高階線性微分方程的積分因子解畢業(yè)論文

1、<p>　　高階線性微分方程的積分因子解</p><p>　　摘 要：本文首先講述了微分方程的基礎(chǔ)知識，介紹了一些低階常微分方程的已知的常用解法，并由此引入了積分因子解法的概念，及在一階線性微分方程求解中的簡便性,接著講述了二階線性微分方程的幾種常用解法，在考慮這幾種解法局限性的同時，引入了積分因子解法對二階變系數(shù)線性微分方程進(jìn)行求解，并取得了很好的效果。在此基礎(chǔ)上，我們把積分因子解法擴(kuò)展高階線性微分

2、方程中去。我們希望找到合適 的，使其滿足</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則我們便可以得到階線性微分方程的通解：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由此便希望將此種方法也應(yīng)用到歐拉方程中，找到歐拉方程形如</p><p>

3、;　　的積分因子，使其滿足</p><p><b>　　從而可得通解為</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　關(guān)鍵詞：高階線性微分方程,n階常系數(shù)線性微分方程，歐拉方程，積分因子</p><p>　　Abstract: In this paper, at first

4、we recount the foundational knowledge of the differential equation．We introduce some methods which are known by most of us to solve some low-order differential equations, and then led to the notion of integral factor met

5、hod．It is convenient to use the integral factor to solve the first order linear differential equations．Then we related some common methods to explain the second-order linear differential equations．In the meantime, consid

6、ering the limit of these </p><p>　　we then get the general solution of the nth-order linear differential equation , which is </p><p>　　Following that we hope expand this method to Euler’s equati

7、on, suppose </p><p>　　are integral factors of n-th Euler’s equation, if they satisfy ：</p><p>　　then we get the general solution to the nth-order Euler’s equation , which is</p><p>

8、　　Keywords: Linear Equations of Higher Order，the nth-order Ordinary Coefficient of Linear Differential Equations, the nth-order Euler’s Equation ,Integral Factor </p><p>　　3 高階線性微分方程的積分因子解法</p><p&

9、gt;　　我們已知一階線性微分方程</p><p>　　有形如的積分因子，使得兩邊同時乘以后化為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　再積分，即得通解</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　本

10、章主要對二階線性微分方程、三階線性微分方程、階常系數(shù)線性微分方程以及歐拉方程做了積分因子解法的討論。</p><p>　　3.3 階常系數(shù)線性微分方程的積分因子解法</p><p>　　我們先來看一個例子。</p><p>　　對于微分方程，將方程左端乘以，我們得到</p><p>　　， (3.28)</p&g

11、t;<p>　　對(3.28)式兩邊積分，并整理，得</p><p>　　， (3.29)</p><p>　　將(3.29)式左端乘以，我們又得到</p><p>　　， (3.30)</p><p>　　再將(3.30)式積分，得</p><p>

12、　　， (3.31)</p><p>　　把(3.29)式代入(3.31)式，得方程通解為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　通過觀察，我們可以知道，、指數(shù)中的-1、-2就是要求的微分方程的特征值的相反數(shù)。這就引出以下定理。</p><p>　　定理3.3　對于階線性

13、微分方程</p><p>　　， (3.32)</p><p>　　其中是任意可積函數(shù)，為任意常數(shù)，一定存在復(fù)數(shù)域上的，使得</p><p><b>　　(3.33)</b></p><p>　　成立，其中為待定常數(shù)。</p><p><b>　　證明：若存在，使得</

14、b></p><p><b>　　(3.33)</b></p><p>　　成立，其中為待定常數(shù)。則將(3.33)展開，必得</p><p><b>　　(3.34)</b></p><p><b>　　于是，我們有</b></p><p><

15、;b>　　(3.35)</b></p><p>　　解方程組(3.35)，得</p><p><b>　　(3.36)</b></p><p>　　其中，將(3.36)中的表達(dá)式代入方程組(3.35)中最后一個式子，并化簡整理，得</p><p><b>　　。 (3.37)</b&g

16、t;</p><p>　　顯然，在復(fù)數(shù)域上，方程(3.37)一定有解(即一定存在),并且解的個數(shù)為，由(3.37)還可以知道這里的就是(3.32)的特征值的相反數(shù)。解出后，再根據(jù)(3.36)我們即可求出，這樣我們便得到(3.33)的具體表達(dá)式。</p><p>　　我們稱為微分方程(3.32)的積分因子。</p><p>　　定理3.4 對階常系數(shù)線性微分方程&l

17、t;/p><p>　　，　 　(3.32)</p><p>　　其中是任意可積函數(shù)，為常數(shù)，一定存在</p><p><b>　　使得</b></p><p><b>　　(3.38)</b></p><p><b>　　成立。</b></p>

18、<p>　　證明： 在定理3中，我們已經(jīng)把方程(3.32)的左端降階成階多項式的全微分，下面我們將用類似的方法依次降階，并證明</p><p><b>　　的存在性。</b></p><p>　　令方程(3.33)中的，那么我們有</p><p>　　， (3.39)</p><p>　　其中是微分方程

19、(3.32)的一個特征值的相反數(shù)。</p><p><b>　　假設(shè)存在，使得</b></p><p>　　， (3.40)</p><p>　　其中，為待定常數(shù)。將(3.40)展開，得</p><p><b>　　(3.41)</b></p><p><b&g

20、t;　　從而有</b></p><p><b>　　(3.42)</b></p><p>　　解方程組(3.42),得</p><p><b>　　(3.43)</b></p><p>　　將(3.43)中的表達(dá)式代入(3.42)，并化簡整理，得</p><p>

21、<b>　　， (3.44)</b></p><p>　　解方程(3.44)即得，再將代入(3.43)，即可得出待定系數(shù)，于是我們得到(3.40)的具體表達(dá)式?，F(xiàn)在，我們將(3.40)變形為</p><p><b>　　(3.45)</b></p><p>　　將(3.45)代入(3.39),得</p>&l

22、t;p><b>　　(3.46)</b></p><p>　　對，我們用同樣方法，可得，存在，使得</p><p><b>　　(3.47)</b></p><p>　　依此類推，最后我們可得</p><p><b>　　(3.38)</b></p><

23、;p>　　至此，我們已證明微分方程(3.32)存在形如的個積分因子，使得(3.38)成立。</p><p>　　我們分別稱為微分方程(3.32)的第一積分因子，第二積分因子，··· ，第積分因子。</p><p>　　將方程(3.38)變形，可得</p><p>　　， (3.48)</p><p>

24、;<b>　　從而有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　， (3.49)</p><p>　　因此，我們可以得到方程(3.32)的通解為</p><p><b>

25、;　　。 (3.50)</b></p><p>　　推論3.1 如果方程(3.32)存在形如的個積分因子，那么它的通解為</p><p><b>　　。 (3.50)</b></p><p>　　現(xiàn)在的問題是如何找到這個積分因子，怎么求？</p><p>　　我們先來比較兩個方程(3.37)和(3.44)&

26、lt;/p><p>　　， (3.37)</p><p><b>　　， (3.44)</b></p><p>　　不妨記(3.37)的左端為，(3.44)的左端為，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b>&l

27、t;/p><p>　　在定理3的證明中，我們?nèi)?，即可得關(guān)系式</p><p><b>　　(3.51)</b></p><p>　　將中的換為，并將(3.51)代入的表達(dá)式，化簡整理后，得</p><p>　　， (3.52)</p><p>　　由此可知，的根是除去后剩

28、下的另外個根。從而可知，就是方程(3.32)的個特征根的相反數(shù)。</p><p>　　推論3.2 微分方程(3.32)的個積分因子中的就是微分方程(3.32)的特征根的相反數(shù)。</p><p>　　例4 求方程的通解。</p><p><b>　　解：這里。解得，</b></p><p><b>　　從而有&l

29、t;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　對上式積分，得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，&

30、lt;/b></p><p><b>　　再對上式積分，得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即得方程通解</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　例5　求

31、方程的通解．</p><p><b>　　解：這里，解得，</b></p><p><b>　　于是有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得方程通解為</b></p><p><b&g

32、t;　　。</b></p><p><b>　　例6　求方程．</b></p><p>　　解：這里，解得，于是有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得方程的通解為</b></p><p><b>

33、　　。</b></p><p>　　3.4歐拉方程的積分因子解法</p><p><b>　　形為</b></p><p><b>　　(3.53)</b></p><p>　　的方程稱為歐拉方程，這里為常數(shù)，為任意可積函數(shù)。</p><p>　　定理3.5　對歐

34、拉方程(3.53)，存在，使得</p><p><b>　　(3.54)</b></p><p><b>　　成立。</b></p><p>　　證明：引入自變量變換，從而將方程(3.53)轉(zhuǎn)化為如下形式：</p><p>　　， (3.55)</p><p&g

35、t;<b>　　其中，為常數(shù)。</b></p><p>　　現(xiàn)在我們用3.3中的積分因子方法求解(3.55)。</p><p>　　我們知道為微分方程(3.55)的特征根的相反數(shù)，有</p><p>　　， (3.56)</p><p>　　再將自變量代回，即將代回方程(3.56)，我們得到</p>

36、<p>　　。　　 (3.57)</p><p>　　我們知道微分方程(3.55)的特征方程為</p><p><b>　　， (3.58)</b></p><p>　　其中，(3.55)中的分別為(3.58)中的系數(shù)，所以就是方程(3.58)的根的相反數(shù)。我們有如下結(jié)論：</p><p><b>

37、　　推論3.3 為方程</b></p><p><b>　　(3.58)</b></p><p>　　的根的相反數(shù)，即為歐拉方程(3.53)的特征根的相反數(shù)。</p><p>　　對(3.57)積分，即可得出方程(3.53)的通解</p><p><b>　　(3.59)</b><

38、/p><p>　　推論3.4 歐拉方程(3.53)的一個通解為</p><p><b>　　(3.59)</b></p><p><b>　　例7 解方程。</b></p><p><b>　　解 解得，于是有</b></p><p><b>　　

39、，</b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　例8 解方程。</b></p><p><b>　　解 解得，于是有</b></p><p>&l