外文翻譯--流體動(dòng)壓軸承-撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性 中文版

1、<p>　　流體動(dòng)壓軸承-撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性</p><p><b>　　呂延軍 虞烈 劉恒</b></p><p>　　(西安交通大學(xué)潤滑理論及軸承研究所 中國西安 710049)</p><p>　　摘要：分析了帶液壓軸承座的撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力性。軸通過使用能考慮物體的慣性和剪切力影響的有限元法仿效出來。根據(jù)非

2、線性流體動(dòng)壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，一種被修改的帶有自由接口的模態(tài)綜合技術(shù)是被用來降低柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型的自由度。根據(jù)油膜的物理特性，改變約束的方法是通過引入持續(xù)改變的每一階段的動(dòng)態(tài)的集成與重復(fù)的雷諾茲方程式。采用等周圖形學(xué)的有限元方法解決雷諾茲邊值的液體潤滑問題而沒有增加計(jì)算。非線性油膜力及其Jacobians矩陣的數(shù)值解必須要具有協(xié)調(diào)一致的精度。周期通過使用Poincare-Newton-Floquet（PNF）方法而獲得，一種方法，把軌跡

3、預(yù)測追蹤的延續(xù)算法和PNF方法結(jié)合起來提出計(jì)算周期運(yùn)動(dòng)的分岔點(diǎn)是由于系統(tǒng)參數(shù)的改變而受到影響。局部的穩(wěn)定和周期運(yùn)動(dòng)的分岔現(xiàn)象是通過Floquet 理論獲得的。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混亂運(yùn)轉(zhuǎn)需進(jìn)行能量譜的檢查。許多的例子顯示這項(xiàng)研究能節(jié)省計(jì)算量而且具有很好的精密度。</p><p>　　關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力學(xué) 軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng) 穩(wěn)定性 分岔 混亂 有限元方法</p><p><b>

4、　　前言</b></p><p>　　旋轉(zhuǎn)機(jī)已經(jīng)應(yīng)用于能量站、飛行器、機(jī)床夾具、汽車、以及家庭應(yīng)用等各個(gè)領(lǐng)域。軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，就像一種轉(zhuǎn)子機(jī)器一樣，是一種典型非線性機(jī)械系統(tǒng)。這種非線性分析方法已應(yīng)用于非線性的軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上就如同線性分析方法不能應(yīng)用于分析的那樣。很多種方法成為重要的合適于分析的多自由度軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔問題，因?yàn)榇朔N方法不能提高工作效率。</p><p>

5、　　目前世界上有許多研究者致力于非線性動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)子軸承領(lǐng)域的研究。不幸的是他們塑造的轉(zhuǎn)子軸承有一些不利條件被直接利用于指導(dǎo)那些力學(xué)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)。因?yàn)榉蔷€性分析的復(fù)雜性，軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性模型通常被當(dāng)作有很少自由度的和分析形式上軸承力的非線性模型。例如，一個(gè)勻稱的硬的轉(zhuǎn)子[1，2]或者Jefrcott轉(zhuǎn)子模型[3，7]，多項(xiàng)式模型[8，9]，以及或長或短的軸承模型，都不能準(zhǔn)確地描述實(shí)際的系統(tǒng)。在這些研究過程中的軸承的非線性的油膜力的分析形式而

6、軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不能在實(shí)踐中得以分析。然而，軸承轉(zhuǎn)子在本質(zhì)上是非線性的，轉(zhuǎn)子支撐的非線性運(yùn)動(dòng)是由軸承引起的。非線性的油膜力按照轉(zhuǎn)子的幾個(gè)交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的局部非線性和組分是連接在一起的。因此，來自 于非線性的影響是全球的。</p><p>　　Ref.[10]描述一個(gè)局部非線性的高位動(dòng)力系統(tǒng)被運(yùn)用于模態(tài)削減方法上，基于模態(tài)的固定接口的綜合技術(shù)，在Ref.[11]中提出了一種為解決局部非線性的動(dòng)力系統(tǒng)的周期性和穩(wěn)

7、定性的方法。在這種理論上，軸被描述為多自由度有限元素使用了2個(gè)結(jié)點(diǎn)Timoshenko 梁軸有限元模型。根據(jù)非線性的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，一種被修改過的帶自由接口的模態(tài)綜合技術(shù)是被用來降低柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自由度的有限元模型。在減少以后，系統(tǒng)仍舊保留它的非線性和保存系統(tǒng)的非線性分析力。根據(jù)改變約束方法的八個(gè)交點(diǎn)的等周圖形學(xué)的有限元方法是用于解決液體潤滑發(fā)生在雷諾茲邊界的橢圓不等式。一個(gè)擾動(dòng)等式能夠得到直接的有限元等式。因此，非線性油膜力及其Jacobi

8、ans矩陣的數(shù)值解必須要具有協(xié)調(diào)一致的精度。這樣不能引起軸的摩擦和應(yīng)力集中。采用PNF方法，F(xiàn)loquet 理論和軌跡預(yù)測追蹤的延續(xù)算法研究了不平衡響應(yīng)，T周期運(yùn)動(dòng)和隨軸承系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)的改變的分岔現(xiàn)象。軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的這種混亂狀態(tài)是從能量譜中調(diào)查出來的。</p><p><b>　　1 動(dòng)力系統(tǒng)方程式</b></p><p>　　圖1所示的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線

9、性動(dòng)力系統(tǒng)。該系統(tǒng)由線性部分(柔性轉(zhuǎn)軸)和局部非線性部分(徑向軸承)組成。圖2所示的2節(jié)點(diǎn)具有8自由度的Timoshenko梁軸單元模型，由于其可以計(jì)及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形的影響，故更接近實(shí)際運(yùn)行的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。因此采用有限元方法建立如下形式的柔性轉(zhuǎn)軸橫向振動(dòng)方程</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　式中分別為轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣、

10、周期為 的外力向量(包括重力和不平衡力)和軸承施加于轉(zhuǎn)軸的非線性力向量。對于具有P個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸，節(jié)點(diǎn)位移向量可表示為</p><p>　　式中 分別為第j個(gè)節(jié)點(diǎn)沿水平和鉛垂方向的橫向位移與彎曲轉(zhuǎn)角。非線性力向量可表示為</p><p>　　式中Fxj，F(xiàn)yj分別為軸承作用在軸第j個(gè)節(jié)點(diǎn)上的水平和鉛錘方向的油膜力。由于軸承的非線性油膜力孤立地作用于轉(zhuǎn)子的個(gè)別節(jié)點(diǎn)上，因此對具有m個(gè)軸承支承的轉(zhuǎn)

11、子系統(tǒng)，軸承力</p><p><b>　　具有如下局部性質(zhì)</b></p><p>　　式中xsb∈R4m, Fsb(xsb,xsb)∈R4m可被寫成：</p><p>　　圖1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖</p><p>　　圖2 轉(zhuǎn)軸有限單元模型</p><p>　　為了簡化符號，將式(1)中各元

12、素重新排序且表示為如下分塊形式</p><p>　　由于需要花很多的時(shí)間計(jì)算多自由度的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在維持系統(tǒng)響應(yīng)準(zhǔn)確的情況下，減少系統(tǒng)的自由度是非常重要的。由于系統(tǒng)是局部非線性的，僅非線性自由度受控于非線性方程，而線性自由度又依賴于非線性自由度，因此可對線性自由度進(jìn)行減縮，以使該系統(tǒng)降階。為了避免縮減自由度時(shí)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換給系統(tǒng)的非線性因素帶來的數(shù)值誤差，僅將線性自由度轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)，而非線性自由度和決定系統(tǒng)動(dòng)力特性的

13、非線性力仍保留在物理空間中，使降階后的系統(tǒng)仍具有局部非線性特征。</p><p>　　為了降低線性組合的自由度，將XS表示為列的線性組合</p><p>　　式中 </p><p>　　因此，矩陣的保留彈性特征模態(tài)的列是ωk∈(0，ωcut)的無阻尼特征值問題(ks-ω2jms)ψj=0(j=1,

14、…，nk)的質(zhì)量正則解。矩陣的剩余柔性模態(tài)的列可表示為</p><p>　　其中對角矩陣是角頻率小于或等于時(shí)的譜矩陣。因此</p><p>　　從（11）式開始，可被寫成：</p><p>　　這樣就有如下整個(gè)變換</p><p>　　在以上等式中，矩陣變換T=T1T2T2，運(yùn)用式(13)，可得縮減的系統(tǒng)方程</p><p

15、>　　通過縮減把n(n=nb +nc)階方程組減縮為s(s=nb +nc)階方程組，由式(11)- (I4)，可見轉(zhuǎn)軸的不平衡力及非線性項(xiàng)的影響全部保留在縮減的方程組(14)中?？紤]到圓盤的不平衡力的影響，可得動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程</p><p><b>　　有 </b></p><p>　　式中分md，Gd, Kd, Fdex別為圓盤的質(zhì)量矩陣、阻

16、尼矩陣、剛度矩陣、不平衡力向量。</p><p>　　當(dāng)引入狀態(tài)變量后，其相應(yīng)的系統(tǒng)方程在狀態(tài)空間中為</p><p>　　2.非線性力的計(jì)算及其流體動(dòng)壓軸承的Jacobians 矩陣</p><p>　　對于實(shí)際軸承，不具有解析形式的油膜力，而在計(jì)算系統(tǒng)非線性響應(yīng)時(shí)，每一時(shí)刻動(dòng)力積分均需要非線性力及其Jacobians矩陣的求解。非線性油膜力及Jacobians矩

17、陣協(xié)調(diào)一致的精度不僅影響到求周期解的PNF是否收斂，而且對周期解的穩(wěn)定性及分岔的分析有著極其重要的影響。同時(shí)任一時(shí)刻油膜力的Jacobians矩陣的準(zhǔn)確性又影響著判斷周期解穩(wěn)定性的Floquet乘法的求解?；谝陨蠁栴}，運(yùn)用有限元法求解具有變分不等式形式的流體潤滑Reynolds邊值條件(油膜區(qū)域下游邊值條件)問題。將油膜力視為某時(shí)刻軸頸中心位移及速度的函數(shù)，</p><p>　　由此可以得到一組微分方程，根據(jù)該

18、方程組的特點(diǎn)，在求出油膜力的同時(shí)，可很快求得Jacobians矩陣。</p><p>　　對于有限長軸承流體潤滑的Reynolds邊值問題:</p><p>　　式中 — —油膜壓力函數(shù)(表壓)</p><p>　　— — 潤滑油動(dòng)力粘度</p><p>　　——軸承長徑比的倒數(shù)</p><p><b>

19、;　　— — 油膜厚度</b></p><p>　　— — 從Y軸負(fù)方向到油膜位置的角度</p><p><b>　　— — 偏位角</b></p><p>　　— — 偏位線與軸承中心連線至油膜位置的角度，如圖3和圖4所示</p><p>　　式(18)可等價(jià)于如下離散的橢圓型變分不等式[18]</p

20、><p>　　式中Φ(p,q)= 是H(Ω)× H(Ω) 上的強(qiáng)制、對稱，橢圓雙線性泛函,ψ(q)=,k={p∈H(Ω)，p≥0 in Ω}是線性泛函，H(Ω) )是Sobolev空間。是唯一的一層油，是的微分。是偏位線與軸承中心連線至油膜完整區(qū)和油膜破裂區(qū)交界線（此交界線是隨位移及速度擾動(dòng)變化的曲線)的夾角。由以上等式，油膜厚度h和變角可寫成如下方程式：</p><p>　　圖3

21、單塊瓦計(jì)算坐標(biāo) 圖4 橢圓軸承及其計(jì)算坐標(biāo)</p><p>　　由于非線性油膜力是軸頸中心動(dòng)態(tài)位置的函數(shù)，所以油膜力可被寫成如下等式：</p><p>　　油膜力Fx ,Fy過對動(dòng)態(tài)壓力分布分別積分后得到:</p><p>　　運(yùn)用8節(jié)點(diǎn)等參有限元法可求出油膜區(qū)域各節(jié)點(diǎn)的壓力分布Pi。壓力函數(shù)P可表示為：</p><p>　

22、　式中 Li——有限元插值函數(shù)，把式(23)代入不等式(19)可得如下n階離散不等</p><p><b>　　式方程：</b></p><p><b>　　式中 </b></p><p>　　為了求解等式（24），組成矩陣和矢量是必要的。把有限插值函數(shù)Li，Lj代入，得。然后等式（24）等價(jià)為約束迭代方程</p

23、><p>　　式中矩陣 和矢量分別為滿足橢圓邊值問題第一類及第二類約束條件的稀疏、帶狀、對稱矩陣和列矢量。解出P后，將式(23)代入式(22)可得：</p><p><b>　　式中 </b></p><p>　　均為常數(shù)列矢量。油膜力， 相對于x ，y 和 ，的Jacobians矩陣可表示為:</p><p><

24、b>　　式中 </b></p><p>　　將式(25)分別對x，y，，求偏導(dǎo)數(shù)可得如下擾動(dòng)方程</p><p>　　將矩陣(k= x，y， ，)和矢量(x, y， ， )組合在一起可以得到如下等式：</p><p>　　把PK (k=x，Y， ，) 代入式(28),求得油膜力的Jacobians矩陣。由于式(31)與式(27)具有類似的形式，

25、不需要再次求解。所以在求解PK (k=x，Y， ，)時(shí)可由式(25)、(27)和式(30)的PK很快得到式(29)，而式(29)與式(25)具有相同的系數(shù)矩陣。因?yàn)槭?29)與式(25)具有相同的系數(shù)矩陣，所以這樣就使得非線性分析所需要的油膜力和油膜Jacobian矩陣能夠同時(shí)計(jì)算完成。然而,為了保證非線性分析的準(zhǔn)確性和可靠性，花費(fèi)在計(jì)算每一步重復(fù)動(dòng)態(tài)積分的Jacobians矩陣與油膜力自己本身的重復(fù)動(dòng)態(tài)積分差不多。</p>

26、<p>　　3.非線性周期響應(yīng)及其解法</p><p>　　運(yùn)轉(zhuǎn)著的軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總是引起擾動(dòng)。假定系統(tǒng)外在裝載根據(jù)周期T可得：</p><p>　　系統(tǒng)的穩(wěn)定現(xiàn)象，i，e 達(dá)到最大之后瞬間就會減弱，這種現(xiàn)象可能是由周期、半周期或是混亂引起的。系統(tǒng)的周期性問題可能在某些時(shí)間間隔變得不穩(wěn)定與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān)。例如，轉(zhuǎn)子的角速度，軸承的直徑與寬度比d/B，距離半徑比，凹槽周長與寬度比

27、（位于墊片上的凹槽周長），墊片圓弧，橢圓度，質(zhì)心偏差 ，軸承的非線性是由不穩(wěn)定引起的，一般說來，系統(tǒng)的最大響應(yīng)增加且線性系統(tǒng)的響應(yīng)頻率也將作出響應(yīng)。在實(shí)踐中，這將可能導(dǎo)致不利的軸摩擦。實(shí)際應(yīng)用上，最重要的是決定這些不穩(wěn)定性間隔的設(shè)計(jì)和導(dǎo)致這些間隔的現(xiàn)象：周期、半周期或混亂。</p><p>　　3.1 PNF 方法</p><p>　　采用PNF(Poincare-Newton—Floqu

28、et)方法即求解兩點(diǎn)邊值問題的打靶法并結(jié)合Floquet分岔理論的周期解求解及穩(wěn)定性分析的方法，在選定的Poinca截面上，給出周期解不動(dòng)點(diǎn)的初始迭代值Xs(t0)，結(jié)合方程（34）通過數(shù)字時(shí)間綜合化方法從一個(gè)周期T到另一個(gè)周期T間發(fā)現(xiàn)的問題，如果能滿足如下方程：</p><p>　　當(dāng)系統(tǒng)控制參數(shù)u= 時(shí)，用Newton—Raphson迭代方法可求得 。雅可比矩陣:</p><p>　　

29、式中的 J= 可對系統(tǒng)方程式(17) 以(X5(t0),I)</p><p>　　為初始值積分一個(gè)Poincare映射周期而得到，其中δS(t0)=I， δS(t0+T)=J，式(35)中F=F(t，u，X )= 。 </p><p>　　3.2 周期解預(yù)測追蹤的延續(xù)算法和PNF方法</p><p>　　將延續(xù)算法和PNF法相結(jié)合的方法稱為連續(xù)周期方法，即計(jì)算

30、整個(gè)周期解的分支。當(dāng)</p><p>　　為某一確定值時(shí)，就可以得到。連續(xù)周期方法就是通過觀察改變u在一周期內(nèi)的變化。開始從一個(gè)已知的，，得到周期后n步的方程式：</p><p>　　然后運(yùn)用打靶法校正系統(tǒng)參數(shù)時(shí)的周期解。式中 可由系統(tǒng)方程(17)關(guān)于軌跡Xs(t0 +T)和</p><p><b>　　式中。</b></p>&

31、lt;p><b>　　4 應(yīng)用算例及結(jié)果</b></p><p>　　帶有圓盤剛度（點(diǎn)D1）和橢圓軸承（點(diǎn)B1和點(diǎn)B2，墊弧為150o，潤滑油動(dòng)力粘度取為0.0287Pa.s，寬度與直徑比B/d=0.8）的軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)已被許多例子分析了（如圖1和圖4）。軸（直徑為0.45m，長8.4m軸向力為2x1011Pa，剪切力為7.6923x1010Pa，質(zhì)量密度為7800Kg/m3

32、）等同于引入六個(gè)有限元素。因此，系統(tǒng)的有限元素模型有七個(gè)點(diǎn)（28個(gè)自由度）和非線性軸承的兩個(gè)支撐。一個(gè)支撐的軸元素有四個(gè)自由度，橢圓軸承使用B1，B2兩個(gè)支撐點(diǎn)。在這種情況下，系統(tǒng)的四個(gè)自由度直接影響非線性力。因此轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一種典型的非線性動(dòng)力系統(tǒng)。軸的質(zhì)量偏心（）和圓盤的質(zhì)量偏心（）有著相同的轉(zhuǎn)動(dòng)角。有許多的例子采用了八固有模式方法。模態(tài)的影響使分析結(jié)果的準(zhǔn)確性降低了。由于ψ=O.003， μ=0.028 7 Pa·s， =

33、0.556，B’／B=O，ω=l000 r／min,系統(tǒng)的周期問題分別用八固有模式方法和全固有模式方法解決。在選定的Poinca截面上，給出周期解不動(dòng)點(diǎn)的初始迭代值Xs(t0)，用PNF方法可求得。Floquet乘子模的最大值為|fmax|=O.938</p><p>　　表 周期計(jì)算用PNF方法與不同算法（八固有模式方法或全固有模式方法）的對比</p><p>　　ω=1 000 r／

34、rim，δ=0.556，ψ=O.003，B’／B=0</p><p>　　運(yùn)用PNF方法速度集中是非常迅速的。當(dāng)使用八固有模式時(shí)，由于ψ=O.003，μ= 0.028 7 Pa·s，6=O．556，B'／B=O．4，0<ω<1 526 r／min（i．e．ω =1 526 r／min，|fmax|=1.0通過使用周期連續(xù)解決方法），因此周期是穩(wěn)定的。當(dāng)環(huán)行值的注意時(shí)，在B1，D1點(diǎn)的

35、不平衡響應(yīng)是一個(gè)半周期。此時(shí)，ψ=0.003, μ=0.0287 Pa. δ=0.556，B’／B=0.4，ω=1 580 r／min，i．e．選定Poincare截面投影在x-y軸的如圖5所示。當(dāng)ψ=0.003，μ=0.0287 Pa·s，δ=0.556，</p><p>　　B’／B=0，ω=1 600 r／min時(shí)，中心轉(zhuǎn)子B1和D1點(diǎn)的軌跡是不穩(wěn)定的如圖6所示。當(dāng)ψ=0.003，μ=0.0287

36、 Pa·s，δ=0.556，B’／B=0，,</p><p>　　ω=1 800 r（轉(zhuǎn)子的角速度ω=6Oπ rad／s），B1和D1點(diǎn)的混亂運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示。圖8表示連續(xù)的時(shí)間yD1和同步能量譜處于混亂狀態(tài)。能量譜通常用于低能量級的測量—混亂的一個(gè)重要特征。</p><p><b>　?。╝）B1點(diǎn)的軌跡</b></p><p>

37、　　B1點(diǎn)在Poincare截面的軌跡</p><p>　　圖5 當(dāng)ω=1 580 r／min，δ=0.556，ψ=0.003，B’／B=0.4時(shí)，中心轉(zhuǎn)子在B1點(diǎn)的半周期運(yùn)動(dòng)軌跡以及其在Poincare截面投影于x-y 軸的軌跡圖</p><p><b>　?。╝）B1點(diǎn)的軌跡</b></p><p><b>　?。╞）D1點(diǎn)的軌

38、跡</b></p><p>　　圖6 當(dāng)ω=1 600 r／min，δ=0.556，ψ=0.003，B’／B=0時(shí)，中心轉(zhuǎn)子在B1，D1點(diǎn)的軌跡</p><p><b>　　（a）B1點(diǎn)的軌跡</b></p><p><b>　?。╞）D1點(diǎn)的軌跡</b></p><p>　　圖7

39、當(dāng)ω=1 800 r／min，δ=0.556，ψ=0.003，B’／B=0時(shí)，中心轉(zhuǎn)子在B1，D1點(diǎn)的混亂運(yùn)動(dòng)軌跡</p><p>　　D1在y點(diǎn)的連續(xù)時(shí)間</p><p>　?。╞）D1點(diǎn)在y軸的能量譜</p><p>　　圖8當(dāng)ω=1 800 r／min，δ=0.556，ψ=0.003，B’／B=0時(shí)，D1在y連續(xù)的時(shí)間圖和同步能量譜</p>&l

40、t;p><b>　　結(jié)論</b></p><p>　　軸被描述為多自由度有限元素使用了2個(gè)結(jié)點(diǎn)帶有8個(gè)自由度的Timoshenko 梁軸有限元模型。流體擾性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)應(yīng)考慮陀螺儀和剪切力的作用。由于軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的局部非線性特征。一個(gè)修改過的帶自由接口的模態(tài)綜合技術(shù)描述了減少擾性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的自由度。為了改變坐標(biāo)引起的誤差，非線性影響仍然存在于物理空間。確保了系統(tǒng)的非線性分析的準(zhǔn)確性和節(jié)約

41、了計(jì)算工作量。在轉(zhuǎn)子軸承支撐實(shí)驗(yàn)中，油膜的氣蝕領(lǐng)域改變是由于中心轉(zhuǎn)子的移動(dòng)和速度擾動(dòng)引起的。根據(jù)油膜的物理特性，改變約束的方法是通過引入持續(xù)改變的每一階段的動(dòng)態(tài)的集成與重復(fù)的雷諾茲方程式。雷諾茲邊值的流體問題得以解決是由于使用了八交點(diǎn)方法的有限元素分析而沒有增加計(jì)算量。非線性油膜力及其Jacobian矩陣可同時(shí)計(jì)算和得到同樣的精確度。如果系統(tǒng)元素u（例如轉(zhuǎn)子角速度ω，軸承直徑寬度比d/B，周長寬度比B’／B和距離半徑比ψ，橢圓度δ）當(dāng)作

42、控制參數(shù)分配，綜合軌跡預(yù)測追蹤的延續(xù)算法和PNF方法被稱為連續(xù)周期方法問題導(dǎo)致計(jì)算周期運(yùn)動(dòng)和分岔現(xiàn)象。軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的這種混亂狀態(tài)是從能量譜中調(diào)查出來的。許多的例子顯示這項(xiàng)研究能節(jié)省計(jì)算量而且具有很好的精密度。</p><p><b>　　Reference</b></p><p>　　1 Brancati R，Rocca E，Rosso M，et a1．Jouma1

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