濾波器組設計與細分算法中的若干問題研究.pdf

1、本篇論文由兩個主題組成：濾波器組設計和細分算法。 M進制小波己被廣泛地用于語音編碼、圖像分析、圖像壓縮等領域。特別是在子帶編碼中，小波的對稱性以及高階消失矩特性起著非常重要的作用。小波的對稱性可以消除相位失真，減小重構誤差。小波的高階消失矩特性可以有效的去除像素之間的相關性。多進制小波的應用是通過它所擁有的多帶濾波器組來實現(xiàn)的，其中余弦調制小波濾波器組是一類重要濾波器組，它的分析和綜合濾波器是由兩個低通原型濾波器經過余弦調制得到

2、的，因此余弦調制濾波器組具有結構簡單和設計可行等優(yōu)點。同時由于余弦調制濾波器組有很高的實現(xiàn)效率和很低的資源消耗，因此它得到了廣泛應用。小波分析的另外一個用處就是應用于計算機圖形學，而曲面造型的多分辨率分析思想與小波的多分辨率思想不謀而合。因此小波分析在計算機圖形學和計算機輔助設計中得到了廣泛應用。特別地細分曲面、曲線造型中的細分算法和小波中的細分方程中Cascade算法是一致的。近年來，細分方法在高質量圖形生成方面成為重要的工具，是計算

3、機圖形學和計算機輔助設計研究的熱點之一。細分方法的基本思想是從粗糙的初始多邊形網格出發(fā)，通過添加新的頂點，并與原頂點形成新的邊和面，這樣遞歸地平滑細分，直到最終獲得光滑曲面。細分方法具有三維網格的多分辨率分析有效的算法和簡單的實現(xiàn)，它能控制任意拓撲網格，在保持曲面整體光滑性的同時保留了一些局部特征。細分方法已成為曲面的連續(xù)模型與離散表示之間的橋梁。 整篇文章按如下方式組織。 第一章介紹多抽樣率濾波器組基本理論和基本概念同

4、時也介紹多進制小波分析基本理論，最后指出了小波分析中的細分方程和細分造型的聯(lián)系以及細分算法的一些特點。 第二章推導了最小延遲任意長度M帶余弦調制小波濾波器組的完全重構條件。選擇低通原型濾波器最大阻帶衰減為優(yōu)化的目標函數(shù)，通常的優(yōu)化目標函數(shù)選用最小平方逼近的方法，本文提出了使用最佳一致逼近的方法。最后用黃金分割和牛頓迭代方法解決非線性約束優(yōu)化極值問題，得到滿足幾乎完全重構和小波正則性條件的低通原型濾波器。(此章主要結果發(fā)表于《信號

5、處理》雜志) 第三章首先給出了一種M進制雙正交對稱小波的設計方法。具體地講就是首先假定分析尺度濾波器，然后用頻率優(yōu)化的方法把線性相位重構尺度濾波器的設計歸結為帶有線性約束的二次規(guī)劃問題，最后由Lagrange乘子法求解。在得到了重構尺度濾波器后，用同樣的方法可以計算分析小波濾波器。特別是在計算最后一個小波濾波器時，需要加進變換矩陣可逆的線性約束條件。接著給出了一種M帶正交小波濾波器組的設計方法。對尺度濾波器，采用其對理想低通濾波

6、器的最小平方逼近作為目標優(yōu)化函數(shù)，并把完全重構條件作為約束條件，這樣求解尺度濾波器問題最終歸結為求解非線性約束優(yōu)化極值問題。非線性約束優(yōu)化極值問題可采用牛頓迭代法求解。求得了尺度濾波器，然后通過多相位分解和Lattice方法求解小波濾波器。(此章部分內容發(fā)表于《高校應用數(shù)學學報》英文版) 第四章給出了一種三進制雙正交對稱插值小波的設計方法。在給定插值緊支撐對稱尺度函數(shù)的情況下，指出了如果與對偶尺度函數(shù)同為緊支撐插值和對稱的，則它

7、們同為1-型對稱。并且給出了對偶尺度函數(shù)為緊支撐插值和非插值情況下的通解公式。同時也提出了頻率優(yōu)化方法設計對偶尺度函數(shù)和小波函數(shù)，把雙正交條件歸結為線性約束的二次規(guī)劃問題，最后通過線性方程組來求解，對于小波函數(shù)本文也給出了一組特解公式。(本章主要結果已被《數(shù)學學報》錄用) 第五章給出三進制細分算法的一般概念，并把二進制細分算法的一些結果拓廣到三進制情況。得到了三進制細分算法的收斂性和光滑性分析，并且指出三進制三點插制細分算法可達

8、到C1連續(xù)性(二進制不存在三點插值細分算法)，三進制四點插值細分算法可到達C2連續(xù)性(二進制四點插值細分僅能達到C1連續(xù)性)。本章還討論了三進制曲面細分算法，把三角形網格的二進制Loop細分算法推廣到三進制情況，得到了三進制Loop細分算法，把四邊形網格的二進制Catmull-Clark細分算法推廣到三進制情形，得到了三進制Catmull-Clark細分算法。 第六章首先給出了一種新的四邊形網格細分方法，每細分一次四邊形網格數(shù)目

9、增加為原來的兩倍，兩次細分結果相當于一次二分細分和一個旋轉。細分算法采用三次B樣條張量積的形式，因此其生成曲面在規(guī)則點具有C2連續(xù)性，在非規(guī)則點具有C1連續(xù)性。而且由于這種細分方法對網格幾何操作簡單，所得網格數(shù)據量增長相對緩慢，適合3D圖象重構及網絡傳輸?shù)葢妙I域。接著介紹了一種四邊形網格的削角細分方法，每細分一次四邊形網格數(shù)目增加為原來的兩倍，兩次細分結果相當于一次二分對偶細分和一個旋轉。細分算法采用線性細分加平滑的形式，具體地講平滑

10、是采用兩次重復平均的方法，因此其生成曲面具有C1連續(xù)性。最后給出了一種四邊形網格插值細分方法。每次細分只增加新面點，然后由新面點和老點形成新的四邊形，這樣每細分一次四邊形網格數(shù)目增加為原來的兩倍，兩次細分結果相當于一次二分插值細分和一個旋轉，因此稱其為插值√2細分。對規(guī)則面點細分算法采用四點插值細分張量積的形式，因此其生成曲面在規(guī)則點具有C1連續(xù)性。對非規(guī)則面點，細分算法采用蝶形平均的形式(若此面至少包含兩個非規(guī)則點)或本文推導的特殊細