數(shù)值計算與算法設(shè)計課程設(shè)計--水塔流量問題的插值與擬合解法

1、<p><b>　　課程設(shè)計說明書</b></p><p>　　課程名稱: 數(shù)值計算與算法設(shè)計課程設(shè)計</p><p>　　題 目: 水塔流量問題的插值與擬合解法 </p><p>　　院 系： 理學(xué)院 ＿</p><p>　　專業(yè)班級：＿應(yīng)用數(shù)學(xué)2005-2</p>

2、<p>　　學(xué) 號：＿ ＿</p><p>　　學(xué)生姓名：＿ ＿ ＿＿</p><p>　　指導(dǎo)教師：＿＿ ＿＿＿</p><p>　　2008 年 7月 11日</p><p><b>　　課程設(shè)計任務(wù)書</b></p><p>　　2008年7月6

3、日 </p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　一、問題與假設(shè)………………………………………………………..4</p><p>　?。?）問題…………………………………………………………..4</p><p>　?。?）假設(shè)…………………………………………………………..4</p>&

4、lt;p>　　二、分析與建?！?.5</p><p>　　（1）記號…………………………………………………………..5</p><p>　?。?）散點圖………………………………………………………..5</p><p>　　三、程序與結(jié)果………………………………………………………..6</p><p&g

5、t;　　（1）方法1……………………………………………………….7</p><p>　?。?）方法2…………………………………..…………………....8</p><p>　?。?）方法3……………………………………………………….9</p><p>　　四、模型的評價………………………………………………………..11</p><p>　?。?/p>

6、1）優(yōu)點…………………………………………………………11</p><p>　　（2）缺點…………………………………………………………11</p><p>　　五、心得體會…………………………………………………………..11</p><p><b>　　水塔流量的估計</b></p><p><b>　　一、問題

7、與假設(shè)</b></p><p><b>　　（1）、問題</b></p><p>　　某社區(qū)的自來水是由一個圓柱形水塔提供。水塔高12.2米，直徑17.4米。當水塔水位降至約8.2米時，水泵自動啟動加水；水位升高到約10.8米時，水泵停止工作；一般水泵每天工作兩次。下表給出了某一天在不同時間記錄水塔中水位的數(shù)據(jù)，其中有三次觀察時水泵正在供水，無水位記錄。&

8、lt;/p><p><b>　　表1-1</b></p><p>　　試建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型，計算任意時刻的水流速度，估計一天的用水量和水泵的工作功率。</p><p><b>　?。?）、假設(shè)</b></p><p>　　1、 僅考慮居民的正常用水，不考慮水管破裂、消防用水等異常情況；</p>

9、;<p>　　2、 根據(jù)Torricelli定律，水的最大流速與水位的平方根成正比。對于所給的數(shù)據(jù)，最大水位為10.82米，最小水位為8.22米，。因此， 可以假定水位對流速沒有影響；</p><p>　　3、 假設(shè)水泵的進水速度為常數(shù)，不隨時間變化，也不是已灌水量的函數(shù)，且水泵的進水速度大于水塔中流出水的最大流速。為了滿足公眾的用水需求，不讓水箱的水用盡是顯然的要求。</p><

10、;p>　　4、 假設(shè)水塔的流水速度可用光滑曲線表示，與水泵工作與否無關(guān)。雖然就個別用戶而言，可能用水量有較大的變化，但是每個用戶的用水需求量與整個區(qū)的用水需求量相比是微不足道的，而且它與整個社區(qū)需求量的增減情況是極不相似的。所以單個用戶的用水量不能決定整個區(qū)的用水量。</p><p>　　5、 水泵工作與否完全取決于水塔內(nèi)水位的高度，且每次加水的工作時間為2小時，根據(jù)表1-1中的數(shù)據(jù)可知，水泵第一次供水時間

11、段為 [8.97,10.95]，二次供水時間段為[20.84, 22.96]。</p><p><b>　　二、分析與建模</b></p><p><b>　　（1）、記號</b></p><p><b>　　引入如下記號：</b></p><p>　　,——水的容積，時刻水

12、的容積(m3);</p><p><b>　　——時刻（h）;</b></p><p>　　——流出水箱的流量是時間的函數(shù)（m3/h）.</p><p>　　——水泵的灌水速度（m3/h）.</p><p>　　-——初始數(shù)據(jù)的當天測試時間.</p><p>　　——當天的時間（以24小時制）.&

13、lt;/p><p><b>　?。?）、散點圖</b></p><p>　　根據(jù)表1-1作出水箱中水位隨時間變化的散點圖圖1，</p><p><b>　　如下：</b></p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　再根據(jù)表1-1計算出在相

14、鄰時間區(qū)間的重點及在時間區(qū)間內(nèi)水箱中流出水的平均速度，并將其作成圖2，</p><p><b>　　如下：</b></p><p><b>　　圖2</b></p><p>　　問題已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)楦鶕?jù)流速的一個函數(shù)值表, 產(chǎn)生函數(shù)在整個區(qū)間(24小時)上的函數(shù)或函數(shù)值, 插值是最常用的方法, 可以考慮分段線性插值、三次樣條插值

15、等等.</p><p><b>　　三、程序與結(jié)果</b></p><p>　　先作出所需的散點圖，MAPLE 7程序如下：</p><p>　　> restart:</p><p>　　with(plots):</p><p>　　with(stats):</p><p

16、>　　T:=[0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.01,7.93,8.97,9.98,10.92,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,19.04,19.96,20.84,22.01,22.96,23.88,24.99,25.91]:</p><p>　　H:=[9.68,9.48,9.31,9.13,8.98,8.8

17、1,8.69,8.52,8.39,8.22,-1,-1,10.82,10.50,10.21,9.94,9.65,9.41,9.18,8.92,8.66,8.43,8.22,-1,10.82,10.59,10.35,10.18]:</p><p>　　L:=[seq([T[i],H[i]],i=1..10),seq([T[i],H[i]],i=13..23),seq([T[i],H[i]],i=25..28)]:&

18、lt;/p><p>　　plot(L,style=point);</p><p>　　T1:=[seq((T[i]+T[i+1])/2,i=1..27)]:</p><p>　　H1:=[seq((H[i]-H[i+1])/(T[i+1]-T[i]),i=1..9),seq((H[i]-H[i+1])/(T[i+1]-T[i]),i=13..22),seq((H[i]-

19、H[i+1])/(T[i+1]-T[i]),i=25..27)]:</p><p>　　L1:=[seq([T1[i],H1[i]],i=1..9),seq([T1[i+3],H1[i]],i=10..19),seq([T1[i+5],H1[i]],i=20..22)]:</p><p>　　F:=plot(L1,style=point):</p><p>　　di

20、splay(F);</p><p>　　結(jié)果分別見圖1和圖2。</p><p><b>　　（1）方法1</b></p><p>　　用最小二乘估計得到用水率函數(shù),然后在時間區(qū)間[0,24]上積分得到一天用水的總量.</p><p>　　MAPLE 7程序及運行結(jié)果如下：</p><p><

21、b>　　> n:=7:</b></p><p>　　poly:=fit[leastsquare[[x,y],y=sum(a[i]*x^i,i=0..n),{seq(a[i],i=0..n)}]]([[seq(T1[i],i=1..9),seq(T1[i],i=13..22),seq(T1[i],i=25..27)],H1]):</p><p>　　v1:=rhs(p

22、oly):</p><p>　　Volume1:=evalf(int(v1,x=0..24)*Pi*17.4^2/4);</p><p>　　G1:=plot(v1,x=0..25):</p><p>　　display([F,G1]);</p><p>　　按最小二乘估計法估計出:</p><p>　　灌水速度分別為

23、：1.549001602立方米/小時，1.469259217立方米/小時；</p><p>　　全天的用水量約為：1259.232657立方米。</p><p><b>　?。?）方法2</b></p><p>　　根據(jù)假設(shè)，水流量只依靠于公眾對水的需求，是一種自然的規(guī)律，它本身是一條相當光滑的曲線，有水泵工作時的數(shù)據(jù)當然最好，現(xiàn)在不知道，我們

24、只能依據(jù)連續(xù)性，領(lǐng)先充水前后的數(shù)據(jù)來擬合曲線，為了得到水泵工作時的水流量，我們忽略水泵工作期間的數(shù)據(jù)，直接對充水前后的數(shù)據(jù)用三次樣條插值來擬合。</p><p>　　MAPLE 7程序及運行結(jié)果如下：</p><p>　　> v2:=x->spline([seq(T1[i],i=1..9),seq(T1[i],i=13..22),seq(T1[i],i=25..27)],[se

25、q(H1[i],i=1..22)],x,3):</p><p>　　Volume2:=evalf(int(v2(x),x=0..24)*Pi*17.4^2/4);</p><p>　　G2:=plot(v2(x),x=0..25):</p><p>　　display([F,G2]);</p><p>　　> -(H[10]-H[1])

26、,int(v1,x=0..T[10]),int(v2(x),x=0..T[10]);</p><p>　　-(H[23]-H[13]),int(v1,x=T[13]..T[23]),int(v2(x),x=T[13]..T[23]);</p><p>　　-(H[28]-H[25]),int(v1,x=T[25]..T[28]),int(v2(x),x=T[25]..T[28]);<

27、/p><p>　　> (2.6+int(v1,x=T[10]..T[13]))/(T[13]-T[10]),(2.6+int(v2(x),x=T[10]..T[13]))/(T[13]-T[10]);</p><p>　　(2.6+int(v1,x=T[23]..T[25]))/(T[25]-T[23]),(2.6+int(v2(x),x=T[23]..T[25]))/(T[25]-T[

28、23]);</p><p>　　按三次樣條插值法估計出：</p><p>　　灌水速度分別為：1.543586066立方米/小時，1.473779848立方米/小時；</p><p>　　全天的用水量約為：1259.953202立方米。</p><p><b>　?。?）方法3</b></p><p&

29、gt;　　將數(shù)據(jù)分成五段分別進行三次樣條插值，然后對所求數(shù)據(jù)進行插值處理，</p><p>　　MAPLE 7程序及運行結(jié)果如下：</p><p>　　> h1:=x->spline([seq(T[i],i=1..10)],[seq(H[i],i=1..10)],x,3):</p><p>　　h3:=x->spline([seq(T[i],i=1

30、3..23)],[seq(H[i],i=13..23)],x,3):</p><p>　　h5:=x->spline([seq(T[i],i=25..28)],[seq(H[i],i=25..28)],x,3):</p><p>　　v1:=x->-diff(h1(x),x): v3:=x->-diff(h3(x),x): v5:=-diff(h5(x),x):</

31、p><p>　　> temp1:=[7.9,8.9,10.9,11.9]:</p><p>　　temp2:=[eval(v1(x),x=7.9),eval(v1(x),x=8.9),eval(v3(x),x=10.9),eval(v3(x),x=11.9)]:</p><p>　　temp3:=[19.9,20.8,23,24]:</p><

32、p>　　temp4:=[eval(v3(x),x=19.9),eval(v3(x),x=20.8),eval(v5(x),x=23),eval(v5(x),x=24)]:</p><p>　　v2:=x->spline(temp1,temp2,x,3):</p><p>　　v4:=x->spline(temp3,temp4,x,3):</p><p&

33、gt;　　G1:=plot(v1(x),x=T[1]..T[10]):</p><p>　　G2:=plot(v2(x),x=T[10]..T[13]):</p><p>　　G3:=plot(v3(x),x=T[13]..T[23]):</p><p>　　G4:=plot(v4(x),x=T[23]..T[25]):</p><p>　　

34、G5:=plot(v5(x),x=T[25]..T[28]):</p><p>　　display([F,G1,G2,G3,G4,G5]);</p><p>　　> temp:=int(abs(v1(x)),x=T[1]..T[10])+int(abs(v2(x)),x=T[10]..T[13])+int(abs(v3(x)),x=T[13]..T[23])+int(abs(v4(x

35、)),x=T[23]..T[25])+int(abs(v5(x)),x=T[25]..24):</p><p>　　Volume3:=evalf(temp*Pi*17.4^2/4);</p><p>　　-(H[10]-H[1]),int(v1(x),x=0..T[10]);</p><p>　　-(H[23]-H[13]),int(v3(x),x=T[13]..T

36、[23]);</p><p>　　-(H[28]-H[25]),int(v5(x),x=T[25]..T[28]);</p><p>　　> (2.6+int(v2(x),x=T[10]..T[13]))/(T[13]-T[10]),(2.6+int(v4(x),x=T[23]..T[25]))/(T[25]-T[23]);</p><p>　　按分段三次樣條

37、插值法估計出：</p><p>　　灌水速度分別為：1.540523495立方米/小時，1.47637600立方米/小時；</p><p>　　全天的用水量約為：1261.617359立方米。</p><p><b>　　四、模型的評價</b></p><p><b>　?。?）優(yōu)點</b><

38、/p><p>　　模型的主要優(yōu)點是證實了水泵的灌水速度為一常數(shù)，這也是我們所 期望的。</p><p>　　如果所給的數(shù)據(jù)反映了該社區(qū)的通常情況，那么f(t)可適合于一天的任何時刻。</p><p>　　任意時刻從水箱中流出水的流速都可通過多項式模型計算出來。</p><p>　　用多項式曲線擬合所給的數(shù)據(jù)其復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.971，

39、且同歸值與原始數(shù)據(jù)點沒有很大的波動。</p><p>　　在24小時周期的端點，模型的取值非常接近，可推測幾天的流速。</p><p>　　人們自然會將用水量與用電量聯(lián)系起來，特別是對家庭不用天然氣的情況。例如，燒飯需要大量的水來洗碗。同時燒飯和照明等也要用電，洗碗的耗水量也很大，并伴隨著電力的消耗（熱水器、電吹風(fēng)等）。通過調(diào)查得到，用水分布類型和日常普通用電分布類型是極其相似的。<

40、/p><p><b>　　（2）缺點</b></p><p>　　本模型的一個主要缺點就是數(shù)據(jù)太少，只能參照一天的數(shù)據(jù)，而對任何 現(xiàn)象建模時，最好有在不同條件下很多天所采集的數(shù)據(jù)。</p><p>　　如果知道水泵的抽水速度，就能更好地估計水泵灌水期間水的流速以及更準確地建立此模型。</p><p>　　通過考慮體積測量的差

41、異建立模型，這種做法包含著某種不精確性。</p><p><b>　　五、心得體會</b></p><p>　　在這次課程設(shè)計中，我從問題出發(fā)，分析問題，通過提出的一些合乎實際的假設(shè)，借助計算機，建立模型并通過最小二乘估計法、 直接對充水前后的數(shù)據(jù)用三次樣條插值來擬合以及分段三次樣條插值對所求數(shù)據(jù)進行插值處理，得到了任意時刻的水流速度、一天的用水量以及水泵的工作效率。