數(shù)值分析課程設計---驗證樣條插值的收斂性

1、<p>　　《數(shù)值分析》課程設計</p><p>　　驗證樣條插值的收斂性</p><p>　　院（系）名稱 </p><p>　　專 業(yè) 班 級 </p><p>　　學 號 </p><p>　　學 生 姓 名

2、 </p><p>　　指 導 教 師 </p><p>　　2012年05月21日</p><p>　　數(shù)值分析 課程設計評閱書</p><p><b>　　課程設計任務書</b></p><p>　　2011—2012學年第二學期</p&g

3、t;<p>　　專業(yè)班級： 09普本信計1班 學號： 090111025 姓名： 董亞偉 </p><p>　　課程設計名稱： 數(shù)值分析 </p><p>　　設計題目： 驗證樣條插值的收斂性 </p><p>　　完成期限：自 2012年 5月 21 日至2012年 5月 31 日共 10天</p&g

4、t;<p>　　設計依據(jù)、要求及主要內(nèi)容：</p><p>　　設計目的：理論上證明樣條插值的收斂性比較困難。通過實驗，驗證它的收斂性。 </p><p>　　設

5、計內(nèi)容 ： </p><p>　　(1)選定函數(shù)f(x)=1/(1+9x^2),x∈[-1,1]. </p><p>　　(2)隨著借點增加，比較被逼近函數(shù)和樣條函數(shù)誤差的變化情況。分析所得結果與Lagrang

6、e多項式插值相比較。 </p><p>　　設計要求： </p><p>　　(1)用Matlab數(shù)據(jù)庫中的相應函數(shù)spline求函數(shù)的三次樣條插值函數(shù)，或者用三彎矩方法

7、求三次樣條插值。 </p><p>　　(2)按所用的方法編寫Matlab程序求解，對數(shù)值結果進行分析。 </p><p>　　(3)查閱資料，對該問題的收斂性問題給予討論。 &

8、lt;/p><p>　　說明書要求： </p><p>　　(1)按照課程設計的說明書格式要求打印。 </p><p>　　

9、(2)在說明書正文中，按照以下內(nèi)容進行撰寫：1.前言。2.方法描述（理論與算法）。3.程序開發(fā)思路、源程序以及注釋。4.結果分析。5.參考文獻。 </p><p>　　計劃答辯時間： 2012 年 6 月 5-8 日</p><p><b>　　工作量：</b></p><p>　　(1

10、)查閱文獻資料不少于2篇，課程設計報告說明書不少于3000字。</p><p>　　(2)翻譯一篇Matlab函數(shù)庫中有關求解線性方程組的英文原文，要求翻譯準確，文字通順。</p><p>　　指導教師（簽字）： 孔繁民 教研室主任（簽字）： </p><p>　　批準日期： 2012 年 5 月 20 日</

11、p><p>　　驗證樣條插值的收斂性</p><p><b>　　摘 要 </b></p><p>　　樣條函數(shù)是一種重要的逼近工具，它的理論在數(shù)值分析中十分重要。同時，它在現(xiàn)代工業(yè)設計、計算幾何和計算機圖形學等多個領域有著廣泛的應用。樣條曲線本身就來源于飛機、船舶等外形曲線設計中所用的繪圖工具.在工程實際中,要求這樣的曲線應該具有連續(xù)的曲率

12、,也就是連續(xù)的二階導數(shù).。如飛機的機翼一般要求使用流線形設計，以減少空氣阻力，還有船體放樣等的型值線，往往要求有二階光滑度（即有二階連續(xù)導數(shù)）。因此，在分段插值的基礎上，引進了一種新的插值方法，在保證原方法的收斂性和穩(wěn)定性的同時，又使得函數(shù)具有較高的光滑性的樣條插值。再此，我們用Matlab數(shù)據(jù)庫中的相應函數(shù)spline求函數(shù)的三次樣條插值函數(shù)求解求三次樣條插值，以及比較被逼近函數(shù)和樣條函數(shù)誤差的變化情況。分析所得結果與Lagrange

13、多項式插值相比較，進而通過實驗驗證樣條插值的收斂性。</p><p>　　關鍵詞：樣條函數(shù)，三次樣條插值，spline，收斂性</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 問題的描述1</b></p><p>　　2方法描述——Lagrange插值與三次樣條插值

14、1</p><p><b>　　3 方案設計3</b></p><p><b>　　3.1源程序4</b></p><p>　　4 計算結果及其分析5</p><p><b>　　附錄8</b></p><p><b>　　總結9&l

15、t;/b></p><p><b>　　參考文獻9</b></p><p><b>　　翻譯10</b></p><p><b>　　1 問題的描述</b></p><p>　　設, ,取,.試求出10次Lagrange插值多項式和三次樣條插值函數(shù)(采用自然邊界條件)

16、,并用圖畫出,, .</p><p>　　2方法描述——Lagrange插值與三次樣條插值</p><p>　　我們?nèi)?，通過在點的函數(shù)值來對原函數(shù)進行插值，我們記插值函數(shù)為，要求它滿足如下條件：</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　我們在此處要分別通過Lagrange插值(即多項式插值)與三

17、次樣條插值的方法對原函數(shù)進行插值，看兩種方法的插值結果，并進行結果的比較。</p><p>　　10次的Lagrange插值多項式為：</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><p><b>　　以及</b></p&

18、gt;<p>　　我們根據(jù)(2)進行程序的編寫，我們可以通過幾個循環(huán)很容易實現(xiàn)函數(shù)的Lagrange插值。</p><p>　　理論上我們根據(jù)區(qū)間上給出的節(jié)點做出的插值多項式近似于，而多項式的次數(shù)越高逼近的精度就越好。但實際上并非如此，而是對任意的插值節(jié)點，當?shù)臅r候不一定收斂到；而是有時會在插值區(qū)間的兩端點附近會出現(xiàn)嚴重的偏離的現(xiàn)象，即所謂的Runge現(xiàn)象。因此用高次插值多項式近似的效果并不總是好的

19、，因而人們通常在選擇插值方式的時候不用高次多項式插值，而用分段低次插值，而這樣的插值效果往往是非常好的，能夠克服高次多項式插值的弱點，達到令人滿意的效果。</p><p>　　分段低次插值包括分段線性插值、分段三次Hermite插值、三次樣條插值等。前兩種插值函數(shù)都具有一致收斂性，但是光滑性較差，而在實際問題中我們往往要求函數(shù)具有二階光滑度，即有二階連續(xù)導數(shù)。而對第三種插值方式，我們得到的是一個樣條曲線，它是由分

20、段三次曲線拼接而成，在連接點(即樣點)上二階導數(shù)連續(xù)。</p><p>　　我們記三次樣條插值函數(shù)為，它在每個小區(qū)間上是三次函數(shù)，因此在每個區(qū)間上需要確定4個參數(shù)，總共有10個小區(qū)間，因此共需確定40個未知參數(shù)。首先我們有插值條件：</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　其次在每個節(jié)點上滿足連續(xù)性條件：</p&g

21、t;<p><b>　　(4)</b></p><p>　　此外在端點處滿足自然邊界條件：</p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　我們假設。則在每個小區(qū)間上：</p><p><b>　　(6)</b></p><p&

22、gt;<b>　　其中：</b></p><p><b>　　及</b></p><p>　　我們利用邊界條件(3)(4)(5)可以得到：</p><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><

23、;p><b>　　以及</b></p><p>　　兩端點處的邊界條件為：</p><p><b>　　(8)</b></p><p>　　將邊界條件寫成矩陣形式為：</p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　其中根據(jù)自然邊界

24、條件(8)有：</p><p>　　我們解方程(9)就可以得到，將他們代入(6)就可以得到各段區(qū)間上的的值。</p><p><b>　　3 方案設計</b></p><p>　　我們通過編寫Matlab程序來進行10次Lagrange插值與三次樣條插值的工作。在我們的程序文件中interplotion.m文件是主程序文件；Myfun_1.m文

25、件是計算10次Lagrange插值多項式的子程序文件，給它任一個，此程序將返回的值；然后spline.m是根據(jù)以及(6)計算三次樣條插值函數(shù)的子程序文件。然后運行主程序將給出三幅曲線圖，分別是與曲線，與曲線，以及、與三條曲線共同畫在一幅圖上得到的圖象。</p><p>　　解決這個問題的思路很簡單，按部就班的來就可以。首先我們計算各節(jié)點上的函數(shù)值以備后用。隨后我們給出一系列的值，計算，并分別調(diào)用Myfun_1.m

26、與spline.m分別計算與。然后根據(jù)我們得到的數(shù)據(jù)繪圖觀察插值結果。具體程序的實現(xiàn)可參見所給程序的相關注釋。</p><p><b>　　3.1源程序</b></p><p>　　首先給出主程序文件interplotion.m文件及相關注釋：</p><p>　　clear all;</p><p><b>

27、　　clc;</b></p><p>　　x0=linspace(-1,1,11); %-1t和1為起始和終止數(shù)，11為需要的結點數(shù)</p><p>　　y0=1./(1+9.*x0.^2);</p><p>　　x=-1:0.02:1;</p><p>　　y = Myfun_1(x0,y0,x); %求Lagrange插值&l

28、t;/p><p>　　yi=spline (x0,y0,x);%求三次樣條差值</p><p>　　z=1./(1+9.*x.^2);%原函數(shù)</p><p>　　Ri=abs((z-yi)./z);%三次樣條插值相對誤差(S(x)-f(x))/ f(x)</p><p>　　R=abs((z-y)./z);% Lagrange插值相對誤差(L1

29、0(x)-f(x))/ f(x)</p><p>　　x,y,z,yi,R,Ri=[x',y',z',yi',R',Ri']</p><p>　　n=size(x0)</p><p>　　plot(x,z,'o',x,y,'-',x,yi,'r*')</p>

30、<p>　　legend('原始圖象','Lagrange插值','三次樣條插值')</p><p>　　再給出Lagrange插值多項式的子程序文件Myfun_1.m</p><p>　　function y = Myfun_1(x0,y0,x)</p><p>　　n=length(x0)</p&

31、gt;<p>　　m=length(x);</p><p><b>　　for i=1:m</b></p><p><b>　　sum=0.0;</b></p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p><b>　　p=1.0;&l

32、t;/b></p><p><b>　　for k=1:n</b></p><p><b>　　if (k~=j)</b></p><p>　　p=p*((x(i)-x0(k))/(x0(j)-x0(k)));</p><p><b>　　end</b></p>

33、;<p><b>　　end</b></p><p>　　sum=sum+p*y0(j);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　y(i)=sum;</b></p><p><b>　　end</b><

34、/p><p>　　4 計算結果及其分析</p><p>　　下面是我們根據(jù)程序計算結果得到的數(shù)據(jù)，其中分別給出了在各典型處的的原函數(shù)的值、Lagrange插值結果與樣條插值結果；以及絕對誤差和,相對誤差,。由于在兩端點處進行Lagrange插值插值的時候可能出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，因此我們在兩端點附近多給了幾個點的數(shù)據(jù)。</p><p>　　表1-1實驗結果相關數(shù)據(jù)<

35、/p><p>　　盡管從數(shù)據(jù)可以看出一些端倪，但是通過圖象我們更能清楚地看到最終插值結果的定性情況。首先我們給出、及S(x)的曲線:</p><p><b>　　圖1.1實驗圖像</b></p><p>　　其中藍色的oo曲線代表曲線,綠色的曲線代表曲線?？梢姶藭r兩者之間具有很大的差別，尤其在端點附近會出現(xiàn)嚴重的偏離的現(xiàn)象，即出現(xiàn)了所謂的Runge

36、現(xiàn)象。紅色的**曲線代表曲線，可見兩條曲線幾乎完全重合，與符合的很好?？梢?，收斂性很好。</p><p>　　也許有人疑問，當結點減少時，實驗結果是什么樣子的呢？我們可以通過實驗求證一下，取n=5時，對實驗數(shù)據(jù)圖像進行分析。在此，由于數(shù)據(jù)量過大，對于數(shù)據(jù)的分析不多探討，我們之間對圖像進行直觀性的比較分析。</p><p>　　圖1-2 結點減少為5時，圖像的比較</p>&l

37、t;p>　　通過上面的圖像，我們可以很直觀的看出，三次樣條插值收斂性比較好，比較貼近原始圖像，而通過對圖1-1和圖1-2的比較可知結點增加時，Lagrange插值圖像偏離加大，三次樣條收斂依然良好。</p><p>　　我們可以再試著增加結點，比較相應的結果，取結點數(shù)n=20時，既把之前的主程序文件結點數(shù)設置為20時，再一次得到相應的數(shù)據(jù)和圖像，由于數(shù)據(jù)量過大，在此不做過多研究，僅僅給出比較圖像對實驗進行分

38、析。</p><p>　　圖1-3 結點增加為20時，圖像比較</p><p>　　由上圖很容易看出，當結點增加時，Lagrange插值圖像與原始圖片偏離更加嚴重，而三次樣條插值光滑度依然很好，而且精度比之前的更高，幾乎完全重合，誤差進一步減小，可見其收斂性。由此，通過上面的實驗數(shù)據(jù)及圖像的比較分析，很容易驗證了就樣條插值的收斂性。</p><p><b>

39、;　　附錄</b></p><p>　　Lagrange插值多項式的子程序文件Myfun_1.m</p><p>　　function y = Myfun_1(x0,y0,x)</p><p>　　n=length(x0)</p><p>　　m=length(x);</p><p><b>　　

40、for i=1:m</b></p><p><b>　　sum=0.0;</b></p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p><b>　　p=1.0;</b></p><p><b>　　for k=1:n</b>&

41、lt;/p><p><b>　　if (k~=j)</b></p><p>　　p=p*((x(i)-x0(k))/(x0(j)-x0(k)));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　s

42、um=sum+p*y0(j);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　y(i)=sum;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　總結</b></p><p>

43、;　　我們通過本次試驗中的實際計算發(fā)現(xiàn)對本次試驗中的Lagrange插值函數(shù)確實出現(xiàn)了Runge現(xiàn)象，尤其當結點增加的時候偏離現(xiàn)象尤為明顯，而且有時會在插值區(qū)間的兩端點附近會出現(xiàn)嚴重的偏離的現(xiàn)象，即所謂的Runge現(xiàn)象。插值結果很不令人滿意；我們轉而采用分段的三次樣條插值，隨著n的增大，三次樣條插值多項式將越來越接近被插值的函數(shù)，得到了非常好的插值效果。同時也在比較中驗證了樣條插值的收斂性。</p><p>　　

44、同時，經(jīng)過這幾天的努力，數(shù)值分析的課程設計終于完成了，有種如釋重負的感覺。我認識到：知識必須通過應用才能實現(xiàn)其價值！有些東西以為學會了，但真正到用的時候才發(fā)現(xiàn)自己不知如何使用，所以我認為只有到真正會用的時候才是真的學會了，自己所要做的是要更加努力。。課程設計不僅是對前面所學知識的一種檢驗，而且也是對自己能力的一種提高。通過這次課程設計使我明白了自己原來知識還比較欠缺，自己要學習的東西還太多。這次課程設計，讓我更加明白學習是一個長期積累的

45、過程。這次的課程設計也使我意識到了只是運用的重要性，平時學的知識只有運用到實踐中才能發(fā)揮它本身的作用，才能創(chuàng)造更大的價值。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 黃明游，馮國忱.數(shù)值分析[M].北京：高等教育出版社,2008</p><p>　　[2] 曹弋，MATLAB教程及實訓[M].北京：機械工業(yè)出版社

46、,2008</p><p>　　[3] 石博強,趙金.MATLAB數(shù)學計算與工程分析范例教程[M].北京:中國鐵道出版社,2005.</p><p><b>　　翻譯</b></p><p><b>　　英語原文：</b></p><p>　　SPLINE Cubic spline data int

47、erpolation.</p><p>　　YY = SPLINE(X,Y,XX) uses cubic spline interpolation to find YY, the values of the underlying function Y at the points in the vector XX. The vector X specifies the points at which the da

48、ta Y is given. If Y is a matrix, then the data is taken to be vector-valued and interpolation is performed for each column of Y and YY will be length(XX)-by-size(Y,2).</p><p>　　PP = SPLINE(X,Y) returns the

49、piecewise polynomial form of the cubic spline interpolant for later use with PPVAL and the spline utility UNMKPP. Ordinarily, the not-a-knot end conditions are used. However, if Y contains two more values than X has entr

50、ies, then the first and last value in Y are used as the endslopes for the cubic spline. Namely:</p><p>　　f(X) = Y(:,2:end-1), df(min(X)) = Y(:,1), df(max(X)) = Y(:,end)</p><p><b>　　Ex

51、ample:</b></p><p>　　This generates a sine curve, then samples the spline over a finer mesh:</p><p>　　x = 0:10; y = sin(x);</p><p>　　xx = 0:.25:10;</p><p>　　yy =

52、spline(x,y,xx);</p><p>　　plot(x,y,'o',xx,yy)</p><p><b>　　Example:</b></p><p>　　This illustrates the use of clamped or complete spline interpolation where end slo

53、pes are prescribed. Zero slopes at the ends of an interpolant to the values of a certain distribution are enforced:</p><p>　　x = -4:4; y = [0 .15 1.12 2.36 2.36 1.46 .49 .06 0];</p><p>　　cs = sp

54、line(x,[0 y 0]);</p><p>　　xx = linspace(-4,4,101);</p><p>　　plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-');</p><p>　　See also INTERP1, PPVAL, SPLINES (The Spline Toolbox).</p&

55、gt;<p><b>　　中文說明：</b></p><p><b>　　三次樣條插值</b></p><p>　　YY = SPLINE(X,Y,XX)利用三次樣條插值的找到YY，基礎函數(shù)Y點的矢量 XX 中的值。矢量X指定點的數(shù)據(jù)給出了Y。如果Y是一個矩陣，然后將對Y和YY的每一列的數(shù)據(jù)進行插值，它們的長度也是相等的。</

56、p><p>　　PP = SPLINE(X,Y) 返回為后來的估計分段多項式和實用UNMKPP使用三次樣條插值分段多項式形式。</p><p>　　通常狀況下，使用不一結結束條件。然而，如果Y包含兩個以上超過X的條目，然后在Y的第一個值和最后一個值被用來作為三次樣條的端點斜率。換句話說：</p><p>　　f(X) = Y(:,2:end-1), df(min(X

57、)) = Y(:,1), df(max(X)) = Y(:,end)</p><p><b>　　例：</b></p><p>　　這將生成正弦曲線，然后樣品在更精細的網(wǎng)格的樣條。</p><p>　　x = 0:10; y = sin(x);</p><p>　　xx = 0:.25:10;</p>

58、<p>　　yy = spline(x,y,xx);</p><p>　　plot(x,y,'o',xx,yy)</p><p><b>　　例：</b></p><p>　　這個舉例說明了如何結束使用夾或完整的樣條插值是由端點斜率決定的。零插值兩端的端點斜率有一定的分布值執(zhí)行：</p><p&g

59、t;　　x = -4:4; y = [0 .15 1.12 2.36 2.36 1.46 .49 .06 0];</p><p>　　cs = spline(x,[0 y 0]);</p><p>　　xx = linspace(-4,4,101);</p><p>　　plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-'