數(shù)學(xué)畢業(yè)論文--構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用初探

1、<p>　　構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用初探</p><p>　　[摘要] 構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)新性的解題方法，它很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、猜想、試驗(yàn)、探索、歸納等重要的數(shù)學(xué)方法，對(duì)學(xué)生的發(fā)展是極其有利的。構(gòu)造法在解三角函數(shù)題中的運(yùn)用是此文的關(guān)鍵之所在。</p><p>　　縱觀人類歷史的發(fā)展，每一種理論的產(chǎn)生都有它的背景，并且這些理論的產(chǎn)生都是為實(shí)踐服務(wù)的，構(gòu)造法也不例外。自從數(shù)學(xué)誕

2、生的那一天開始，無數(shù)數(shù)學(xué)志士就對(duì)數(shù)學(xué)中的問題進(jìn)行了無數(shù)次探索，不僅僅在理論上進(jìn)行創(chuàng)新，而且在方法上大膽地進(jìn)行創(chuàng)新。伴隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)也出現(xiàn)了未曾有過的難題，這不僅僅是數(shù)學(xué)理論趨向復(fù)雜所造成的，而且還是數(shù)學(xué)本身的結(jié)構(gòu)所固有的特點(diǎn)。因此，需要無數(shù)熱愛數(shù)學(xué)的人對(duì)解題的方法進(jìn)行大膽的嘗試。俗話說的好：“數(shù)學(xué)歷史是一部充滿曲折的人類文明史，不僅僅是數(shù)學(xué)難題層出不窮，而且是數(shù)學(xué)家涌現(xiàn)出人類歷史上未曾有過的數(shù)量，但數(shù)學(xué)史仍然未鋪平道路”。<

3、/p><p>　　我的這篇論文，從數(shù)學(xué)中最容易出現(xiàn)的問題著手，來初步探索中學(xué)數(shù)學(xué)問題中最容易出現(xiàn)的問題，這樣不但可以提高解決數(shù)學(xué)問題的能力，而且還可以提高數(shù)學(xué)休養(yǎng)，究竟什么是數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法呢？又該這樣去構(gòu)造將是論文的難點(diǎn)所在，要讓我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)不要拿到題就做的好習(xí)慣，要冷靜地去分析所給題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，認(rèn)真分析，找到恰當(dāng)?shù)姆椒?。不但可以順利地完成，而且達(dá)到簡(jiǎn)便易懂的目的，達(dá)到一箭雙雕的作用。</p>

4、<p>　　這里利用構(gòu)造函數(shù)，方程，復(fù)數(shù)，數(shù)列，幾何圖形等諸多方面來充分地論述構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。并且論述了構(gòu)造法的產(chǎn)生背景，構(gòu)造法在數(shù)學(xué)方面和非數(shù)學(xué)方面的區(qū)別。來充分地體現(xiàn)數(shù)學(xué)構(gòu)造法的重要性，表現(xiàn)出非構(gòu)造也能完成數(shù)學(xué)問題的解決，但也同時(shí)表現(xiàn)了數(shù)學(xué)構(gòu)造法的獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。因此，構(gòu)造法有著重要的發(fā)展前景，更需要人們對(duì)她進(jìn)行探索，來進(jìn)一步拓寬她在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用。</p><p>　　[Summary] :

5、 Construction Law is a very innovative approach improves, it reflects well the mathematical discovery, guess, test, explore, and summarize important mathematical methods for the development of students is extremely benef

6、icial. Construction law in Xie trigonometrical function and the use of the article is critica </p><p>　　Throughout human history, each generation has its theoretical background, and these theories are genera

7、ted for the practice services, Construction Law is no exception. Since the birth of mathematics that day onwards, numerous mathematical person of integrity on the issue of mathematics numerous exploration, innovation not

8、 only in theory but also in the methods boldly innovate. Accompanied by the development of mathematics, mathematics has not had a problem, not only as a result of mathematics is</p><p>　　I The paper, from th

9、e most easy math problems to, the initial exploration secondary math problems to the most prone to problems, not just to enhance mathematical problem solving ability, but also can enhance the understanding of mathematics

10、, what is mathematics, Construction Law? What this paper is to be constructed in the difficult, let us solve mathematical problems do not get you on the good habit to analyse calmly to the structure and characteristics o

11、f serious analysis and find appropriate </p><p>　　Construction of a function here that equation, the number series, geometric figure, and many other aspects of construction law to adequately address the appl

12、ications of mathematics in secondary schools. Construction on the law and have a background in mathematics and Construction Act, the distinction between non-mathematical.</p><p>　　關(guān)鍵詞：多元化思維 互不相等 構(gòu)造法 構(gòu)造主義

13、 構(gòu)造性，</p><p><b>　　一、緒論</b></p><p>　　傳統(tǒng)的解題方法只是一味地機(jī)械式的練習(xí)，很少有創(chuàng)新的意識(shí)，不能發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，這對(duì)學(xué)生的發(fā)展是不利的，構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)新性的解題方法，它很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、猜想、試驗(yàn)、探索、歸納等重要的數(shù)學(xué)方法，對(duì)學(xué)生的發(fā)展是極其有利的。</p><p>　　在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中

14、加強(qiáng)構(gòu)造法解題訓(xùn)練，并將構(gòu)造思維形成途徑展示給學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)運(yùn)構(gòu)造法解題的意識(shí)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的多元化思維和創(chuàng)新精神，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力有所幫助。</p><p><b>　　二.構(gòu)造法的介紹</b></p><p><b>　　1.構(gòu)造法的簡(jiǎn)述：</b></p><p>　　所謂“構(gòu)造法”就是依據(jù)題目自身的

15、特點(diǎn)，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，基本不等式，數(shù)列，幾何圖形等輔助工具，鋪路架橋，促進(jìn)轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解題的目的的一種方法。是以已知條件為載體，以所求結(jié)論為方向構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)形式使得問題在這種形式下簡(jiǎn)捷解決。能夠掌握一定的構(gòu)造性的方法的解題技巧，不僅是問題簡(jiǎn)單化，而且還可以解決難度比較高的問題，使問題迎刃而解，開闊思路。</p><p>　　“要什么，求什么，給什么，用什么”是最基本的，最常規(guī)的解題思路。而應(yīng)用“構(gòu)造思想

16、”解題則另辟蹊經(jīng)。對(duì)于如何解題G.波利亞曾說明“解題的成功靠正確的選擇”用構(gòu)造法也不例外。</p><p>　　構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體的問題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法，及基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方法。在解題

17、過程中，若按習(xí)慣定勢(shì) 思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，后面我們通過舉例來說明通過構(gòu)造法解題訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思想的創(chuàng)新。</p><p>　　2.構(gòu)造法與構(gòu)造主義：</p><p>　　從數(shù)學(xué)產(chǎn)生那天起，數(shù)學(xué)中的構(gòu)造性

18、的方法也就伴隨著產(chǎn)生了。但是構(gòu)造性方法這個(gè)術(shù)語(yǔ)的提出，以至把這個(gè)方法推向極端，并致力于這個(gè)方法的研究，是與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的直覺派有關(guān)。直黨派出于對(duì)數(shù)學(xué)的“可信性”的考慮，提出一個(gè)著名的口號(hào)：“存在必須是被構(gòu)造”。這就是構(gòu)造主義。近代對(duì)構(gòu)造性方法的研究，大致經(jīng)歷了如下三個(gè)階段;1，直覺數(shù)學(xué)階段，2，算法數(shù)學(xué)階段，3，現(xiàn)代數(shù)學(xué)構(gòu)造階段.</p><p>　　3.構(gòu)造性數(shù)學(xué)與非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系：</p>

19、<p>　　為了充分認(rèn)識(shí)構(gòu)造性數(shù)學(xué)與非構(gòu)造性數(shù)學(xué)之間的差別，數(shù)學(xué)的構(gòu)造性方法的進(jìn)展始終是直接因襲標(biāo)準(zhǔn)的非構(gòu)造數(shù)學(xué)想法而得到的。因此人們往往產(chǎn)生一種錯(cuò)覺，以為構(gòu)造數(shù)學(xué)“寄生”于非構(gòu)造數(shù)學(xué)而發(fā)展。其實(shí)不然，往往構(gòu)造數(shù)學(xué)比非構(gòu)造數(shù)學(xué)能為某些定理提供更加自然、更加簡(jiǎn)單的證明，甚至可能得出一些新的非構(gòu)造數(shù)學(xué)的定理。所以，這兩種類型的數(shù)學(xué)之間的關(guān)系是相輔相成的共生性關(guān)系。</p><p>　　美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家王浩認(rèn)為

20、“構(gòu)造性數(shù)學(xué)是做的數(shù)學(xué)，非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是在的數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)的在是信息模式和結(jié)構(gòu)的在，數(shù)學(xué)的做是信息加工。我國(guó)數(shù)學(xué)家胡世華先生認(rèn)為構(gòu)造性數(shù)學(xué)的傾向是用數(shù)學(xué)取得結(jié)果把結(jié)果構(gòu)造出來，側(cè)重于思維的構(gòu)造實(shí)踐，有限制地使用排中律；非構(gòu)造性數(shù)學(xué)的傾向是數(shù)學(xué)地理解問題和規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型形成數(shù)學(xué)理論體系。追求科學(xué)理想，可以自由地使用排中律。</p><p>　　構(gòu)造性與非構(gòu)造性數(shù)學(xué)既有區(qū)別，又有一定的聯(lián)系，它們是相輔相成的。數(shù)學(xué)的構(gòu)

21、造性方法的進(jìn)展自覺不自覺地直接因襲非構(gòu)造性數(shù)學(xué)想法而得到的；非構(gòu)造性數(shù)學(xué)中又總包含有構(gòu)造性數(shù)學(xué)的因素，純粹的非構(gòu)造性數(shù)學(xué)是不存在的。</p><p>　　三.數(shù)學(xué)構(gòu)造法的應(yīng)用</p><p>　　大致說來，數(shù)學(xué)構(gòu)造法有兩類用途：</p><p>　　1．用于對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念、定理尋找構(gòu)造性解釋。在大多數(shù)情況下，猜測(cè)經(jīng)典定理。</p><p>

22、　　2．用于開發(fā)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，組合數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)，都是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，尤其是圖論更是構(gòu)造數(shù)學(xué)發(fā)展的典型領(lǐng)域之一。因?yàn)閳D的定義就是構(gòu)造性的，同時(shí)圖的許多應(yīng)用問題，如計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，程序的框圖，分式的表達(dá)式等，也都是構(gòu)造性很強(qiáng)的問題。對(duì)應(yīng)的構(gòu)造性內(nèi)容，即使構(gòu)造性內(nèi)容確實(shí)存在的話也絕非易事。還是讓我們?cè)诤竺媾e例來說明。</p><p>　　構(gòu)造是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是創(chuàng)造能力較高的表現(xiàn)形式，沒有

23、固定的模式可循。構(gòu)造需要以足夠的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，較強(qiáng)的觀察能力、豐富的聯(lián)想，靈活的構(gòu)思，綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)造能力為前提，根據(jù)題目的特征，對(duì)問題進(jìn)行深入分析，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶“構(gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)中有著極為重要的作用，現(xiàn)舉例談?wù)勂湓跀?shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。</p><p><b>　?。ㄒ唬?gòu)造函數(shù)：</b></p><p>　　構(gòu)

24、造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，以此作為映射關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性，單調(diào)性，周期性等性質(zhì)使問題變得非常敏捷。函數(shù)在我們整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)是占有相當(dāng)重要的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇爛熟于胸的內(nèi)容來解決棘手問題，同時(shí)也達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的思維的靈活性，開拓性和創(chuàng)造性。理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個(gè)認(rèn)識(shí)上的飛躍。很多數(shù)學(xué)命題繁冗復(fù)雜，難尋入口，若巧妙運(yùn)用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。 </

25、p><p>　　構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體的問題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法?；镜姆椒ㄊ牵航栌靡活悊栴}的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維

26、范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，下面我們通過舉例來說明通過構(gòu)造法解題訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思想的創(chuàng)新。</p><p>　　<例1>已知a， b， m∈R+，且a < b 求證：（高中代數(shù)第二冊(cè)P91）</p><p>　　分析：由已知，若用 x代替m呢？可以得到 是關(guān)于x 的分式，若

27、我們令F(x)=(a+x)÷(b+x) 是一個(gè)函數(shù)，且x ∈R+聯(lián)想到這時(shí)，我們可以構(gòu)造函數(shù)上述函數(shù)，而又可以化為判斷函數(shù)的單調(diào)性，而我們又知道 F(x)在[0，∞] 內(nèi)是增函數(shù)，從而便可求解。</p><p>　　證明：構(gòu)造函數(shù)F(x)=(a+x)÷(b+x) 在[0，∞] 內(nèi)是增函數(shù)， 即可得證。</p><p>　　有些數(shù)學(xué)問題與函數(shù)毫不相干,但是根據(jù)題目的特點(diǎn)，

28、巧妙地構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)得到了簡(jiǎn)捷的證明。解題過程中不斷挖掘?qū)W生的潛在意識(shí)而不讓學(xué)生的思維注意到某一點(diǎn)上，把自己的解題思路擱淺了。啟發(fā)學(xué)生思維多變，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維.</p><p>　　<例2>已知x,y,z∈（0，1），求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1（第15屆俄羅斯數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分析：此題條件、結(jié)論均具有一定的對(duì)稱性，然而難以直接證明，不妨用構(gòu)造法一試。<

29、;/p><p>　　證：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1) ∵y,z∈(0,1),∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)＞0。f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz＞0。而f(x)是一次函數(shù)，其圖象是直線，</p><p>　　∴由x∈(0,1)恒有f(x) ＞0 即(y+z-1)x+(yz-y-z+1) ＞0 整理可得x(1-y)+y(1-

30、z)+z(1-x) ＜1。</p><p>　　這樣以地于解決問題是很簡(jiǎn)捷的,通過這樣的知識(shí)轉(zhuǎn)移，使學(xué)生的思維不停留在原來的知識(shí)表面上，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，掌握知識(shí)更為牢固和知識(shí)的運(yùn)用能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。</p><p><b>　?。ǘ?gòu)造方程</b></p><p>　　方程是解數(shù)學(xué)題的一個(gè)重要工具，許多數(shù)學(xué)問題，根據(jù)其數(shù)量

31、關(guān)系，在已知和未知之間搭上橋梁，構(gòu)造出方程，使解答簡(jiǎn)潔、合理。</p><p>　　<例3>已知a,b,c為互不相等的實(shí)數(shù)，試證：bc(a-b)(a-c) +ac(b-a)(b-c) +ab(c-a)(c-b) =1 (1)證：構(gòu)造方程(x-b)(x-c)(a-b)(a-c) +(x-a)(x-c)(b-a)(b-c) + =1 (2)。顯然a,b,c為方程的三個(gè)互不相等的實(shí)根。而對(duì)任意實(shí)數(shù)x均滿足

32、（2）式。特別地，令x=0，即得（1）式。<例4>設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式：(x-1)3+1997(x-1)=-1，(y-1)3+1997(y-1)=1則x+y= .（1997年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）</p><p>　　分析：此題用常規(guī)方法，分別求出x和y的值后再求x+y則既繁又難，三次方程畢竟不熟悉。若將兩方程聯(lián)立構(gòu)造出方程(x-1)3+1997(x-1)= (1-y)3+1997(1-y

33、)=1，利用函數(shù)f(t)=t3+1997t的單調(diào)性，易得x-1=1-y，自然、簡(jiǎn)潔。</p><p>　　通過上面的例子我們?cè)诮忸}的過程中要善于觀察，善于發(fā)現(xiàn)，在解題過程中不墨守成規(guī)。大膽去探求解題的最佳途徑，我們?cè)诳陬^提到的創(chuàng)新思維，又怎樣去創(chuàng)新?創(chuàng)新思維是整個(gè)創(chuàng)新活動(dòng)的關(guān)鍵，敏銳的觀察力，創(chuàng)造性的想象，獨(dú)特的知識(shí)結(jié)構(gòu)及活躍的靈感是其的基本特征。這種創(chuàng)新思維能保證學(xué)生順利解決問題，高水平地掌握知識(shí)并能把知識(shí)廣泛

34、地運(yùn)用到解決問題上來，而構(gòu)造法正從這方面增訓(xùn)練學(xué)生思維，使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌?，顯得積極靈活從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維。</p><p>　　在解題的過程中，主要是把解題用到的數(shù)學(xué)思想和方法介紹給學(xué)生，而不是要教會(huì)學(xué)生會(huì)解某一道題，也不是為解題而解題，給他們學(xué)會(huì)一種解題的方法才是有效的"授之以魚，不如授之以漁"。在這我們所強(qiáng)調(diào)的發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過程，創(chuàng)造性解決問題的方法而不是追求題目的結(jié)果。運(yùn)用

35、構(gòu)造 方法解題也是這樣的，通過講解一些例題，運(yùn)用構(gòu)造法來解題的技巧，探求過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。</p><p>　?。ㄈ?構(gòu)造復(fù)數(shù)來解題：</p><p>　　復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的延伸，復(fù)數(shù)有其自身的優(yōu)越性，聯(lián)想到復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)，構(gòu)造復(fù)數(shù)模型，比直接法要簡(jiǎn)便得多。一些難以解決的實(shí)數(shù)問題通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題，雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)變復(fù)雜，但常使問題簡(jiǎn)明化，正所謂“退一步海闊一空”。</p&g

36、t;<p>　　由于復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)與其他內(nèi)容聯(lián)系密切最為廣泛的一部分，因而對(duì)某些問題的特點(diǎn)，可以指導(dǎo)學(xué)生從復(fù)數(shù)的定義性質(zhì)出發(fā)來解決一些數(shù)學(xué)難題。</p><p>　　具有點(diǎn),向量,代數(shù),三角等多種形式.而且復(fù)數(shù)的意義又把數(shù)與形結(jié)合起來.因此,許多非復(fù)數(shù)的問題,如果能改變?cè)}的結(jié)論或條件,變成一個(gè)與原命題相關(guān)的復(fù)數(shù)問題,利用復(fù)數(shù)良好的運(yùn)算的性質(zhì)和明晰的幾何意義來解,可以達(dá)到簡(jiǎn)化,巧解的作用。</

37、p><p>　　<例4>證明：arctg1/2+arcctg1/3=3π/4</p><p>　　證明：設(shè)a=1+2i,b=1+3i.則arca=arctg1/2,arcb=arcctg1/3。</p><p>　　Arctg1/2+arcctg1/3=arc(ab)</p><p>　　因?yàn)閍b=(1+2i)(1+3i)=-5+5i

38、.所以arc(ab)=3π/4</p><p>　?。祭?＞若a,b,x,y∈{正實(shí)數(shù)},且x2+y2=1,求證：a2x2+b2y2 +a2y2+b2x2 =≥a+b</p><p>　　證：設(shè)z1=ax+byi， z2=bx+ayi，則</p><p>　　a2x2+b2y2 +a2y2+b2x2 =∣Z1∣+∣Z2∣≥∣Z1+Z2∣</p><

39、;p>　　=∣(a+b)x+(a+b)yi∣=(a+b) =a+b 不等式得證。</p><p><b>　　（四）構(gòu)造代數(shù)式：</b></p><p>　　代數(shù)式是數(shù)學(xué)的重要組成要素之一，有許多性質(zhì)值得我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。</p><p>　　<例6>證明：對(duì)于同樣的整數(shù)x和y，表達(dá)式2x+3y和9x+5y能同時(shí)被17整除。

40、（首屆IMO試題）</p><p>　　分析：構(gòu)造代數(shù)式9（2x+3y）-2(9x+5y)，其值等于17y，能被17整除，結(jié)合2與9均與17互素，結(jié)論易證。</p><p><b>　　（五）構(gòu)造數(shù)列</b></p><p>　　高中數(shù)學(xué)涉及到許多遞推數(shù)列都是以等差數(shù)列，等比數(shù)列這些基本數(shù)列為背景設(shè)計(jì)而成的。往往可以通過構(gòu)造新數(shù)列，建立與等差，

41、等比數(shù)列這些基本數(shù)列的聯(lián)系來實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化而獲得解決的。相當(dāng)多的數(shù)學(xué)問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構(gòu)造數(shù)列”能產(chǎn)生意想不到的效果。</p><p>　　<例7>證明：(n=1,2,3……)</p><p>　　分析:此命題若直接證明，頗具難度，倘若構(gòu)造數(shù)列</p><p>　　x1=x2=…=xn=1+,xn+1=1</p><p

42、>　　利用平均值不等式≥ ，頓使命題明朗化。</p><p><b>　　（六）構(gòu)造幾何圖形</b></p><p>　　一般來講，代數(shù)問題較為抽象，若能通過構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法，對(duì)于一些題目，可借助幾何圖形的特點(diǎn)來達(dá)到解題目的，我們可以構(gòu)造所需的圖形來解題。往往可增強(qiáng)問題的直觀性，使解答事半功倍或獨(dú)具匠心。</p&

43、gt;<p>　　數(shù)形結(jié)合的思想方法是數(shù)學(xué)中的主要思想方法之一，。在解題中充分應(yīng)用這種思想方法。對(duì)提高解題能力，發(fā)展思維會(huì)有很大的幫助。</p><p>　　構(gòu)造立體幾何圖形是解決與邊角有關(guān)問題的常用方法，解決的常規(guī)思維是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題按這些思維方式，尋求解題途徑比較困難，甚至無從下手。在這種情況下，經(jīng)常需要我們改變思維方向，換個(gè)角度思考，以找到一條饒過障礙的新的途徑。</

44、p><p>　　<例8>（見<例2>）</p><p>　　證：構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正△ABC，D，E，F(xiàn)為邊上三點(diǎn) 圖1:并設(shè)BD=x，CE=y， AF=z，如圖1顯然有S△BDE+S△CEF+S△ADF <S△ABC 兩邊乘于4，即得：</p><p>　　這道競(jìng)賽題能如此簡(jiǎn)潔、直觀

45、地證明，真是妙不可言。</p><p>　　<例9>解不等式||x-5|-|x+3||<6 </p><p>　　分析：對(duì)于這類題目的一般解法是分區(qū)間求解，這是比較繁雜的。觀察本題條件可構(gòu)造雙曲線，求解更簡(jiǎn)捷。</p><p>　　解：設(shè)F(-3，0) F(5，0)則|F1F2|=8 ，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為O`(1，0)，又設(shè)點(diǎn)P(x，0)，當(dāng)x的值滿

46、足不等式條件時(shí)，P點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部 ∴ 1-3<x<1+3  即 -2<x<4  是不等式的解。</p><p>　　運(yùn)用構(gòu)造法就可以避免了煩雜的分類討論是不是方便得多了，引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)運(yùn)用到解決問題上來。利用定義的特點(diǎn)，把問題的難點(diǎn)轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題，從而使問題得以解決。在不少的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，運(yùn)用構(gòu)造來解題構(gòu)造法真是可見一斑。</p><p>

47、;　　利用構(gòu)造函數(shù)圖象法巧解選擇題</p><p>　　選擇題是我們常見的題型，有些題需要通過計(jì)算得出結(jié)果，但有些題不需要大量的計(jì)算，我們可以根據(jù)題意，構(gòu)造出函數(shù)圖象，極其容易得出答案，方便我們的解題，為解題節(jié)省了時(shí)間。</p><p>　　<例10>：若sin cos > 0, 則 在 （ B ）</p><p>　

48、?。ˋ）第一、二象限 （B）第一、三象限</p><p>　?。–）第一、四象限 （D）第二、四象限</p><p>　　解：此題，我們可以根據(jù)題意構(gòu)造圖象解決</p><p>　　首先，我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中作出 sin 和 cos 在 [0 ，2] 的圖象</p><p><b>　　

49、圖2:</b></p><p>　　在圖中，要使 則可以看出，在第一象限 ，所以，而在第三象限 ，所以，故選（B）</p><p><b>　　構(gòu)造函數(shù)解不等式</b></p><p>　　<例11>：解不等式 </p><p>　　解：構(gòu)造函數(shù) f（x）= 那么不等式即為：</p&g

50、t;<p>　　f（sinx）> f(cosx), 又知 f（x）在區(qū)間 R 上的增函數(shù)，</p><p>　　故原不等式同解于不等式</p><p>　　sinx > cosx ,</p><p>　　解之，可得原不等式的解集 {x | ，k∈Z}。</p><p>　　<例12>：已知函數(shù) y=sin

51、x + ，求函數(shù)的最大值和最小值。</p><p>　　分析：學(xué)生拿到此題最大的困惑是去根號(hào)，我們觀察 和 的關(guān)系，可發(fā)現(xiàn) =2 ，則可令：</p><p><b>　　, , </b></p><p><b>　　這樣 </b></p><p><b>　　而 </b&g

52、t;</p><p>　　所以，函數(shù)的最大值為 2 ，最小值為 0 。</p><p>　　<例13>：求函數(shù) 的最大值與最小值。</p><p>　　解：易知x 的取值范圍是 ，</p><p><b>　　構(gòu)造參變量 </b></p><p>　　于是根號(hào)被 所化解。&l

53、t;/p><p>　　，當(dāng) 時(shí)，Ymax=2，</p><p><b>　　時(shí)，Ymin=1。</b></p><p><b>　　構(gòu)造圖形巧解證明題</b></p><p>　　證明題對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說是比較頭痛的事，大多數(shù)人看到題就會(huì)從已知出發(fā)，直接去找結(jié)果，習(xí)慣于從正面直接入手，但有些三角函數(shù)

54、證明題，我們不妨改變思路，嘗試用構(gòu)造法，也許會(huì)“柳暗花明”。</p><p>　　<例14>：已知：、、 是互不相等的銳角，且 </p><p>　　求證： </p><p>　　證：因?yàn)?，、、 是互不相等的銳角</p><p>　　所以，，可構(gòu)造一個(gè)直角三角形ABC（如圖） 圖3:

55、 </p><p>　　使得∠A=α ，|BC|=，|AC|=，</p><p><b>　　則|AB|==</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b>

56、</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　又因?yàn)椋?</b></p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　= </b>

57、;</p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　所以原題得證。</b></p><p><b>　?。ㄊ?gòu)造向量</b></p><p>　　新教材引入向量,代數(shù)、幾何、三角中的很多問題都可以利用向量這一工具來解決。</p><p

58、>　　應(yīng)用平面向量這一全新的，重要的解題工具來解最值問題，可使問題化簡(jiǎn)，化難為易，收到事半功倍的效果，亦為解決最值問題開辟了一條新的途徑。尤其是數(shù)學(xué)奧林匹克中的技巧性高的，難度大的，解法活的問題，更別具風(fēng)格，可以使這類函數(shù)求最值問題思路清晰，解法簡(jiǎn)捷巧妙，并富有規(guī)律性，趣味性。</p><p>　　應(yīng)用平面向量這一全新的，重要的解題工具來解最值問題，可使問題化簡(jiǎn)，化難為易，收到事半功倍的效果，亦為解決最值問

59、題開辟了一條新途徑。以前解題是按照“求什么、給什么，用什么、要什么”的常規(guī)模式解題思路，而“構(gòu)造思想” 解題，另辟新徑。尤其是數(shù)學(xué)奧林匹克的技巧性高的 ，難度大的，難度大的，解法活的問題，更別具風(fēng)格，可以使這類函數(shù)最值問題思路清晰，解法簡(jiǎn)捷巧妙，并富有規(guī)律性，趣味性。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　從以上所列舉的一些例題不難看出，有一些

60、問題似乎無從下手，但從多角度，多層次地考慮問題，確定一些特定的映射關(guān)系或根據(jù)所給條件或結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征適當(dāng)構(gòu)造反映本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)模型，從而把原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)與它等份的卻有具有某種賦予了特定意義的命題，通過對(duì)它的結(jié)論而得到有效的解題方法，這種模型的構(gòu)思，拓寬了思維空間，突破了學(xué)科界限，開拓了解題思路。形成獨(dú)特的新穎的解題方法和解題技巧，使一些較難下手的問題迎刃而解，應(yīng)用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題，有利于提高分析問題和解決問題的能力，有利于培養(yǎng)和發(fā)展豐富

61、的想象力和創(chuàng)造力。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1].韓瑋.現(xiàn)實(shí)生活中最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造：《數(shù)學(xué)通訊》[J].北京:北京師范</p><p>　　[2].朱德祥、朱維宗.《初等幾何研究》[M].北京：高等教育出版社，2003年第二版.35.</p><p>　　[3].朱勝

62、強(qiáng).在突破中尋求解決問題的新視角：《數(shù)學(xué)通訊》[J].北京:北京師范大學(xué)、中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì),2007年46卷，第二期.8-10.</p><p>　　[4].劉初喜.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的構(gòu)造方法及猜想方法：《數(shù)學(xué)教學(xué)》[J].上海:華東師范大學(xué),2007年第三期.43-45.</p><p>　　[5].關(guān)陽(yáng)鋒.解決代數(shù)推理題的常見策略:《中學(xué)教研》[J].杭州:浙江師范大學(xué),2007年第三期,總313