二項(xiàng)式定理公式、各種例題講解及練習(xí)_第1頁(yè)
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1、二項(xiàng)式定理例題講解分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理做一件事,完成它有n類(lèi)不同的辦法。第一類(lèi)辦法中有m1種方法,第二類(lèi)辦法中有m2種方法……,第n類(lèi)辦法中有mn種方法,則完成這件事共有:N=m1m2…mn種方法。做一件事,完成它需要分成n個(gè)步驟。第一步中有m1種方法,第二步中有m2種方法……,第n步中有mn種方法,則完成這件事共有:N=m1m2…mn種方法。注意:處理實(shí)際問(wèn)題時(shí),要善于區(qū)分是用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理,這兩個(gè)原理的標(biāo)志是“分類(lèi)

2、”還是“分步驟”。排列組合從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一排,叫做從n個(gè)不同的元素中取m個(gè)元素的排列。從n個(gè)不同的元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同的元素中取m個(gè)元素的組合。排列數(shù)組合數(shù)從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記為Pnm從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),

3、記為Cnm選排列數(shù)全排列數(shù)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)(1)項(xiàng)數(shù):n1項(xiàng)(2)指數(shù):各項(xiàng)中的a的指數(shù)由n起依次減少1,直至0為止;b的指出從0起依次增加1,直至n為止。而每項(xiàng)中a與b的指數(shù)之和均等于n。(3)二項(xiàng)式系數(shù):例2試求:(1)(x+2)10(x2-1)的展開(kāi)式中x10的系數(shù);(2)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù);(3)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).321??????????xx解:(

4、1)∵(x+2)10=x10+20x9+180x8+…∴(x+2)10(x2-1)的展開(kāi)式中x10的系數(shù)是-1+180=179(2)∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5=xxxxxx65)1()1()]1([1)]1([1)1(???????????∴所求展開(kāi)式中x2的系數(shù)就是(x-1)6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)=2036C?(3)∵=321??????????xx61?????????xx∴所求展開(kāi)式中的常

5、數(shù)項(xiàng)是=-2036C評(píng)述這是一組將一個(gè)二項(xiàng)式擴(kuò)展為若干個(gè)二項(xiàng)式相乘或相加,或擴(kuò)展為簡(jiǎn)單的三項(xiàng)展開(kāi)式,求解的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開(kāi)式的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化時(shí)要注意分析題目中式子的結(jié)構(gòu)特征例3(1)已知(1+x)n的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍,求n的值;(2)已知(ax+1)7(a≠0)的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng),求a的值;(3)已知(2x+)8的展開(kāi)式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120,求x的值gxx1解

6、:(1)依題意,即=7n137nnCC?6)2)(1(??nnn由于n∈N,整理得n2-3n-40=0,解得n=8(2)依題意3474372572aCaCaC??由于a≠0,整理得5a2-10a+3=0,解得a=1510(3)依題意T5==1120,4lg448)()2(xxxC整理得x4(1+lgx)=1,兩邊取對(duì)數(shù),得lg2x+lgx=0,解得lgx=0或lgx=-1∴x=1或x=101評(píng)述(a+b)n的展開(kāi)式及其通項(xiàng)公式是a,b,

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