分析中的局限性,從聯(lián)合時域和分數(shù)域信號表示的角度給出了相應的解決方法。首先,為了克服分數(shù)傅里葉變換缺乏時間和分數(shù)階頻率的定位功能,利用廣義分數(shù)階卷積從分數(shù)域局部化的角度提出了一種新的短時分數(shù)傅里葉變換,并詳細闡述了它的基本原理,包括基本性質(zhì)、定理、時間-

10、分數(shù)階頻率的定位功能及分辨率等。其次,注意到短時分數(shù)傅里葉變換因信號加窗而造成的時間分辨率和分數(shù)階頻率分辨率相互約束的矛盾,利用廣義分數(shù)階相關和分數(shù)階頻率算子分別從瞬時分數(shù)階相關函數(shù)和分數(shù)階特征函數(shù)兩個角度給出了二次型時間-分數(shù)階頻率分布的構(gòu)造原理,并通過分數(shù)階Cohen類分布、分數(shù)階Wigner分布和分數(shù)階模糊函數(shù)這三種典型的聯(lián)合時域和分數(shù)域分布深入討論了時間-分數(shù)階頻率分布的分析特點和性質(zhì)。最后,針對短時分數(shù)傅里葉變換存在的前述矛盾

11、以及時間-分數(shù)階頻率分布因信號的二次型變換引入的交叉干擾項問題,從分數(shù)域伸縮濾波組的思想出發(fā),利用廣義分數(shù)階卷積提出了一種新的分數(shù)階小波變換,并系統(tǒng)地建立了分數(shù)階小波分析理論,主要包括基本性質(zhì)及定理、逆變換及容許性條件、重建核與重建核方程、聯(lián)合時間-分數(shù)階頻率分析、分數(shù)階多分辨分析與正交小波構(gòu)造理論以及分數(shù)階小波采樣理論。同時,還討論了分數(shù)階小波變換在信號去噪和線性調(diào)頻信號時延估計中的應用。
　　探討了分數(shù)傅里葉變換在通信抗干擾和

12、提升系統(tǒng)用戶容量中的應用。首先,導出了正弦信號和線性調(diào)頻信號在變換域(即頻域和分數(shù)域)上的對偶關系,并討論了基于變換域?qū)崿F(xiàn)這兩類信號分離的理論條件,同時分析了當它們的分數(shù)譜存在混疊時在變換域進行信號分離的性能。接著,利用正弦信號和線性調(diào)頻信號在變換域的特征參數(shù)的差異性,提出了一種基于分數(shù)傅里葉變換的通信干擾抑制方案,建立了系統(tǒng)模型,并給出了理論分析和仿真驗證;最后,在闡述分數(shù)階頻分多址概念的基礎上,提出了一種基于分數(shù)傅里葉變換多域聯(lián)合處