數(shù)值計(jì)算課程設(shè)計(jì)---非線性方程（組）的解法

1、<p>　　《數(shù)值計(jì)算方法》課程設(shè)計(jì)</p><p>　　設(shè)計(jì)題目： 非線性方程（組）的解法 </p><p>　　設(shè)計(jì)時(shí)間： 2010-6-11至2010-6-18 </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　題目 非線性方程（組）的數(shù)值解法</p>

2、<p>　　--求解非線性方程組的幾種方法</p><p><b>　　問(wèn)題的提出</b></p><p>　　分析比較Newton法、Newton法的變形格式。然后分別用Newton 法、簡(jiǎn)化Newton 法、選取不同的初值求解下面方程組，對(duì)于相同的精度要求，比較這兩種方法的運(yùn)行時(shí)間。</p><p><b>　　背景分

3、析</b></p><p>　　牛頓法是一種重要迭代法，他是逐步線性化方法的典型代表，牛頓法的特點(diǎn)是每一步都需要計(jì)算以及，其計(jì)算量比較大，為了減少計(jì)算量，提出簡(jiǎn)化牛頓法。</p><p><b>　　算法思想</b></p><p><b>　　1、牛頓法</b></p><p>　　設(shè)

4、有非線性方程組 </p><p><b>　　其中 </b></p><p>　　由偏導(dǎo)數(shù)作成的矩陣記為，稱(chēng)為的雅克比矩陣</p><p>　　設(shè)為的解，且設(shè)為的近似解?，F(xiàn)利用多元函數(shù)在點(diǎn)的泰勒公式有</p><p>　　其中，在與的所連的線段內(nèi)。</p><p>　　如果用上式中

5、的線性函數(shù)近似替代，并將線性方程組</p><p><b>　　…..(1)</b></p><p>　　的解作為的第次近似解記為</p><p>　　將（1）式寫(xiě)成矩陣形式，即 </p><p>　　為非奇異矩陣,則牛頓迭代公式：</p><p>　　……………………………(2 )</

6、p><p>　　求解非線性方程組牛頓方法為</p><p><b>　　2、簡(jiǎn)化牛頓法</b></p><p>　　在牛頓法的基礎(chǔ)上，為了減少計(jì)算量，將均取為，得如下簡(jiǎn)化牛頓公式：</p><p>　　…………………(3 )</p><p>　　其中（2）（3）式均為線性收斂的。</p>

7、<p><b>　　算法設(shè)計(jì)</b></p><p>　　將一個(gè)非線性方程組寫(xiě)成向量的形式有： </p><p><b>　　F(x) = 0 </b></p><p>　　牛頓迭代法的公式就是： </p><p>　　x(k+1)=x(k)-F’(x(k))-1F(x(k)) <

8、/p><p>　　其中F’(x(k))為Jacobi矩陣，我寫(xiě)的這段程序就是根據(jù)這個(gè)公式來(lái)的。</p><p>　　運(yùn)用MATLAB中的jacobian求出F的雅克比矩陣，用inv求逆</p><p>　　matrix=@(varargin)[varargin{:}]構(gòu)造迭代函數(shù)</p><p>　　在比較牛頓法和簡(jiǎn)化牛頓法運(yùn)行時(shí)間方面，我們主要

9、是通過(guò)比較迭代次數(shù)。</p><p><b>　　程序清單</b></p><p><b>　　牛頓法源程序：</b></p><p>　　function x=newton_solve(F,v,x0,e) </p><p>　　if (~ischar(F) || ~ischar(v)) %定義類(lèi)型

10、</p><p>　　error('Parameter F and v should be char type!'); </p><p><b>　　end </b></p><p>　　if (~isnumeric(x0) || ~isnumeric(e)) </p><p>　　error('

11、Parameter x0 and e should be numeric type!'); </p><p><b>　　end </b></p><p>　　F=sym(F);v=sym(v);</p><p>　　dF=jacobian(F,v);</p><p>　　tF=inv（dF）*F</p&

12、gt;<p>　　for index=1:numel(v) </p><p>　　tF=subs(tF,v(index),['x(' num2str(index) ')']); %把x分量化，把x1變成x（1），把x2變成x（2）</p><p><b>　　end </b></p><p>　　m

13、atrix=@(varargin)[varargin{:}].'; </p><p><b>　　%構(gòu)造迭代函數(shù)</b></p><p>　　phi=['x-' char(tF)]; </p><p>　　eval(['phi=@(x)' phi ';']); </p>&l

14、t;p>　　err=inf; %無(wú)窮大</p><p>　　xold=phi(x0); </p><p><b>　　n=0; </b></p><p>　　while err>e </p><p>　　xnew=phi(xold); </p><p>　　%用本次結(jié)果與上次結(jié)果差的范

15、數(shù)來(lái)衡量誤差</p><p>　　err=norm(xnew-xold); </p><p>　　xold=xnew; </p><p><b>　　n=n+1; </b></p><p>　　%迭代次數(shù)大于10000是退出循環(huán)</p><p>　　if (n>10000) </p&g

16、t;<p><b>　　break; </b></p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　n%迭代次數(shù)</b></p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　x=xold;

17、</b></p><p>　　簡(jiǎn)化牛頓法的源程序：</p><p>　　function x=simnewton_solve (F,v,x0,e) </p><p>　　if (~ischar(F) || ~ischar(v)) %定義類(lèi)型</p><p>　　error('Parameter F and v should

18、 be char type!'); </p><p><b>　　end </b></p><p>　　if (~isnumeric(x0) || ~isnumeric(e)) </p><p>　　error('Parameter x0 and e should be numeric type!'); </p&g

19、t;<p><b>　　end </b></p><p>　　F=sym(F);v=sym(v);</p><p>　　dF=jacobian(F,v);</p><p>　　tF=inv(dF)% dF的逆矩陣</p><p>　　tF11= -x0(2)/(-x0(2)+4*x0(1));</p&

20、gt;<p>　　tF12=1/(-x0(2)+4*x0(1));</p><p>　　tF21= 2*x0(1)/(-x0(2)+4*x0(1));</p><p>　　tF22=-1/2/(-x0(2)+4*x0(1));</p><p>　　tF=[tF11,tF12;tF21, tF22] % 把dF的逆矩陣用初始值x0代入，得到一常數(shù)矩陣，（

21、簡(jiǎn)化牛頓法的思想）</p><p><b>　　tF=tF*F；</b></p><p>　　for index=1:numel(v) </p><p>　　tF=subs(tF,v(index),['x(' num2str(index) ')']); %把x分量化，把x1變成x（1），把x2變成x（2）<

22、/p><p><b>　　end </b></p><p>　　matrix=@(varargin)[varargin{:}].'; </p><p><b>　　%構(gòu)造迭代函數(shù)</b></p><p>　　phi=['x-' char(tF)]; </p><

23、;p>　　eval(['phi=@(x)' phi ';']); </p><p>　　err=inf; %無(wú)窮大</p><p>　　xold=phi(x0); </p><p><b>　　n=0; </b></p><p>　　while err>e </p>

24、<p>　　xnew=phi(xold); </p><p>　　%用本次結(jié)果與上次結(jié)果差的范數(shù)來(lái)衡量誤差</p><p>　　err=norm(xnew-xold); </p><p>　　xold=xnew; </p><p><b>　　n=n+1; </b></p><p>

25、　　%迭代次數(shù)大于10000是退出循環(huán)</p><p>　　if (n>10000) </p><p><b>　　break; </b></p><p><b>　　end </b></p><p><b>　　n%迭代次數(shù)</b></p><p&g

26、t;<b>　　end </b></p><p><b>　　x=xold;</b></p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果分析</b></p><p>　　newton_solve('[x1+2*x2-3;2*x1^2+x2^2-5]','[x1;x2]',[1.5;1

27、],0.0001)</p><p><b>　　n = </b></p><p><b>　　2</b></p><p><b>　　ans =</b></p><p><b>　　1.4880</b></p><p><b&

28、gt;　　0.7560</b></p><p>　　simnewton_solve('[x1+2*x2-3;2*x1^2+x2^2-5]','[x1;x2]',[1.5;1],0.0001) </p><p><b>　　n =</b></p><p><b>　　3</b>&l

29、t;/p><p><b>　　ans =</b></p><p><b>　　1.4880</b></p><p><b>　　0.7560</b></p><p>　　newton_solve('[x1+2*x2-3;2*x1^2+x2^2-5]','[x

30、1;x2]',[100;56],0.0001)</p><p><b>　　n =</b></p><p><b>　　10</b></p><p><b>　　ans =</b></p><p><b>　　1.4880</b></p>

31、;<p><b>　　0.7560</b></p><p>　　simnewton_solve('[x1+2*x2-3;2*x1^2+x2^2-5]','[x1;x2]',[100;56],0.0001)</p><p><b>　　n =</b></p><p><b&

32、gt;　　388</b></p><p><b>　　ans =</b></p><p><b>　　1.4938</b></p><p><b>　　0.7531</b></p><p>　　上面的結(jié)果是牛頓法和簡(jiǎn)化牛頓法同精度同初值的解法以及不同初值同精度得出來(lái)

33、的，我們利用迭代次數(shù)來(lái)比較它們運(yùn)行的快慢（即運(yùn)行的時(shí)間），我們本題的初值和精度可以任意取值，從而得出迭代次數(shù)以及結(jié)果。從結(jié)果可以看出，簡(jiǎn)化牛頓法相比起牛頓法迭代次數(shù)要多一些，而且簡(jiǎn)化牛頓法的值誤差較大，因此用牛頓法解非線性方程組要比簡(jiǎn)化牛頓法要好。</p><p><b>　　問(wèn)題分析</b></p><p>　　在我們參考了MATLAB相關(guān)書(shū)籍之后，通過(guò)在網(wǎng)上的查閱

34、，基本編寫(xiě)出牛頓法解非線性方程組的程序，在這個(gè)程序的基礎(chǔ)上我們來(lái)改進(jìn)用以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化牛頓法解非線性方程組，我們主要遇到的是要怎么使它可以在程序中賦初值之后直接生成，最后這個(gè)沒(méi)有解決，所以我們選擇了賦初值后，直接把求出來(lái)，再把的值作為常量帶入程序中求解。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　本次的程序設(shè)計(jì)，我們用MATLAB編寫(xiě)了牛頓法解非線性方程

35、以及簡(jiǎn)化的牛頓法解非線性方程的程序。牛頓法是通過(guò)牛頓迭代法的公式：x(k+1)=x(k)-F’(x(k))-1F(x(k)) ，帶入初值及給定精度的范圍，得出方程組的解。簡(jiǎn)化牛頓法，實(shí)在牛頓法的基礎(chǔ)上，把雅可比矩陣的逆的初始矩陣算出來(lái)，再通過(guò)迭代的出的解。我們選取了不同的初值解非線性方程組。并且對(duì)于同初值同精度問(wèn)題，分別用牛頓法和簡(jiǎn)化的牛頓法解得簡(jiǎn)化的牛頓法迭代的次數(shù)更多。說(shuō)明簡(jiǎn)化的牛頓法迭代精度更低而且求的的解誤差較大。這與理論是相符

36、合的。牛頓法和簡(jiǎn)化牛頓法都有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的時(shí)候，要結(jié)合自己的實(shí)力和自己所需的選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?。我們從不懂到懂得這個(gè)過(guò)程讓我們收獲很多，通過(guò)不斷地學(xué)習(xí)，查閱資料以及修改程序，一個(gè)從無(wú)到有的積累，我們不僅僅是在做題，也是在學(xué)習(xí)處理任何問(wèn)題的方法。遇到困難不要輕易放棄，要善于利用和整合資源，這都是生活必不可少的。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p>&

37、lt;p>　　《數(shù)值計(jì)算方法》鄭繼明 重慶大學(xué)出版社 2005</p><p>　　《數(shù)值分析》翟瑞彩和謝偉松 天津大學(xué)出版社2000</p><p>　　《matlab 工程數(shù)學(xué)應(yīng)用》許波和劉征 清華大學(xué)出版社 2000</p><p><b>　　心得體會(huì)</b></p><p>　　為期一周的《數(shù)值計(jì)算方法》

38、的課程設(shè)計(jì)結(jié)束了，與其說(shuō)是一個(gè)星期，實(shí)質(zhì)只有四天，中間有三天放假，所以我們?cè)谏蠙C(jī)設(shè)計(jì)的時(shí)間里抓得很緊。</p><p>　　通過(guò)兩年來(lái)的學(xué)習(xí)，我覺(jué)得這樣的課程設(shè)計(jì)是非常有意義的。數(shù)值計(jì)算方法是一門(mén)應(yīng)用范圍很廣的課程，是信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)主要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)上機(jī)才知道原來(lái)我們可以運(yùn)用MATLAB和C語(yǔ)言以及其他的相關(guān)匯編語(yǔ)言來(lái)編輯程序解決數(shù)值計(jì)算方法里面的很多問(wèn)題。</p><p

39、>　　在學(xué)習(xí)了理論知識(shí)之后，如何去具體的處理數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，如何把我們的理論運(yùn)用到實(shí)踐中去，這樣的課程設(shè)計(jì)為我們提供了這樣一個(gè)實(shí)踐平臺(tái)。通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)，我收獲頗多。</p><p>　　首先是對(duì)MATLAB軟件的認(rèn)識(shí)有了進(jìn)一步的提升。它簡(jiǎn)單易學(xué)、計(jì)算功能強(qiáng)等。MATLAB具有強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算、數(shù)據(jù)處理的功能，它輸出的結(jié)果可視化。編程效率高，比C語(yǔ)言簡(jiǎn)單，讓我們比較容易接受，所以我們?cè)诮鉀Q這道題的時(shí)候選擇了使用ma

40、tlab這種高級(jí)編程語(yǔ)言。我們也通過(guò)這次上機(jī)實(shí)驗(yàn)對(duì)《數(shù)值計(jì)算方法》有了更進(jìn)一步的鞏固。其次，通過(guò)這次上機(jī)實(shí)驗(yàn)，我對(duì)牛頓法有了更深一層的理解。牛頓法是一種重要迭代法，他是逐步線性化方法的典型代表。為了減少計(jì)算量，牛頓法還衍生出許多的變格形式，比如下降牛頓法、阻尼牛頓法、簡(jiǎn)化牛頓法、修正牛頓法、擬牛頓法等等，這里我們主要是用了牛頓法和簡(jiǎn)化牛頓法來(lái)解非線性方程組，并對(duì)這兩種方法做了一個(gè)比較，通過(guò)精度的分析，迭代次數(shù)的比較得出牛頓法迭代次數(shù)比較

41、少，但計(jì)算量大；簡(jiǎn)化的牛頓法迭代次數(shù)多但計(jì)算量相對(duì)較少。所以是各有所長(zhǎng)，都能解決我們的問(wèn)題。在做本次課程設(shè)計(jì)的過(guò)程中我感觸最深的當(dāng)屬查閱了很多書(shū)籍，為了讓自己的設(shè)計(jì)更加完善，更加符合標(biāo)準(zhǔn)，一次次翻閱相關(guān)書(shū)籍書(shū)是十分必要的，同時(shí)也是必不可少的。</p><p>　　通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)讓我了解到合作的重要性，在處理問(wèn)題的時(shí)候，當(dāng)自己冥思苦想也想不出來(lái)解決方案的時(shí)候，不妨選擇請(qǐng)教老師，和同學(xué)討論?？梢赃_(dá)到事半功倍的效果。我們

42、的工作是一個(gè)團(tuán)隊(duì)的工作，團(tuán)隊(duì)需要個(gè)人，個(gè)人也離不開(kāi)團(tuán)隊(duì)，必須發(fā)揚(yáng)團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。某個(gè)人的離群都可能導(dǎo)致導(dǎo)致整項(xiàng)工作的失敗。實(shí)習(xí)中只有一個(gè)人知道原理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須讓每個(gè)人都知道，否則一個(gè)人的錯(cuò)誤，就有可能導(dǎo)致整個(gè)工作失敗。團(tuán)結(jié)協(xié)作是我們實(shí)習(xí)成功的一項(xiàng)非常重要的保證。而這次實(shí)習(xí)也正好鍛煉了我們的這一點(diǎn)，這對(duì)于我們的整個(gè)人生來(lái)說(shuō)，都是非常寶貴的。 </p><p>　　通過(guò)這一個(gè)星期《數(shù)值計(jì)算方法》上機(jī)實(shí)驗(yàn)，我對(duì)《

43、數(shù)值計(jì)算方法》有了進(jìn)一步的鞏固，我們不僅掌握數(shù)值計(jì)算方法的基本概念，數(shù)值求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法，更進(jìn)一步為學(xué)習(xí)和解決科學(xué)與工程中的實(shí)際問(wèn)題打好基礎(chǔ)，使我們具備基本的算法分析、設(shè)計(jì)能力和一定的編程能力。當(dāng)然，若要是得自己在這一方面更有能力，僅僅一個(gè)星期的上機(jī)實(shí)驗(yàn)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要自己課下的多多努力，不過(guò)通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)為我們進(jìn)一步更好的學(xué)習(xí)引進(jìn)了一個(gè)方向，我相信，這次上機(jī)實(shí)驗(yàn)之后，我能夠更有方向性的、目的性去更深的學(xué)習(xí)《數(shù)值計(jì)算方法》以及其