時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解及其應(yīng)用.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微積分是專門研究任意階積分和微分的數(shù)學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用的領(lǐng)域，是傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分的推廣，分?jǐn)?shù)階微分方程是含有非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的方程。近幾十年里，研究者們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分方程非常適合用來描述現(xiàn)實(shí)生活中具有記憶和遺傳特性的問題，如：分形和多孔介質(zhì)中的彌散，電容理論，電解化學(xué)，半導(dǎo)體物理、湍流、凝聚態(tài)物理，粘彈性系統(tǒng)，生物數(shù)學(xué)及統(tǒng)計(jì)力學(xué)等等，因此研究這類方程的性質(zhì)和數(shù)值解法有現(xiàn)實(shí)的理論和應(yīng)用意義。 本文主要討論一類時間分?jǐn)?shù)階空間二階偏微

2、分方程，討論其解析解，數(shù)值解。 第一章，給出本論文的研究背景和意義，總結(jié)了前人所做的工作，并敘述分?jǐn)?shù)階微積分的概念和分?jǐn)?shù)階微積分一些基本定義和性質(zhì)，詳列本論文的研究內(nèi)容和結(jié)構(gòu)。 第二章，從隨機(jī)游走和一種隨機(jī)過程的穩(wěn)定分布推導(dǎo)出第三章所討論的反常次擴(kuò)散方程和第四章所討論的時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程。 第三章，討論非齊次時間分?jǐn)?shù)階反常次擴(kuò)散方程的解析解，利用分離變量方法和Laplace變換分別導(dǎo)出在Dirichlet，Neu

3、mann和Robin三種邊界條件下的非齊次反常次擴(kuò)散方程的解析解，這些解析解以Mittag—Leffler函數(shù)的形式給出。本章最后說明這個技巧可以推廣到其它類型的反常次擴(kuò)散方程中。 第四章，考慮時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解。利用關(guān)于時間的有限差分格式及空間的Legendre譜方法構(gòu)造了一種高階穩(wěn)定格式，并給出了此方法的穩(wěn)定性與收斂性分析，證明了該全離散格式是無條件穩(wěn)定的，其收斂階為O(△t2—α+N—m)，這里△t，N和 m分別為

4、時間步長，多項(xiàng)式階數(shù)和精確解的正則度。這是目前已知的最好估計(jì)。最后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明了理論分析的正確性。 在第五章，我們將第四章中數(shù)值求解時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的方法推廣到生物細(xì)胞學(xué)中研究離子運(yùn)動的時間分?jǐn)?shù)階Cable方程，同樣利用關(guān)于時間的有限差分格式及空間的譜方法構(gòu)造一種高階格式，利用測試的數(shù)值例子說明了我們方法的可行性。并用具體例子說明其應(yīng)用。 第六章，討論有限區(qū)間上具有初邊值條件的非線性時間分?jǐn)?shù)階Fokker-Pla