二項(xiàng)式定理公式、各種例題講解及練習(xí)

1、二項(xiàng)式定理例題講解分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類不同的辦法。第一類辦法中有m1種方法，第二類辦法中有m2種方法……，第n類辦法中有mn種方法，則完成這件事共有：N=m1m2…mn種方法。做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟。第一步中有m1種方法，第二步中有m2種方法……，第n步中有mn種方法，則完成這件事共有：N=m1m2…mn種方法。注意：處理實(shí)際問題時(shí)，要善于區(qū)分是用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)原理的標(biāo)志是“分類

2、”還是“分步驟”。排列組合從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一排，叫做從n個(gè)不同的元素中取m個(gè)元素的排列。從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同的元素中取m個(gè)元素的組合。排列數(shù)組合數(shù)從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記為Pnm從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，

3、記為Cnm選排列數(shù)全排列數(shù)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開式的性質(zhì)(1)項(xiàng)數(shù)：n1項(xiàng)(2)指數(shù)：各項(xiàng)中的a的指數(shù)由n起依次減少1，直至0為止；b的指出從0起依次增加1，直至n為止。而每項(xiàng)中a與b的指數(shù)之和均等于n。(3)二項(xiàng)式系數(shù)：例2試求：（1）(x＋2)10(x2－1)的展開式中x10的系數(shù)；（2）(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展開式中x2的系數(shù)；（3）的展開式中的常數(shù)項(xiàng).321??????????xx解：（

4、1）∵(x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…∴(x＋2)10(x2－1)的展開式中x10的系數(shù)是－1＋180＝179（2）∵(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5＝xxxxxx65)1()1()]1([1)]1([1)1(???????????∴所求展開式中x2的系數(shù)就是(x－1)6的展開式中x3的系數(shù)＝2036C?（3）∵=321??????????xx61?????????xx∴所求展開式中的常

5、數(shù)項(xiàng)是＝－2036C評述這是一組將一個(gè)二項(xiàng)式擴(kuò)展為若干個(gè)二項(xiàng)式相乘或相加，或擴(kuò)展為簡單的三項(xiàng)展開式，求解的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式的問題，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意分析題目中式子的結(jié)構(gòu)特征例3（1）已知(1＋x)n的展開式中，x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n的值；（2）已知(ax＋1)7（a≠0）的展開式中，x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng)，求a的值；(3)已知(2x＋)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120，求x的值gxx1解

6、：（1）依題意，即＝7n137nnCC?6)2)(1(??nnn由于n∈N，整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8(2)依題意3474372572aCaCaC??由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1510（3）依題意T5＝＝1120，4lg448)()2(xxxC整理得x4(1＋lgx)＝1，兩邊取對數(shù)，得lg2x＋lgx＝0，解得lgx＝0或lgx＝－1∴x＝1或x＝101評述(a＋b)n的展開式及其通項(xiàng)公式是a，b，