一類(lèi)廣義Lorenz系統(tǒng)的代數(shù)和解析可積性.pdf

1、微分方程可積性問(wèn)題一直是微分方程研究領(lǐng)域的一個(gè)重要課題.一般來(lái)說(shuō),常微分方程系統(tǒng)的可積性研究可以有多種方法，也可以從不同的角度去研究.本文主要關(guān)心多項(xiàng)式微分系統(tǒng)（特別是廣義Lorenz系統(tǒng)）的代數(shù)可積和局部解析可積性.代數(shù)可積性方面我們主要關(guān)心Darboux可積性，而Darboux可積是由Darboux多項(xiàng)式確定的.但遺憾的是,迄今為止還沒(méi)有一個(gè)能夠求解多項(xiàng)式微分系統(tǒng)Darboux多項(xiàng)式和首次積分有效的方法.本文將研究一類(lèi)廣義Loren

2、z系統(tǒng),討論該系統(tǒng)的Darboux多項(xiàng)式及原點(diǎn)處的解析首次積分的存在性.
　　多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的Darboux多項(xiàng)式的計(jì)算是一個(gè)經(jīng)典而困難的問(wèn)題.對(duì)Lorenz系統(tǒng)Darboux多項(xiàng)式的研究,最早由Segur[20](1982)和K′us[15](1983)分別得到3個(gè)獨(dú)立的Darboux多項(xiàng)式.之后, Llibre和Zhang[10]證明了Lorenz系統(tǒng)的6個(gè)Darboux多項(xiàng)式是完全的. Peter[9]引入多項(xiàng)式權(quán)的定義,簡(jiǎn)

3、化了Darboux多項(xiàng)式的計(jì)算.本文研究廣義Lorenz系統(tǒng)的Darboux多項(xiàng)式.給出該系統(tǒng)存在Darboux多項(xiàng)式的所有可能的參數(shù)條件,并給出相應(yīng)的Darboux多項(xiàng)式.
　　多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的局部解析首次積分的存在性判定同樣是十分困難的.最早的結(jié)果由Pioncar′e[17]得到,他證明:當(dāng)解析微分系統(tǒng)相應(yīng)奇點(diǎn)的線性部分的特征值非共振時(shí),該系統(tǒng)在奇點(diǎn)鄰域無(wú)形式的首次積分. Li, Lli-bre和Zhang[8]對(duì)Pionca

4、r′e的結(jié)果進(jìn)行了推廣. Llibre和Valls給出了Lorenz系統(tǒng)在原點(diǎn)處存在解析首次積分的兩個(gè)必要條件[11].本文研究一類(lèi)廣義Lorenz系統(tǒng)在原點(diǎn)的局部解析首次積分,根據(jù)系統(tǒng)在原點(diǎn)線性化系統(tǒng)的特征值進(jìn)行分類(lèi).當(dāng)系統(tǒng)存在零特征值或復(fù)特征值時(shí),給出系統(tǒng)存在形式首次積分的參數(shù)條件.
　　另外,對(duì)于三維二次多項(xiàng)式微分系統(tǒng),我們證明當(dāng)相應(yīng)的線性系統(tǒng)具有三個(gè)非零實(shí)特征值,且有唯一的齊次多項(xiàng)式首次積分時(shí),原微分系統(tǒng)存在形式首次積分的