分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程的解.pdf

1、非線性泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的研究領(lǐng)域之一.它通過建立抽象理論處理各類具體非線性問題，主要包括拓?fù)涠壤碚?，半序與錐理論，單調(diào)算子理論，變分法等.許多數(shù)學(xué)家在非線性泛函分析的發(fā)展中做出了重要貢獻(xiàn)，如E.Rothe，M.A.Krasnosel'skii，P.Rabinowitz，H.Amann，A.Ambrosetti等，國內(nèi)的張恭慶教授，郭大鈞教授，孫經(jīng)先教授，龍以明教授等也做出了出色的工作(參見文獻(xiàn)[1-12]等).
　　 分

2、數(shù)階微分方程是一個(gè)相對較新的研究領(lǐng)域，是對經(jīng)典整數(shù)階微分方程的推廣，可以對某些客觀現(xiàn)象作更好的描述，現(xiàn)在受到越來越多的重視和研究(參見文獻(xiàn)[13-15，26-37]).脈沖微分方程是對在一系列固定時(shí)刻發(fā)生快速變化或跳躍的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用(參見文獻(xiàn)[17-20，38-44]).對非線性分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程解的研究，將有助于更好地揭示現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象及規(guī)律，對人類生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)也會(huì)有一定的指導(dǎo)作用(已有的工作參見[45

3、-49]等).
　　 本文主要應(yīng)用非線性泛函分析中的不動(dòng)點(diǎn)理論，討論幾類非線性分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程解(包括正解)的存在性情況，有較低階(0＜α≤1)的情形，也有任意階(n-1＜α≤n)的結(jié)果.
　　 文章內(nèi)容安排如下.
　　 第一章為引言及預(yù)備知識，主要介紹研究背景，研究問題，并引入后面將會(huì)用到非線性泛函分析與分?jǐn)?shù)階微積分的基本知識.
　　 第二章研究當(dāng)階數(shù)0＜α≤1時(shí)，如下Caputo分?jǐn)?shù)階脈沖積微分方程

4、邊值問題正解的存在性:
　　 CDαtk+u(t)=f(t,u(t),(Tu)(t),(Su)(t)), t∈Jk，k=0,1,2,…,m,△u|t=tk=Ik(u(tk))， k=1，2，3，…，m，u(1)=βu(0)，其中CDα是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，J=[0，1]，0=t0＜t1＜t2＜…＜tm＜tm+1=1，J0=[0，t1]，Jk=(tk，tk+1]，k=1，2，3，…，m，R+:=｛x∈R|x≥0｝，f∈C(J×

5、R+×R+×R+，R+)，(Tu)(t)=∫t0K(t,s)u(s)ds,(Su)(t)=∫10H(t,s)u(s)ds,K∈C(D，R+)，D=[(t，s)∈J×J|t≥s｝，H∈C(J×J,R+)，△u|t=tk=u(tk+)－u(tk－)，Ik∈C(R+,R+),k=1,2,3，…，m,β＞1.
　　 應(yīng)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了多重正解存在的充分條件.
　　 第三章研究當(dāng)階數(shù)n-1＜α≤n(其中n∈Z+)

6、時(shí)，如下Caputo分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程邊值問題:CDαtp+u(t)=f(t,u(t)),n-1＜α≤n, t∈Jp，p=0,1,2,…,m,△u(q)|t=tp=Iqp(u(tp))，u(q)(1)=βqu(q)(0), q=0,1,2，…，n-1,p=1,2,3，…，m.其中CDα是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，J=[0，1]，0=t0＜t1＜t2＜…＜tm＜tm+1=1，J0=[0，t1]，Jp=(tp，tp+1]，p=1，2，3，…，

7、m，△u(q))|t=tp=u(q)(tp+)－u(q)(tp－)，f∈C(J×R,R),Jqp∈C(R,R)，β≠1，q=0,1,2,…,n－1,p=1,2,3,…,m.
　　 通過研究與計(jì)算，我們得到了此邊值問題的等價(jià)積分方程，并作出構(gòu)造性函數(shù)T，T:R×R×…×R→R，可以將積分方程顯示表達(dá).在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用壓縮映象原理，Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，Altman不動(dòng)點(diǎn)定理推論等，得到邊值問題解存在性，存在唯一性