常微分方程的動力學行為及符號動力學分析.pdf

1、二十世紀五十年代以來，非線性科學得到了迅速的發(fā)展．隨著研究工作的不斷深入，它的內(nèi)容也在不斷擴大，現(xiàn)已滲透到神經(jīng)網(wǎng)絡、元胞自動機、復雜網(wǎng)絡等多個新型研究領域． 探討非線性系統(tǒng)尤其是那些已研究得很多的系統(tǒng)(如Lorenz系統(tǒng))中的新現(xiàn)象是一個很有意義的課題，有助于豐富非線性科學知識的內(nèi)容，深化對非線性科學的認識． 目前，非線性科學的主要研究方法是數(shù)學解析、計算機模擬或具體的實驗．由于混沌現(xiàn)象的復雜性，新現(xiàn)象、新屬性和新規(guī)律的

2、探索必須要有新的研究手段．將符號動力學知識運用于非線性科學的研究是一個突破口．利用這種方法可以獲取許多單純借助分析或數(shù)值方法不能得到的整體性的結論． 基于以上兩個方面，本文對有關非線性系統(tǒng)的動力學行為及符號動力學進行了探索，主要包括以下三個內(nèi)容： 1．內(nèi)分岔參數(shù)空間中Lorenz系統(tǒng)的動力學行為研究．在常微分方程系統(tǒng)中，不動點的性質對系統(tǒng)的全局行為影響很大．把不動點的一些分量作為內(nèi)參量并和原來的有關參數(shù)一起構成相應的參數(shù)

3、空間．在此空間中，通過不動點的變化可以對Poincar?e映象所表現(xiàn)的系統(tǒng)的動力學行為進行研究．根據(jù)這個思想，我們建立了此新的參數(shù)空間――內(nèi)分岔參數(shù)空間并在該空間下在較大范圍內(nèi)選擇不同的參數(shù)對Lorenz系統(tǒng)進行數(shù)值計算，發(fā)現(xiàn)了一般混沌現(xiàn)象之外的其它新的共存類，如不動點與周期軌道或混沌吸引子的共存；周期軌道與局部混沌或通向混沌的倍周期分岔序列的共存等等．這些新現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)補充和完善了前人對Lorenz系統(tǒng)的研究，為我們今后的工作開辟了一條

4、新的思路． 2．內(nèi)分岔參數(shù)空間中Lorenz系統(tǒng)的符號動力學研究．符號動力學是一種拓撲與數(shù)值相結合的研究方法．我們在內(nèi)分岔參數(shù)空間下對Lorenz系統(tǒng)進行了一維和二維的符號動力學分析，給出了長度直至6的所有允許周期軌道序列及相應的位置坐標．此前，導師劉軍賢教授已對原參數(shù)空間下Lorenz系統(tǒng)作了詳細的符號動力學分析．然而，在此新參數(shù)空間下，我們能找到很好的控制參量使Lorenz系統(tǒng)的二維特征更明顯，從而符號動力學分析中的基本禁止

5、區(qū)更直觀．更重要的的是，雖然內(nèi)分岔參數(shù)空間下x¤ = 3:0，z¤ = 17:0時，混沌吸引子的Poincar?e映象的形狀與原參數(shù)空間下r = 28時的一樣，但仔細做流型分析可知前者存在正逆收縮葉，其切點的連線可以對相應的相空間進行分割，出現(xiàn)建立四個字的符號動力學，而不是通常只需要兩個字的符號動力學．當然，更簡潔的方法是看兩者的交換首歸映射．兩種情形下的交換首歸映射明顯不同，導致相空間出現(xiàn)新的分割，從而符號序列描述中字母的個數(shù)也不同．