二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：本文首先對楊輝三角形的相關(guān)背

3、景資料進(jìn)行了整理，歸納了楊輝三角形的基本性質(zhì)，并梳理了它與二項(xiàng)式定理之間的關(guān)系，繼而又從二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)、系數(shù)的性質(zhì)等方面對二項(xiàng)式定理的推廣和應(yīng)用進(jìn)行了綜述。在文章的最后，舉例說明了較為實(shí)用的矩陣二項(xiàng)式定理。</p><p>　　關(guān)鍵詞：二項(xiàng)式定理；楊輝三角；系數(shù)恒等式</p><p>　　The Binomial Theorem and Its Applications</p>

4、;<p>　　Abstract: This article first Yang hui Triangle relevant background information were consolidated, summarized the basic properties of Yang hui Triangle, and combed it with the relationship between the binomi

5、al theorem, and then the general term and from the binomial theorem, the coefficient of the nature of In terms of the binomial theorem and applications are reviewed. At last, a more practical example of a matrix binomial

6、 theorem.</p><p>　　Key words: binomial theorem; Yang Hui triangle; coefficient identities</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2

7、 楊輝三角形與二項(xiàng)式定理的關(guān)系1</p><p>　　2.1 楊輝三角1</p><p>　　2.2 楊輝三角的基本性質(zhì)2</p><p>　　2.3 排列與組合中的加法規(guī)則和乘法規(guī)則3</p><p>　　2.3.1 加法規(guī)則3</p><p>　　2.3.2 乘法規(guī)則3</p>

8、<p>　　2.3.3 組合的原理4</p><p>　　2.4 二項(xiàng)式定理4</p><p>　　2.4.1 數(shù)學(xué)歸納法4</p><p>　　2.4.2 二項(xiàng)式定理的證明5</p><p>　　2.4.3 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)7</p><p>　　3 二項(xiàng)式定理的推廣與應(yīng)用8<

9、/p><p>　　3.1 二項(xiàng)式定理的推廣形式8</p><p>　　3.2 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用8</p><p>　　3.2.1 對二項(xiàng)式定理的直接應(yīng)用9</p><p>　　3.2.2 二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)的應(yīng)用9</p><p>　　3.2.3 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用10</p><

10、p>　　3.2.4 費(fèi)爾馬小定理的新證明11</p><p>　　3.2.5 矩陣的二項(xiàng)式定理15</p><p><b>　　總結(jié)17</b></p><p><b>　　致謝18</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)19</b></p>

11、;<p><b>　　1 引言</b></p><p>　　二項(xiàng)式定理是初等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理,其形成過程是組合知識的應(yīng)用,同時(shí)也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)備知識,在高等數(shù)學(xué)中更是許多重要公式的共同基礎(chǔ)。而二項(xiàng)式定理以及它的各種推廣形式在初等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)中都有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。</p><p>　　而在西方，1665年，剛好22歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)

12、式定理，這對于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步。雖然當(dāng)時(shí)無法給出二項(xiàng)式定理的證明，但可以肯定二項(xiàng)式級數(shù)展開式是研究級數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、方程理論的有力工具。</p><p>　　隨著社會(huì)的發(fā)展，二項(xiàng)式定理被人們最為廣泛的應(yīng)用于組合原理當(dāng)中。組合原理又稱組合數(shù)學(xué)或組合論。它所研究的中心問題是根據(jù)一定的規(guī)則來安排某些事物的有關(guān)數(shù)學(xué)問題，但組合原理中的許多問題都是數(shù)學(xué)中的精華。組合原理的應(yīng)用也涉及到自然科學(xué)和社會(huì)科

13、學(xué)的許多領(lǐng)域。例如，它在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼理論、通信網(wǎng)絡(luò)、電子工程、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、社會(huì)經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)等領(lǐng)域中都有著廣泛的使用價(jià)值，特別是在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著重要的應(yīng)用。這不僅因?yàn)樗沁@門學(xué)科的重要基礎(chǔ)，更為主要的原因是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心是算法的研究，而組合算法是算法的重要組成部分。本文基于二項(xiàng)式定理的相關(guān)性，參考國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，就二項(xiàng)式定理的各種證明方法、各種推廣形式以及二項(xiàng)式定理在學(xué)科中的應(yīng)用進(jìn)行綜述。</p><

14、;p>　　2 楊輝三角形與二項(xiàng)式定理的關(guān)系</p><p><b>　　2.1 楊輝三角</b></p><p>　　提及二項(xiàng)式定理就不得不說楊輝三角，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位。中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁。北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，南宋數(shù)學(xué)家楊輝在

15、《詳解九章算法》（1261年）記載并保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。楊輝三角在我國古代大多是用來作為開方的工具。直到現(xiàn)在，我們在代數(shù)學(xué)中學(xué)到的開平方的方法，仍然是從楊輝三角中得來的?？梢?，楊輝三角與二項(xiàng)式定理之間有著不同尋常的關(guān)系。</p><p>　　圖2-1：開方作法本源</p><p>　　圖2-1被稱為“楊輝三角”。楊輝三角并不是楊輝發(fā)明的，原來的名字也不是“三角”,而是“開方作

16、法本源”；后來也有人稱為“乘法求廉圖”。這些名稱實(shí)在太古奧了些，所以我們簡稱之為“三角”。</p><p>　　楊輝是我國宋朝時(shí)候的數(shù)學(xué)家，他在公元1261年著了一本名為《詳解九章算法》的書，里面畫了這樣一張圖，并且說這個(gè)方法出于《釋鎖算書》，賈憲曾經(jīng)用過它。楊輝還說明了表里除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，故人們把此表稱之為“楊輝三角形”或“楊輝法則”。但《釋鎖算書》早已失傳，這書刊行的年代無從查考，是

17、不是賈憲所著也不可知，更不知道在賈憲以前是否已經(jīng)有這個(gè)方法。然而有一點(diǎn)是可以肯定的，這一圖形的發(fā)現(xiàn)在我國當(dāng)不遲于1200年左右。</p><p>　　在歐洲，這圖形稱為“帕斯卡（Pascal）三角[1]”。因?yàn)橐话愣颊J(rèn)為這是帕斯卡在1654年發(fā)明的。其實(shí)在帕斯卡之前已有許多人論及過，最早的是德國人阿批納斯（Pertrus Apianus），他曾經(jīng)把這個(gè)圖形刻在1527年著的一本算術(shù)書的封面上。可是無論怎樣，楊輝三

18、角的發(fā)現(xiàn)，在我國比在歐洲至少要早300年光景。</p><p>　　2.2 楊輝三角的基本性質(zhì)</p><p>　　楊輝三角中具有以下基本性質(zhì)：</p><p>　?、?每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大，然后變小，回到1。 </p><p>　?、?第行的數(shù)字個(gè)數(shù)為。 </p><p>　　③ 第行數(shù)字和為。 &l

19、t;/p><p>　?、?楊輝三角中任一數(shù)等于它肩上的兩數(shù)之和。</p><p>　　2.3 排列與組合中的加法規(guī)則和乘法規(guī)則</p><p>　　在給出加法規(guī)則前，我們先給出有關(guān)集合的兩個(gè)基本的定義</p><p>　　定義2.1 集合的等勢：如果存在到的雙射則稱到等勢，記為</p><p>　　定義2. 2 基數(shù)

20、：所有彼此等勢的集合確定的數(shù)稱為基數(shù)。和集合彼此等勢的所有集合（從而它們彼此等勢）確定的基數(shù)稱為的基數(shù)，記為。這樣就有：當(dāng)且僅當(dāng)。</p><p>　　2.3.1 加法規(guī)則</p><p>　　設(shè)是有限集合，若，，且當(dāng)時(shí)，，則有</p><p><b>　　特別地，當(dāng)時(shí)，有</b></p><p>　　換言之，加法規(guī)則

21、可以敘述為：若集合可以分解為互不相交的子集之并，則確定中的事物個(gè)數(shù)，可以先求出各子集中的事物個(gè)數(shù)，然后相加。對，用生活中的話來說，加法規(guī)則則可敘述為：假若有互相獨(dú)立的兩個(gè)事件和分別有種和種方法產(chǎn)生，則產(chǎn)生和的方法數(shù)有種。</p><p>　　2.3.2 乘法規(guī)則</p><p>　　在給出乘法規(guī)則前，首先給出直積[2]的定義。</p><p>　　定義2.3 笛

22、卡爾(Descartes)乘積又叫直積。設(shè)、是任意兩個(gè)集合，在集合中任意取一個(gè)元素，在集合中任意取一個(gè)元素，組成一個(gè)有序?qū)?，把這樣的有序?qū)ψ鳛樾碌脑兀麄兊娜w組成的集合稱為集合和集合的直積，記為,即</p><p><b>　　。</b></p><p>　　乘法規(guī)則：若為有限集，且</p><p><b>　　則有</b&

23、gt;</p><p><b>　　特別地，當(dāng)時(shí)，有</b></p><p>　　換言之，乘法規(guī)則可以敘述為：若集合是集合的直積，則確定中的事物個(gè)數(shù)，可以先求出各個(gè)集合中的事物個(gè)數(shù)，然后相乘。應(yīng)當(dāng)注意，對于中的元，它們和各分量是相互獨(dú)立的。</p><p>　　2.3.3 組合的原理</p><p>　　定義2.4 設(shè)

24、是具有個(gè)元素的集合，是非負(fù)整數(shù)。從這個(gè)不同的元素里取個(gè)且不考慮次序組合起來，稱為集合的組合。換句話說，的組合是的無序子集。用 表示集合的組合的個(gè)數(shù)。另外，為了使用方便，定義。</p><p><b>　　對于，有</b></p><p>　　若將楊輝三角中的數(shù)字換成組合數(shù)的形式，則楊輝三角的性質(zhì)4可轉(zhuǎn)化為等式</p><p><b>

25、　　其中我們視等于1。</b></p><p>　　證明：利用組合分析的方法論證，在集合的個(gè)元素中固定一個(gè)元素，不妨為，</p><p>　　于是，從個(gè)元素中取個(gè)元素的組合可分為以下兩類。</p><p>　　（1）個(gè)元素中包含。這可以從除去的個(gè)元素中取個(gè)元素的組合，然后</p><p>　　將加入而得到，其組合個(gè)數(shù)為。</

26、p><p>　?。?）個(gè)元素中不包含。這可以從除去的個(gè)元素中取個(gè)元素的組合而得到，</p><p>　　其組合個(gè)數(shù)為。由加法規(guī)則即得</p><p>　　這一公式被稱為Pascal公式，我們也可稱為楊輝等式。</p><p>　　2.4 二項(xiàng)式定理</p><p>　　2.4.1 數(shù)學(xué)歸納法</p>&l

27、t;p>　　本文使用的是第一數(shù)學(xué)歸納法[1]。假如有一個(gè)數(shù)學(xué)命題，合于下面條件：（1）這個(gè)命題對是正確的；（2）如設(shè)這個(gè)命題對任一正整數(shù)為正確的，就可以推出它對于也正確。那么這個(gè)命題對于所有的正整數(shù)都是正確的。</p><p>　　2.4.2 二項(xiàng)式定理的證明</p><p>　　定理2. 1 二項(xiàng)式定理：當(dāng)是一個(gè)正整數(shù)時(shí)，對任何和，有</p><p>&

28、lt;b>　?。?）</b></p><p>　　式（1）右邊的式子稱為的二項(xiàng)式展開式，系數(shù)常稱為二項(xiàng)式系數(shù)。為了方便，我們把的展開式的第項(xiàng)記為，則有，這個(gè)式子叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式。</p><p>　　這樣各展開式里各項(xiàng)的系數(shù)可以列表如下：</p><p><b>　　1</b></p><p>&l

29、t;b>　　1 2 1</b></p><p>　　1 3 3 1</p><p>　　1 4 6 4 1</p><p>　　1 5 10 10 5 1</p><p>　　………………………………………………………</p><p&g

30、t;　　表2-1展開式各項(xiàng)系數(shù)表</p><p>　　很明顯，我們可以應(yīng)用這個(gè)楊輝三角形來直接求出二項(xiàng)式任一次冪的項(xiàng)的系數(shù)，但過程的機(jī)械與繁瑣也是顯而易見的。</p><p>　　通過不同的方法對二項(xiàng)式定理進(jìn)行證明。</p><p>　　證法一：二項(xiàng)式定理對于的情形顯然成立。另一方面，假設(shè)定理對任一正整數(shù)成立。那么，因?yàn)樵儆蓷钶x恒等式（注意），便得到</p&g

31、t;<p>　　即對于也成立，從而二項(xiàng)式定理得證。</p><p>　　利用組合分析法證明二項(xiàng)式定理：</p><p>　　證法二：因?yàn)樵谶@個(gè)因子中，項(xiàng)是從個(gè)因子中選取個(gè)因子，。在這個(gè)里都取，而從余下的個(gè)因子中選取作乘積得到。因此的系數(shù)為上述選法的個(gè)數(shù)，即為組合數(shù)。故有，得證。</p><p>　　利用構(gòu)造遞推方程的方法證明二項(xiàng)式定理：</p&g

32、t;<p>　　證法三[4]：設(shè)，則，故只需證：</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　事實(shí)上，設(shè) ①</p><p>　　則 ②</p><p><b>　?、?②得：</b></p><p>　　所以

33、數(shù)列滿足遞推式 ③</p><p>　　即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以</p><p><b>　?、剖降米C。</b></p><p>　　2.4.3 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)</p><p>　　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可以歸納為三條：</p><p><b>　　對稱性。

34、</b></p><p>　　證明：事實(shí)上，從個(gè)不同的元素中選出個(gè)元素，就有個(gè)元素沒有被選出。因此選出個(gè)元素的方式等于選出個(gè)元素的方式數(shù)，即有。</p><p><b>　　增減性與最大值。</b></p><p>　　當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大值為：</p><p>　　當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大值為：和&

35、lt;/p><p><b>　　證明：由于：</b></p><p>　　所以相對于的增減情況由決定。</p><p>　　當(dāng)，即時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。</p><p>　　因此，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；</p><p&g

36、t;　　當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，且同時(shí)取得最大值。</p><p><b>　　各二項(xiàng)式系數(shù)的和。</b></p><p>　　證明：在二項(xiàng)式定理中，令，則：</p><p>　　這就是說，的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于。</p><p>　　一個(gè)集合有個(gè)元素，則子集個(gè)數(shù)為：</p>&

37、lt;p>　　這些性質(zhì)主要用于求二項(xiàng)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)及展開式中系數(shù)最大項(xiàng)，但應(yīng)注意二項(xiàng)展開中某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別。還可以用來求展開式中某些項(xiàng)的系數(shù)和以及證明有關(guān)組合數(shù)問題。</p><p>　　3 二項(xiàng)式定理的推廣與應(yīng)用</p><p>　　3.1 二項(xiàng)式定理的推廣形式</p><p>　　對于多項(xiàng)式的整數(shù)次，我們能可得到類似于二項(xiàng)式定理的

38、結(jié)果。</p><p>　　定理3.1 多項(xiàng)式定理 設(shè)n和k為正整數(shù)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中并稱其為多項(xiàng)式系數(shù)。</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　令代表將第個(gè)球放入第個(gè)盒子。于是代表了將個(gè)有

39、區(qū)別的球放入個(gè)有區(qū)別的盒子中的一種放法。于是</p><p>　　的右端各項(xiàng)則代表所有放法的列舉。略去上式的上標(biāo)，合并同類項(xiàng)，整理得</p><p>　　由以上討論知系數(shù)恰為將個(gè)有區(qū)別的球放入個(gè)有區(qū)別的盒子中，使第一個(gè)盒子裝個(gè)，…，第個(gè)盒子裝個(gè)的放法數(shù)，即有</p><p><b>　　從而定理得證。</b></p><p&

40、gt;　　3.2 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用</p><p>　　在初等數(shù)學(xué)當(dāng)中，對二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，主要涉及二項(xiàng)式定理的直接應(yīng)用、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)的應(yīng)用和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用三個(gè)方面[9]。</p><p>　　3.2.1 對二項(xiàng)式定理的直接應(yīng)用</p><p>　　主要涉及整除與求余數(shù)問題、近似計(jì)算問題和證明不等式等問題。</p><p>　

41、　例3.1：今天是星期一，再過天是星期幾？分析： 因?yàn)?lt;/p><p>　　可見被7除余1，即再過天是星期二。</p><p>　　例3.2：求的近似值（精確到0.001）</p><p><b>　　分析：</b></p><p>　　按精確度要求只取前兩項(xiàng)計(jì)算可得的近似值為0.985.</p><

42、p>　　例3.3：某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？</p><p>　　分析：設(shè)耕地平均每年至多只能減少公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為人，糧食單產(chǎn)量噸/公頃，依題意得不等式模型并化簡得</p><p>　　根據(jù)近似計(jì)算法則將展開留前三項(xiàng)，小數(shù)點(diǎn)后

43、保留4位有效數(shù)字。即</p><p>　　3.2.2 二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)的應(yīng)用</p><p>　　二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式中給出了參變量之間的關(guān)系，所以可以利用它求展開式中的某項(xiàng)[10]，或含有的項(xiàng)的系數(shù)，以及根據(jù)題設(shè)條件給出的某些項(xiàng)之間的關(guān)系通過方程（組）或不等式來確定，再求出某項(xiàng)或某參數(shù)的取值等問題。</p><p>　　例3.4：展開式中的系數(shù)為多少？&l

44、t;/p><p>　　分析：直接利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，得</p><p><b>　　令，得。則的系數(shù)為</b></p><p>　　例3.5：在代數(shù)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為多少？</p><p>　　分析：的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，</p><p>　　可以看出此展開式中含有: 常數(shù)項(xiàng)。項(xiàng)， 項(xiàng),

45、…, 項(xiàng), 顯然</p><p><b>　　展開式中常數(shù)項(xiàng)為。</b></p><p>　　例3.6：若的展開式中，第四項(xiàng)與第六項(xiàng)系數(shù)相等，求展開式中的常數(shù)項(xiàng)。</p><p><b>　　分析：因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，，</b></p>&

46、lt;p>　　所以，解得，再用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式就可求出常數(shù)項(xiàng)為70.</p><p>　　3.2.3 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用</p><p>　　例3.7：求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)及展開式中系數(shù)最大項(xiàng)。</p><p>　　分析：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，展開式中有八項(xiàng)，其中第四、五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，為。展開式系數(shù)最大項(xiàng)應(yīng)在正項(xiàng)中出現(xiàn)，即在第一、三

47、、五、七項(xiàng)中出現(xiàn)。當(dāng)時(shí)，系數(shù)分別為：</p><p>　　所以系數(shù)最大項(xiàng)為第五項(xiàng)，</p><p><b>　　例3.8：若，</b></p><p><b>　　則的值為多少？</b></p><p><b>　　分析：令，則</b></p><p>

48、<b>　　又，則</b></p><p><b>　　例3.9：求證：</b></p><p><b>　　分析：因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以左邊</b></p><p>　　二項(xiàng)式定理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)而重要的定理，在微積分、概率論

49、、初等數(shù)論等許多數(shù)字分支中都可見其蹤影。引入微分算子后，微積分的牛頓----萊布尼茲公式可以用二項(xiàng)式定理來表述等。二項(xiàng)式定理有著廣泛的應(yīng)用，如果不能夠準(zhǔn)確把握其本質(zhì)，則可能導(dǎo)致無法預(yù)測的結(jié)果。在求復(fù)數(shù)方冪的過程中，如果直接用二項(xiàng)式定理計(jì)算，則會(huì)使計(jì)算量增大且容易出錯(cuò)，因此才出現(xiàn)了復(fù)數(shù)計(jì)算的狄莫弗定理，對于二次根式和初等超越數(shù)方冪的計(jì)算，同樣也會(huì)面臨此尷尬，所以需要另辟蹊徑。從另一個(gè)角度，形象地說就是“從二項(xiàng)式到二項(xiàng)式”來重新審視二項(xiàng)式定

50、理，給出了數(shù)環(huán)中一類數(shù)的次冪計(jì)算的遞推公式法。有鑒于此，費(fèi)爾馬小定理是初等數(shù)論中的一個(gè)著名定理，雖然它的證明方法各異，但其共同的特點(diǎn)是不夠直觀，需要很多背景知識作基礎(chǔ)。</p><p>　　3.2.4 費(fèi)爾馬小定理的新證明</p><p>　　定理3.2 費(fèi)爾馬小定理：設(shè)是素?cái)?shù),若是與互素的整數(shù),則</p><p>　　它的證明方法各種各樣,其中廣泛流行的就是被

51、歐拉重新證明并加以推廣,而成為歐拉定理推論的那種方法。其實(shí),對費(fèi)爾馬小定理的證明,可以利用二項(xiàng)式定理的推廣形式即多項(xiàng)式定理,給出它的更加直觀的一種證明。</p><p>　　所謂多項(xiàng)式定理就是對項(xiàng)和的任何整數(shù)冪，有</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　其中 ⑥ 并稱其為多項(xiàng)式系數(shù)。</p>&l

52、t;p>　　下面我們給出費(fèi)爾馬小定理的多項(xiàng)式定理證明[13]。</p><p>　　為此我們從考察多項(xiàng)式的系數(shù)入手，分四步來證明：</p><p><b>　　所有二項(xiàng)式系數(shù)</b></p><p>　　均為正整數(shù)。因?yàn)閭€(gè)連續(xù)整數(shù)之積恒被所整除；</p><p>　　多項(xiàng)式系數(shù)中有個(gè)等于1.因?yàn)楫?dāng)，而時(shí)，</

53、p><p>　　若為素?cái)?shù)，則除了2）中的個(gè)系數(shù)外，剩下的多項(xiàng)式系數(shù)均被整除。因?yàn)橛?）知多項(xiàng)式的系數(shù)均為整數(shù)，所以。又，因此的素?cái)?shù)分解式中不會(huì)包含。于是，從而</p><p>　　在⑤中令每一個(gè)，則可得</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　可得⑦中的和式被素?cái)?shù)整除，即。為此可令，其中為整數(shù)。這樣⑦式成

54、為或。此式說明</p><p>　　而，所以有，即。于是費(fèi)爾馬小定理得證。</p><p>　　通項(xiàng)為的次多項(xiàng)式的數(shù)列是一種非常特殊的數(shù)列，有其比較特殊的研究價(jià)值。運(yùn)用組合恒等式、數(shù)學(xué)歸納法等初等數(shù)學(xué)的方法，通過“歸納—猜想—論證”，提出用待定系數(shù)法解決此類數(shù)列求和問題，并結(jié)合二項(xiàng)式定理和數(shù)列間的遞推關(guān)系導(dǎo)出了求待定系數(shù)的一般方法，旨在更好地解決數(shù)列求和問題[12]。</p>

55、<p>　　猜想一：若為的次多項(xiàng)式，則的前項(xiàng)和為的次多項(xiàng)式。</p><p>　　證明：（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。</p><p>　?。?）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即的次多項(xiàng)式的前項(xiàng)和為的次多項(xiàng)式。當(dāng)時(shí)</p><p>　　其中為的次多項(xiàng)式，則</p><p>　　（其中為的首項(xiàng)系數(shù)，）因?yàn)闉榈拇味囗?xiàng)式，所以由假設(shè)可得為的次多項(xiàng)式。又

56、</p><p><b>　　為的次多項(xiàng)式，故</b></p><p>　　為的次多項(xiàng)式。即時(shí)結(jié)論成立。</p><p>　　綜上，結(jié)論得證。由此證明過程不難得到一個(gè)推論：若的首項(xiàng)系數(shù)為，則的首項(xiàng)系數(shù)為。</p><p>　　猜想二：若為的次多項(xiàng)式，則的前項(xiàng)和的常數(shù)項(xiàng)。</p><p>　　證明：

57、（1）當(dāng)時(shí)，顯然成立。</p><p>　　（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即的次多項(xiàng)式的前項(xiàng)和的常數(shù)項(xiàng)。那么，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?lt;/p><p>　?。ㄆ渲袨橐阎橇愠?shù)，為的次多項(xiàng)式）</p><p><b>　　又由于</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>

58、　　其中 因?yàn)闉榈拇味囗?xiàng)式，所以由假設(shè)可得的常數(shù)項(xiàng)為零。所以的常數(shù)項(xiàng)為零。</p><p>　　綜上可知：若為的次多項(xiàng)式，則的前項(xiàng)和的常數(shù)項(xiàng)。</p><p>　　由以上兩個(gè)猜想，可以得到一個(gè)定理：</p><p>　　定理3.3 為的次多項(xiàng)式，則的常數(shù)項(xiàng)為0的次多項(xiàng)式，且若的首項(xiàng)系數(shù)為，則的首項(xiàng)系數(shù)為。</p><p>　　由此定理可知

59、，若為的次多項(xiàng)式，則我們可以用待定系數(shù)法求。即若已知</p><p><b>　　則設(shè)</b></p><p>　　然后列出個(gè)方程，求出。這種方法思路直接，且易于掌握；但是，如果增大，則計(jì)算量也變得很大。</p><p><b>　　求的一般方法</b></p><p><b>　　因?yàn)閯t

60、</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以且，比較系數(shù)得</b></p><p>　　對于這個(gè)方程組，我們只需通過步，便可依次求出</p><p>　　二項(xiàng)式定理在高等代數(shù)中也得到了一定的推廣和應(yīng)用。主要把數(shù)式二項(xiàng)式定理進(jìn)行了推廣，給出項(xiàng)式擬似

61、的定理和可交換同型矩陣的二項(xiàng)式定理，并舉例說明推廣定理在求多項(xiàng)式的次方冪和矩陣的次方冪時(shí)的應(yīng)用。</p><p>　　3.2.5 矩陣的二項(xiàng)式定理</p><p>　　二項(xiàng)式定理中兩元素均為實(shí)數(shù),當(dāng)然滿足乘法交換律,即</p><p>　　,如果將 換成兩個(gè)同型矩陣 ,由于矩陣的乘法不滿足交換律,即不能總成立,所以對上述二項(xiàng)式定理不成立,為此,我們又將引出關(guān)于矩陣

62、的二項(xiàng)式定理.</p><p>　　定理3.4 　如果數(shù)域上兩個(gè)同型矩陣可交換,即,那么</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　證明：（1）當(dāng)時(shí)，顯然成立，</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　左邊<

63、/b></p><p><b>　　右邊</b></p><p>　　左邊=右邊，結(jié)論成立。</p><p><b>　?。?）假設(shè)當(dāng)時(shí)，有</b></p><p><b>　?。?）當(dāng)時(shí)，有</b></p><p>　　故當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立。<

64、;/p><p>　　綜上所述，對于，結(jié)論成立。</p><p>　　上述定理在求矩陣和的方冪時(shí)計(jì)算方便，應(yīng)用廣泛，特別是時(shí)，由于,定理可簡化為</p><p>　　例3.10：已知,求。</p><p><b>　　解：因?yàn)?</b></p><p><b>　　則</b><

65、;/p><p><b>　　由于,,</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　故 所以</b></p><p>　　從上述例題中我們很容易看到定理在求矩陣方冪時(shí)簡化計(jì)算的重要作用，但值得注意的是，不是任何矩陣方冪都可以利用這個(gè)定理來求，它必須是兩

66、個(gè)可交換的同型矩陣方可使用，這在解題中應(yīng)引起高度重視。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　從最初的楊輝三角開始，二項(xiàng)式定理已有數(shù)百年的歷史。而二項(xiàng)式定理在初等數(shù)學(xué)的組合知識有著廣泛的應(yīng)用,同時(shí)又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)備知識,更重要是在高等數(shù)學(xué)中它是許多重要公式的奠基石。人們在二項(xiàng)式定理上所做的努力，也對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著積極的推動(dòng)作用，這也讓

67、我們認(rèn)識到二項(xiàng)式定理在數(shù)學(xué)的其他分支里都有著無可替代的重要地位。而數(shù)學(xué)家們對二項(xiàng)式的研究也會(huì)隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷的進(jìn)取，在更多的地方對二項(xiàng)式定理進(jìn)行推廣，使更多的理論得到進(jìn)一步的簡化。</p><p>　　在數(shù)學(xué)學(xué)科高度細(xì)化的今天，很多門學(xué)科都要建立在二項(xiàng)式的基礎(chǔ)上才能深入下去。而初等數(shù)學(xué)當(dāng)中的研究更具有現(xiàn)實(shí)意義，高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的研究也是數(shù)學(xué)發(fā)展的催化劑?？傊挛锟偸前l(fā)展向前的，隨著人們更深入的研究，筆者相信原本

68、繁瑣的等式證明，在得當(dāng)?shù)睦枚?xiàng)式定理之后，有著更加簡明的過程。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 華羅庚.從楊輝三角談起[M].北京:科學(xué)出版社，2002:6-21.</p><p>　　[2] 張世新,張先迪.組合原理及其應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社，2006:15-24.</p>

69、<p>　　[3] 柳麗紅.證明組合恒等式的方法與技巧[J].內(nèi)蒙古電大學(xué)刊.2006(10):86-87.</p><p>　　[4] 常海廷,陳美娟.淺談二項(xiàng)式系數(shù)恒等式的幾種證明方法[J].科技信息.2009(1):5.</p><p>　　[5] 王永利,田芝,張騫.從二項(xiàng)式定理到多項(xiàng)式定理[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中).2007(4):13-14.</p>

70、<p>　　[6] 唐佑華.二元齊次對稱多項(xiàng)式與二項(xiàng)式定理[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1982（12）：35-40.</p><p>　　[7] 李亞蘭.微分型算子與二項(xiàng)式定理的推廣[J]. 渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,24(5):3-5.</p><p>　　[8] 譚明術(shù).關(guān)于二項(xiàng)式型多項(xiàng)式的注記[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，2010,36(1):6-11.</p>

71、<p>　　[9] 張文娣.二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版）,2004,18(4):90-91.</p><p>　　[10] 方厚良,羅燦. 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通訊 , 2004,(07):19-20.</p><p>　　[11] 鄧勇.基于二項(xiàng)式定理應(yīng)用的探究[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào).2008,28(5):71-73.</p>

72、;<p>　　[12] 湯召渤,李俊.關(guān)于用待定系數(shù)法求數(shù)列前n項(xiàng)和的研究[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2009,18(12):105-107.</p><p>　　[13] 孫辛榮,曹學(xué)鋒.二項(xiàng)式定理的推廣及應(yīng)用[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004(5):53-54.</p><p>　　[14] Tucker,Alan.Applied Combinatorics[M].4ED.N