三角函數(shù)圖象與性質(zhì)（講）-2019年高考數(shù)學(xué)---精校解析講練測 word版

1、<p>　　2019年高考數(shù)學(xué)講練測【浙江版 】【講】</p><p>　　第四章 三角函數(shù)與解三角形</p><p>　　第04節(jié) 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)</p><p><b>　　【考綱解讀】</b></p><p><b>　　【知識清單】</b></p><p

2、>　　1．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)</p><p>　?。?）正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)</p><p>　　（2）（五點(diǎn)法），先列表，令，求出對應(yīng)的五個的值和五個值，再根據(jù)求出的對應(yīng)的五個點(diǎn)的坐標(biāo)描出五個點(diǎn)，再把五個點(diǎn)利用平滑的曲線連接起來，即得到在一個周期的圖像，最后把這個周期的圖像以周期為單位，向左右兩邊平移，則得到函數(shù)的圖像.</p>&l

3、t;p>　　2．三角函數(shù)的定義域與值域</p><p>　?。?）定義域：,的定義域為,的定義域為.</p><p>　　（2）值域：,的值域為,的值域為.</p><p>　?。?）最值：：當(dāng)時，；當(dāng)時，．</p><p><b>　?。寒?dāng)時，；當(dāng)時，．</b></p><p>　?。杭葻o

4、最大值，也無最小值</p><p>　　3.三角函數(shù)的單調(diào)性</p><p>　?。?）三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：</p><p><b>　　的遞增區(qū)間是，</b></p><p><b>　　遞減區(qū)間是；</b></p><p><b>　　的遞增區(qū)間是，</b

5、></p><p><b>　　遞減區(qū)間是，</b></p><p><b>　　的遞增區(qū)間是，</b></p><p>　?。?）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性</p><p>　　設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)

6、增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，如下表</p><p>　　4 .三角函數(shù)的對稱性</p><p>　?。?）對稱軸與對稱中心：</p><p>　　的對稱軸為，對稱中心為；</p><p>　　的對稱軸為，對稱中心為；</p><p><b>　　對稱中心為.</b></p><

7、;p>　　（2）對于和來說，對稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系.</p><p>　　的圖象有無窮多條對稱軸，可由方程解出；它還有無窮多個對稱中心，它們是圖象與軸的交點(diǎn)，可由，解得，即其對稱中心為．</p><p>　　（3）相鄰兩對稱軸間的距離為，相鄰兩對稱中心間的距離也為,函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．</p><p>　　5.三角函數(shù)的

8、奇偶性</p><p>　?。?）函數(shù)的奇偶性的定義； 對定義域內(nèi)任意，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)</p><p>　?。?）奇偶函數(shù)的性質(zhì)：</p><p>　　（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；</p><p><b>　?。?）為偶函

9、數(shù)．</b></p><p>　?。?）若奇函數(shù)的定義域包含，則．</p><p>　?。?）為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù).</p><p>　　6.三角函數(shù)的周期性</p><p>　?。?）周期函數(shù)的定義</p><p>　　一般地，對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的每一個值，都有 ，那么函

10、數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期．</p><p>　?。?）最小正周期：對于一個周期函數(shù)，如果它所有的周期中存在一個最小的正數(shù) ，那么這個最小的正數(shù) 就叫做的最小正周期． </p><p>　　（3）,周期為,周期為.</p><p><b>　　【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】</b></p><p>　　考點(diǎn)1 正弦

11、、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)</p><p>　　【1-1】【2018年全國卷Ⅲ理】函數(shù)在的零點(diǎn)個數(shù)為________．</p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　【解析】分析：求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點(diǎn)個數(shù).</p><p>　　詳解：，，由題可知，或，解得,或，故有3個零點(diǎn)

12、.</p><p>　　【1-2】【2017課標(biāo)3，理6】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是</p><p>　　A．f(x)的一個周期為?2πB．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱</p><p>　　C．f(x+π)的一個零點(diǎn)為x=D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減</p><p><b>　　【答案】D&

13、lt;/b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)抓住四條：①將原函數(shù)化為或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一個周期內(nèi)的五個特殊點(diǎn)，當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)．</p><

14、;p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　【變式一】【2018屆浙江省金麗衢十二校高三第二次聯(lián)考】函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的圖象如圖，則φ=（　?。?lt;/p><p>　　A. B. C. D. </p><p><b>　　【答案】B</b&

15、gt;</p><p>　　【解析】分析：先根據(jù)圖確定半個周期，得ω，再根據(jù)最大值求φ.</p><p><b>　　詳解：因為，所以</b></p><p><b>　　因為，所以</b></p><p><b>　　因為|φ|＜因此，</b></p><

16、p><b>　　選B.</b></p><p>　　【變式二】【江西省贛州市2018年5月高考適應(yīng)性考試】若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，，則（ ）</p><p>　　A. B. C. D. </p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　考點(diǎn)2

17、三角函數(shù)的定義域與值域</p><p>　　【 2-1】函數(shù)的定義域是________．</p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　【解析】(1)由題意得，即，分別由三角函數(shù)線得，</p><p>　　【2-2】【2018年北京卷文】已知函數(shù).</p><p>　?。á瘢┣?/p>

18、的最小正周期； </p><p>　　（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.</p><p>　　【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.</p><p>　　【解析】分析：（1）將化簡整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.</p><p><b>　　詳解：</b>&l

19、t;/p><p><b>　?。á瘢?lt;/b></p><p>　　所以的最小正周期為.</p><p><b>　?。á颍┯桑á瘢┲?</b></p><p><b>　　因為，所以.</b></p><p>　　要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.

20、</p><p><b>　　所以，即.</b></p><p><b>　　所以的最小值為.</b></p><p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　1．三角函數(shù)定義域的求法</p><p>　　求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的

21、三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解．</p><p>　　2．三角函數(shù)值域的不同求法</p><p>　　(1)利用sin x和cos x的值域直接求；</p><p>　　(2)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；</p><p>　　(3)把sin x或cos x看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求

22、值域；</p><p>　　(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．</p><p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　【變式一】函數(shù)的定義域是（ ）</p><p>　　A. B. </p><p>　　C.

23、 D. </p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【解析】由?0得,∴，k∈Z.</p><p><b>　　故選D.</b></p><p>　　【變式二】【2017新課標(biāo)2】函數(shù)（）的最大值是__________．</p><p><

24、;b>　　【答案】1</b></p><p>　　【解析】化簡三角函數(shù)的解析式，則 ，由可得，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1．</p><p>　　考點(diǎn)3三角函數(shù)的單調(diào)性</p><p>　　【3-1】【2018屆福建省漳州市5月測試】已知函數(shù)（，），滿足，且對任意，都有．當(dāng)取最小值時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）</p><p&

25、gt;　　A. ，Z B. ，Z</p><p>　　C. ，Z D. ，Z</p><p><b>　　【答案】A</b></p><p>　　【解析】分析：由，可得關(guān)于對稱，對任意，可得時，取得最小值，即可求解解析式，從而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式，求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.</p><p><b&

26、gt;　　那么，函數(shù)，</b></p><p><b>　　當(dāng)時，取得最小值，</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　即函數(shù)，</b></p><p><b>　　令，</b></p>&l

27、t;p><b>　　得，</b></p><p>　　所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：</p><p><b>　　，,故選A.</b></p><p>　　點(diǎn)睛：的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：(1) 代換法：①若,把看作是一個整體，由 求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間；②若,則利用誘導(dǎo)公式先將的符號化為正，再利用①的方法，或根據(jù)

28、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律進(jìn)行求解；(2) 圖象法：畫出三角函數(shù)圖象，利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.</p><p>　　【3-2】已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為( )</p><p>　　A. B. </p><p>　　C. D. </p><p><b>　　【答案】B</b><

29、/p><p>　　【解析】由于函數(shù)的最小正周期為，∴，令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，故選B.</p><p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　1. 求形如或 (其中A≠0，)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：①把“ ()”視為一個“整體”；②A>0(A<0)時，所列不等式的方向與 (

30、)， ()的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反)．</p><p>　　2. 如何確定函數(shù)當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性</p><p>　　對于函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，要特別注意的正負(fù)，若為負(fù)值，需要利用誘導(dǎo)公式把負(fù)號提出來，轉(zhuǎn)化為的形式，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞減區(qū)間之內(nèi)；若求其遞減區(qū)間，應(yīng)把放在正弦函數(shù)的遞增區(qū)間之內(nèi).</p><p>　　3.求函數(shù) (或，或)的

31、單調(diào)區(qū)間的步驟：</p><p><b>　　(1)將化為正．</b></p><p>　　(2)將看成一個整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解．</p><p>　　4．特別提醒：解答三角函數(shù)的問題時，不要漏了“”. 三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時易錯用“∪”聯(lián)結(jié)．求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時若的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域．<

32、/p><p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　【變式一】函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）</p><p>　　A. B. </p><p>　　C. D. </p><p><b>　　【答案】D</b></p&g

33、t;<p>　　【解析】試題分析：由五點(diǎn)作圖知，解得：，所以，令</p><p>　　，解得，故單調(diào)遞減區(qū)間為</p><p><b>　　，故選D．</b></p><p>　　【變式二】【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)第十五次考試】已知函數(shù)，若，則上具有單調(diào)性，那么的取值共有（ ）</p><p>

34、　　A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　考點(diǎn)4 三角函數(shù)的對稱性</p><p>　　【4-1】【2018年江蘇卷】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值是________．</p><p><b>　　【答案】<

35、;/b></p><p>　　【解析】分析：由對稱軸得，再根據(jù)限制范圍求結(jié)果.</p><p>　　詳解：由題意可得，所以，因為，所以</p><p>　　【4-2】若函數(shù)（）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則__________．</p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　【解析

36、】根據(jù)題意可得 又，故 .</p><p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　先化成的形式再求解．其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心, 關(guān)鍵是記住三角函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象并結(jié)合整體代入的基本思想即可求三角函數(shù)的對稱軸與對稱中心．</p><p><b>　　【觸類旁通】</b&g

37、t;</p><p>　　【變式一】下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)不是函數(shù)的圖象的對稱中心的是 （ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　【解析】的對稱中心為，所以的對稱中心可以表示為，經(jīng)檢驗C選項不滿足條件，故選C．<

38、;/p><p>　　【變式二】【2018屆新疆烏魯木齊地區(qū)5月訓(xùn)練】函數(shù)圖像的一條對稱軸為（ ）</p><p>　　A. B. C. D. </p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　【解析】分析：逆用兩角和余弦公式公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性建立方程進(jìn)行求解即

39、可．</p><p>　　詳解：y=cosx﹣sinx=（cosx﹣sinx）=cos（x+），</p><p>　　由x+=kπ，得x=﹣+kπ，k∈Z，</p><p>　　即函數(shù)的對稱軸為x=﹣+kπ，k∈Z，</p><p>　　當(dāng)k=0時，對稱軸為x=﹣，</p><p><b>　　故選：D．&l

40、t;/b></p><p>　　考點(diǎn)5三角函數(shù)的奇偶性</p><p>　　【5-1】函數(shù) 是 （ ）</p><p>　　A. 周期為的奇函數(shù) B. 周期為的偶函數(shù)</p><p>　　C. 周期為的奇函數(shù) D. 周期為的偶函數(shù)</p><p><b>

41、　　【答案】B</b></p><p><b>　　【解析】為偶函數(shù)</b></p><p><b>　　本題選擇B選項.</b></p><p>　　【5-2】【2018屆遼寧省丹東市測試（二）】設(shè)，若，則函數(shù)</p><p>　　A. 是奇函數(shù) B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱</

42、p><p>　　C. 是偶函數(shù) D. 的圖象關(guān)于直線對稱</p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　【解析】分析：由可得，將其代入化簡得到，所以函數(shù)為偶函數(shù)．</p><p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　1. 一般根據(jù)函數(shù)

43、的奇偶性的定義解答，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關(guān)系，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù).</p><p>　　2. 如何判斷函數(shù)的奇偶性:根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，利用誘導(dǎo)公式可推得函數(shù)的奇偶性，常見的結(jié)論如下：</p><p>　　(1)若為偶函

44、數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；</p><p>　　(2)若為偶函數(shù)，則有;若為奇函數(shù)則有；</p><p>　　(3)若為奇函數(shù)則有.</p><p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　下列四個函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（ ）</p><p>　　A.

45、 B. C. D. </p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】以為周期的函數(shù)有、 、 ，是偶函數(shù)的有 、 ，在上是增函數(shù)的只有，應(yīng)選答案B</p><p>　　考點(diǎn)6三角函數(shù)的周期性</p><p>　　【6-1】【2018年全國卷Ⅲ文】函數(shù)的最小正周期為&l

46、t;/p><p>　　A. B. C. D. </p><p><b>　　【答案】C</b></p><p>　　【6-2】【2017天津，文理】設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則</p><p>　?。ˋ），（B），（C），（D），</p><p>&l

47、t;b>　　【答案】 </b></p><p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　1.求三角函數(shù)的周期的方法</p><p>　?。?）定義法：使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，都有.利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗證的思路，非常適合選擇題；</p><p>　?。?）公式法：和的最小正周期

48、都是，的周期為.要特別注意兩個公式不要弄混；</p><p>　　(3)圖象法：可以畫出函數(shù)的圖象，利用圖象的重復(fù)的特征進(jìn)行確定，一般適應(yīng)于不易直接判斷，但是能夠容易畫出函數(shù)草圖的函數(shù)；</p><p>　　(4)絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定.

49、如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變.</p><p>　　2.使用周期公式，必須先將解析式化為或的形式；正弦余弦函數(shù)的最小正周期是，正切函數(shù)的最小正周期公式是；注意一定要注意加絕對值.</p><p>　　3.對稱與周期:正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期;正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是

50、半個周期.</p><p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　【變式一】【2017課標(biāo)II，文3】函數(shù)的最小正周期為（ ）</p><p>　　A. B. C. D. </p><p><b>　　【答案】C</b></p

51、><p>　　【變式二】設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，）.若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為 .</p><p><b>　　【答案】</b></p><p><b>　　【易錯試題常警惕】</b></p><p>　　易錯典例：求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.</p><p>

52、　　易錯分析：解答本題易直接由：，得出錯誤結(jié)論，原因是忽略復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,再一點(diǎn)易忽略這個條件.</p><p>　　正確解析：把函數(shù)變?yōu)?</p><p><b>　　由，</b></p><p><b>　　得，</b></p><p><b>　　即,</b></

53、p><p>　　故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.</p><p>　　溫馨提醒：(1)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn),掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),并能靈活運(yùn)用,解答此類問題關(guān)鍵是將三角函數(shù)變形為處理．(2)在解答本題時，存在兩個典型錯誤．一是忽略復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，直接由：，得出錯誤結(jié)論；二是易忽略對字母的限止,在解答此類問題時，一定要注意對字母的限止.</p><p>　

54、　【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】</p><p>　　數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想</p><p>　　我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性.我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖

55、形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.</p><p>　　向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問

56、題時，要注意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達(dá)到事半功倍的效果.</p><p>　　【典例】【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】已知函數(shù)的部分圖像如圖.</p><p>　?。á瘢┣蠛瘮?shù)的解析式.</p><p>　?。á颍┣蠛瘮?shù)在區(qū)間上的最值，并求出相應(yīng)的值.</p><p><b>　　【答案

57、】(1).</b></p><p>　　(2) 時，，時，.</p><p>　　【解析】分析：（Ⅰ）從圖像可以得到，故，再利用得出的大小.</p><p>　?。á颍├茫á瘢┲械慕Y(jié)論，可先計算當(dāng)時的取值范圍，再利用的性質(zhì)求在相應(yīng)范圍上的最值.</p><p>　　詳解：（1）由圖像可知，又，故.</p><

58、p><b>　　周期，又，</b></p><p><b>　　∴.∴.</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　?。?），</b></p><p><b>　　∴.</b></p>