數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文---構造法在解題中的應用

1、<p>　　構造法在解題中的應用</p><p>　　摘要：構造法作為數(shù)學解題的一種重要的思想方法，它最大的特點是創(chuàng)造性地使用已知條件；實質就是依據(jù)某些數(shù)學問題的條件或結論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學關系為“支架”，在思維中構造出一種相關的數(shù)學對象，一種新的數(shù)學形式。構造法的內涵十分豐富并且沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛的普遍性和特殊性的實際問題為基礎，針對具體問

2、題所呈現(xiàn)出的特點而采取相應的解決問題的辦法，在數(shù)學解題尤其是高等數(shù)學解題中有著極其廣泛的應用。本文主要基于構造法的相關理論探討它在解決數(shù)學分析、代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等高等數(shù)學問題中的應用。</p><p>　　關鍵詞：構造法；解題；應用.</p><p>　　0 引言:在數(shù)學解題過程中，若按習慣性定勢思維去探求解題途徑比較困難時，我們可以根據(jù)題目特點，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己的思維范圍。所

3、謂“構造法”就是根據(jù)題設的特點，用已知條件中的元素和關系式構造一種新的數(shù)學形式，如方程，函數(shù)，圖形等，以找到一條繞過障礙的新途徑，從而使問題得到解決的這樣一種方法。</p><p>　　構造法作為數(shù)學的一種重要的思想方法，它的最大特點是創(chuàng)造性地使用已知條件。構造法的內涵十分豐富并且沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛的普遍性和特殊性的實際問題為基礎，針對具體問題所呈現(xiàn)出的特點而采取相應的解決問題的辦法，在數(shù)學解

4、題尤其是高等數(shù)學解題中具有廣泛的應用。本文主要基于構造法的相關理論探討它在解決數(shù)學分析、幾何、代數(shù)、三角函數(shù)等高等數(shù)學問題中的應用。</p><p>　　用構造法處理問題時，“構造物”的表現(xiàn)形式是多種多樣的：有的是溝通問題條件和結論的“輔助元素”；有的是問題結論所敘述的數(shù)學對象；有的是從問題的結論出發(fā)，從而得出“矛盾”。因此，構造法在求解數(shù)學分析、代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的問題中有著廣泛的應用。</p>

5、<p>　　在對數(shù)學問題進行分析和轉化的過程中，為使問題的條件和結論能互相銜接起來，常常需要添加一些題目所給的以外的其它數(shù)學對象才能達到目的，這些已知條件以外的數(shù)學對象就是我們需要構造的輔助元素。在解決高等數(shù)學問題時，通過構造輔助元素而獲解的問題極為普遍，常見的有構造函數(shù)、構造級數(shù)、構造積分式、構造圖形、構造復數(shù)、構造代數(shù)式、構造輔助線等。</p><p>　　1 構造法在解決數(shù)學分析問題中的應用&

6、lt;/p><p><b>　　1.1 構造函數(shù)</b></p><p>　　函數(shù)在我們整個中學數(shù)學中占有相當重要的地位,學生對于函數(shù)的性質也比較熟悉。選擇熟悉的內容來解決高等數(shù)學中的問題,既可以訓練人的思維,同時也增強了思維的靈活性、開拓性和創(chuàng)造性。所謂的構造函數(shù)指的是由問題的條件及所給的數(shù)量關系為對象，構想、組合一種新的關系，使問題在新的關系下實現(xiàn)轉化而獲得解決。構

7、造函數(shù)是比較抽象的構造性思維，除對問題條件特點分析之外，還要求熟悉典型的函數(shù)及其特性。</p><p>　　在數(shù)學分析（上冊 第三版 華東師范大學數(shù)學系 編）教材中，拉格朗日中值定理的證明就是典型的構造函數(shù)的例子：</p><p>　　例1.若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　　（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　?。?）在開區(qū)間上

8、可導；</p><p>　　則在開區(qū)間內至少存在一點，使得.</p><p>　　證 不難看到，當時，拉格朗日定理就成為了羅爾定理，也就是說羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況。為了應用特殊的羅爾定理證明一般的拉格朗日定理，需要作一個輔助函數(shù)，使它滿足羅爾定理的條件，由平面解析幾何知，通過兩點與的割線方程是</p><p>　　設輔助函數(shù)是函數(shù)與割線的方程之差，即&l

9、t;/p><p>　　不難驗證在上滿足羅爾定理的條件，也就是說在里存在一點，使得</p><p>　　從而有 . 故得證。</p><p>　　上例中的就是構造出來的輔助函數(shù)，利用它可以運用羅爾定理使拉格朗日中值定理得到直觀而有效的證明。</p>&

10、lt;p>　　理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實現(xiàn)數(shù)學從常量到變量的這個認識上的飛躍。很多數(shù)學命題繁冗復雜，難尋入口，若巧妙運用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。</p><p><b>　　1.2 構造級數(shù)</b></p><p>　　級數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、導數(shù)、積分等諸多知識密切地聯(lián)系在一起。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關系和結構特征,構造出一個級數(shù), 然后依據(jù)級數(shù)

11、的理論, 使問題在新的關系下達到轉化而獲解。下面就是一個構造級數(shù)的例子：</p><p>　　例2.設的定義如下：，，，求.</p><p>　　解 構造級數(shù)（設），具體的寫出如下：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p&g

12、t;<b>　　，</b></p><p><b>　　……，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　……，</b></p><p><b>　　因此</b></p><p&g

13、t;　　上例中的級數(shù)就是構造的級數(shù)，通過合適的構造，使原問題變得簡單更易求。</p><p>　　1.3 構造積分式</p><p>　　通過構造積分式，利用積分的概念和性質，把級數(shù)求和問題轉化成為定積分問題或用于計算積分等，常常都能達到化難為易、化繁為簡的效果。</p><p><b>　　例3.計算.</b></p><

14、;p>　　解 構造積分式，于是</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當時，是收斂的，且當時，，</p><p><b>　　所以在上一致收斂。</b></p><p><b>　　所以有</b></p><p>　　上例就

15、是構造了一個積分式，從而避免了復雜的計算過程。</p><p>　　一般地, 對于定積分，想辦法引入一個在矩形區(qū)域， 上連續(xù)的函數(shù)使得，于是。如果比較容易計算, 那么由計算就可以得到定積分的值。</p><p>　　1.4 構造輔助線</p><p>　　實際上，在不定積分的求解過程中，通過從圖形中構造輔助線也可以讓問題轉化。下面來看一個例子：</p>

16、<p>　　例4.計算，其中由和所圍成的閉區(qū)域。</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　解析 觀察被積函數(shù)和積分域的特點，引入輔助線，該線將分為和，如上圖所示。而關于軸對稱并且為關于的奇函數(shù)；而關于軸對稱并且是關于的奇函數(shù)，所以</p><p>　　本例通過做輔助線使得問題順利解答。</p>

17、<p>　　2 構造法在解決代數(shù)問題中的應用</p><p><b>　　2.1 構造圖形</b></p><p>　　華羅庚曾說過“數(shù)離開形少直觀,形離開數(shù)難入微”,利用數(shù)形結合的思想,可溝通代數(shù)與幾何的關系,使得難題巧解。</p><p>　　所謂構造圖形指的是如果問題條件中的數(shù)量關系有明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形

18、建立聯(lián)系，則可通過幾何作圖構造圖形，將題設條件及其數(shù)量關系直接在圖形中得到實現(xiàn)，然后在構造的圖形中尋求原問題的結論。</p><p>　　例5.已知,,均在內，求證：.</p><p>　　證 構造一個邊長為1的正三角形，，，分別是，，上的點，使，，，顯然，，,從而，，，則</p><p><b>　　圖2</b></p>&l

19、t;p><b>　　由圖2可知：，即。</b></p><p>　　上例中構造了一個三角形，然后很直觀的利用幾何圖形，把數(shù)的關系轉換成形的問題，使其直觀化。解題時要觀形思數(shù)，由數(shù)想形。</p><p>　　2.2 構造復數(shù) </p><p>　　復數(shù)是實數(shù)的延伸，一些難以解決的實數(shù)問題通過構造轉化為復數(shù)問題。雖然數(shù)的結構會變復雜，但常使

20、問題簡明化，正所謂“退一步海闊一空”。</p><p><b>　　例6.求證：</b></p><p>　　證 從不等式左邊的結構特點容易聯(lián)想到復數(shù)的模，將左邊看成復數(shù)， ， ， 模的和，又注意到，于是由 可得</p><p>　　例6中就是構造了復數(shù)，再利用復數(shù)的基本性質，讓原問題輕松化解。</p><p>　　2

21、.3 構造線性方程組</p><p>　　例7.計算行列式的值.</p><p>　　解 構造線性方程組 （1）</p><p>　　則當中有兩個相等時，；當互不相等時，由行列式可知：方程組有唯一解。其中 （2）</p><p>　　再做次方程 （3）</p>&l

22、t;p>　　由（1）知（3）存在個不同的根，由韋達定理知：</p><p><b>　　故</b></p><p>　　3 構造法在解決幾何問題中的應用</p><p>　　3.1 構造多元函數(shù)</p><p>　　在幾何問題中,我們往往會遇到求夾角的最小(大)值和求線段的最短(長)距離等問題,如果僅僅從幾何方

23、面去思考,往往使問題難以解決,倘若能夠靈活地運用構造法,問題則會趨于簡單。</p><p>　　例8.拋物面被平面截成一橢圓,求原點到橢圓的最長與最短距離.</p><p>　　解 設為橢圓上任意一點，依題意有，</p><p>　　而且有，利用拉格朗日乘數(shù)法，構造一個拉格朗日函數(shù)</p><p><b>　?。榇ǔ?shù)）<

24、;/b></p><p><b>　　由方程組 解得</b></p><p>　　分別得到可能的極點為</p><p><b>　　及</b></p><p><b>　　分別代入中有，</b></p><p>　　所以原點到橢圓的最短距離為，

25、最長距離為.</p><p><b>　　3.2 構造復數(shù)</b></p><p>　　例9.已知雙曲線：和點，點在雙曲線的右支上運動，以為邊作正三角形，如圖3所示，且三點按逆時針排列，求點的軌跡.</p><p><b>　　圖3</b></p><p>　　分析 此題如果按常用的求軌跡的方法

26、去求解，計算量相當大。注意到可由按順時針旋轉得到，所以我們應該想到將坐標平面看作復平面，利用復數(shù)的相關幾何意義來求解。</p><p>　　解 根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線的復數(shù)方程為： （1）</p><p>　　設點對應的復數(shù)為，點對應的復數(shù)為,又點對應的復數(shù)為，于是，.</p><p><b>　　由</b></p>&l

27、t;p>　　可得 （2）</p><p>　　又點在雙曲線上，將（2）代入（1），整理的</p><p>　　所以點的軌跡是以和為焦點，長軸長為8的雙曲線的右支.</p><p>　　4 構造法在解決三角函數(shù)問題中的應用</p><p><b>　　4.1 構造方程</b>&l

28、t;/p><p>　　例10.已知銳角滿足，</p><p><b>　　求證：.</b></p><p>　　證 已知條件可視為關于的一元二次方程，由題意可得：</p><p>　　由 </p><p>　　因為是銳角，所以也均為銳角，由一元二次方程求根公式得：</p>

29、<p>　　又則，再由，則有，故</p><p><b>　　4.2 構造函數(shù)</b></p><p>　　例11.在斜中，證明.</p><p><b>　　證 構造函數(shù)</b></p><p><b>　　則</b></p><p>

30、;　　又因為在中，，所以，即</p><p>　　而，所以在上單調遞減</p><p>　　因此，在上恒有.又因為在中，,故，即</p><p><b>　　整理得：，故得證。</b></p><p>　　4.3 構造不等式</p><p>　　例12.設是銳角，且滿足，求證：</p>

31、;<p><b>　　.</b></p><p>　　證 因為是銳角，則均大于0</p><p><b>　　所以 ①</b></p><p>　　同理得 ②</p><p><b>　　由①+②得，</b></p>

32、;<p>　　即得，于是①，②等號同時成立</p><p><b>　　即有且，所以有且</b></p><p>　　從而有，所以，故得證。</p><p><b>　　4.4 構造復數(shù)</b></p><p><b>　　例13.已知，求.</b></p

33、><p>　　解 構造復數(shù)，則 ①</p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　又所以，代入①式則</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　又所以</b></

34、p><p><b>　　因此，</b></p><p>　　由此可知，作為數(shù)學中解決問題的主要方法之一，構造法具有以下三個特點：在構造性思維過程中，常常要伴隨觀察、分析、綜合、聯(lián)想、猜想等思維活動而進行；構造性思維有時體現(xiàn)在解決問題的全過程中，也有時體現(xiàn)在解決問題的關鍵環(huán)節(jié)或步驟中；在構造的“框架”上，必須在有限的步驟內能具體實現(xiàn)。</p><p>

35、;<b>　　5 結語</b></p><p>　　構造法的應用還有許多，須針對不同的數(shù)學問題靈活采用其相應的構造法，這里不能一一枚舉，但通過以上幾例可見，構造法在解題應用中不但具有把問題由繁化簡，由難化易，由抽象化具體的轉化之功能，而且還具有保證解答正確的“保險”之功能，因此構造法是解決數(shù)學問題應用甚廣的一種方法。在解決數(shù)學問題中若能巧妙恰當?shù)剡\用構造法，則可以達到事半功倍的效果。<

36、;/p><p>　　最后，特別感謝應用數(shù)學學院副教授xx對本論文耐心的指導，新銳的啟發(fā)，認真的審閱。感謝您在百忙之中對本畢業(yè)論文從選題到寫作再到最后定稿所付出的辛勞！在此向xx表示深深的感謝和崇高的敬意！</p><p><b>　　參考文獻:</b></p><p>　　[1]華東師范大學數(shù)學系編，《數(shù)學分析》，高等教育出版社，2001；<

37、/p><p>　　[2]章士藻著，《中學數(shù)學教育學》，江蘇教育出版社，2004；</p><p>　　[3]章樂瑞、郝炳新著，《高等代數(shù)》，高等教育出版社，2003；</p><p>　　[4]李師正、張玉芬、李桂榮，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2008；</p><p>　　[5]王向東,賈士代，《中學數(shù)學實用解題方法與技巧》，

38、兵器工業(yè)出版社，1989；</p><p>　　[6]沈國倉，略談構造法在高等數(shù)學中的應用，安徽教育學院學報,1999,(1):15-19；</p><p>　　[7]錢昌本，《高等數(shù)學解題過程的分析和研究》，科學出版社，2002,77-94；</p><p>　　[8]侯敏義，《數(shù)學思維數(shù)學方法論》，東北師范大學出版社，1991，209-224；</p>

39、;<p>　　[9]?？∮?，《高等數(shù)學習題課指導書》，高等教育出版社1991，259-175；</p><p>　　[10]楊麥秀，構造法在數(shù)學分析中的應用，太原師范?？茖W校學報,2001年,第2期:84—86；</p><p>　　[11]黃斌、楊錦偉，函數(shù)構造法在解行列式求解中的應用舉例，平頂山工學院學報，2008年5月,第17卷第3期:47—50；</p>

40、<p>　　[12]黃善德，淺談構造法在解三角題中的應用，四川教育學院學報,2005年4月,第21卷第4期：31—32；</p><p>　　Application of Construction Method in Solving Problems</p><p>　　Abstract: As an important method of mathematical think

41、ing, construction method features in the creative use of the known conditions. The essence of the this method is to construct in the mind a relevant mathematical object ---a new kind of mathematical form on the basis of

42、the conditions or conclusions of some mathematical problems, by using the elements in the known conditions as components and the known mathematical conditions as support. Construction method is very rich in meaning, whic