基于分?jǐn)?shù)階微分方程的HIV感染動力學(xué)建模及其分析.pdf

1、自80年代早期首例艾滋病被報道以來，眾多學(xué)者在HIV感染動力學(xué)的建模上花費了大量的心血。涉及HIV感染(或HIV與免疫系統(tǒng)相互作用)動力學(xué)的數(shù)學(xué)模型不遲于1986年被提出，且該疾病一直成為建模的熱點。然而，至今為止，所有的數(shù)學(xué)模型均被局限于整數(shù)階的微分方程。
　　 隨著分?jǐn)?shù)階微分方程的快速發(fā)展，很多數(shù)學(xué)家以及應(yīng)用領(lǐng)域中的研究者正在嘗試著用分?jǐn)?shù)階微分方程建模。分?jǐn)?shù)階微分方程與分形密切相關(guān)，而分形富含于生物系統(tǒng)中。研究表明，在傳統(tǒng)的

2、整數(shù)階方程不能建模的現(xiàn)象中，分?jǐn)?shù)階方程為此提供了可能性。這兒，我們特別強調(diào)的是，分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階模型最大區(qū)別在于分?jǐn)?shù)階模型擁有記憶，而免疫反應(yīng)的主要特征恰恰包含記憶。因此，我們首次嘗試建立HIV感染與免疫系統(tǒng)相互作用的分?jǐn)?shù)階動力學(xué)模型。
　　 首先，論文給出了具奇異性的廣義Gronwall不等式。利用該不等式，討論了分?jǐn)?shù)階微分方程的解關(guān)于初值和階數(shù)的連續(xù)依賴性問題。指出在一定條件下，初值和階數(shù)的微小變化僅僅引起解的微小改變，為分?jǐn)?shù)

3、階模型的數(shù)值模擬奠定了理論基礎(chǔ)。
　　 其次，針對分?jǐn)?shù)階HIV感染模型，只有在非負(fù)解或正解存在的情況下所建的模型才符合實際意義，因而討論了分?jǐn)?shù)階常(時滯)微分方程正解的存在性問題，獲得了正解存在性和唯一性的充分條件。
　　 接著，將分?jǐn)?shù)階引入HIV感染CD4+T細(xì)胞的模型。證明了所建立的分?jǐn)?shù)階HIV感染模型如理想中的種群動力學(xué)模型一樣擁有非負(fù)解，且解存在唯一。獲得了感染平衡點存在對每個感染細(xì)胞釋放病毒粒子數(shù)所需的限制條件

4、。在此限制條件下，所建立的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)存在唯一一個正平衡點--感染平衡點。利用分?jǐn)?shù)解微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析工具，獲得了感染平衡點穩(wěn)定對參數(shù)要求的充分條件。數(shù)值模擬證實了所給分析。
　　 緊接著，提出一個具CTL免疫反應(yīng)和頻率依賴的分?jǐn)?shù)階HIV模型。數(shù)學(xué)上，揭示了分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的階數(shù)如何影響系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài)。對單一病毒模型，得到在某個限制條件下，該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有一個內(nèi)部平衡點。通過應(yīng)用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析工具，獲得了內(nèi)部平衡點穩(wěn)定的充

5、分條件。分析展示了在經(jīng)典的整數(shù)階模型中不穩(wěn)定的內(nèi)部平衡點，在分?jǐn)?shù)階模型中可變得漸近穩(wěn)定。對具病毒多樣性的模型，頻率依賴的分?jǐn)?shù)階模型中會出現(xiàn)奇異混沌吸引子。也就是，病毒多樣性和頻率依賴導(dǎo)致免疫系統(tǒng)的癱瘓并使得系統(tǒng)動力學(xué)的性態(tài)復(fù)雜化。但是，隨著階數(shù)的某一個或更多分量值的減小，混沌性可能消失且分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定到一個定點。
　　 再接著，定性地研究了具免疫反應(yīng)和治療控制的分?jǐn)?shù)階HIV模型。指出所建立的分?jǐn)?shù)階模型擁有唯一的非負(fù)解，詳細(xì)分析了

6、平衡點的存在性和局部漸近穩(wěn)定性，建立了無病平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件，并獲得了從感染HIV的個體中清除HIV所需的抗逆轉(zhuǎn)錄病毒治療的最優(yōu)療效。
　　 進(jìn)一步，將最優(yōu)控制理論應(yīng)用于HIV感染動力學(xué)的建模中。選用使病毒載量和感染的T輔助細(xì)胞最小且使抗HIV的藥物劑量最小的性能指標(biāo)，求解分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，在數(shù)學(xué)上表明了最優(yōu)治療的結(jié)果。
　　 最后，對全文研究內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)，指出研究工作中存在的不足，明確了下一步的研究