勞動力市場中的優(yōu)化理論研究

1、<p>　　勞動力市場中的優(yōu)化理論研究</p><p>　　博弈模型涉及多個利益相沖突的決策者。多個目標(biāo)收益一般難以同時達(dá)到最大，所以在博弈論的研究中缺少運(yùn)籌與管理科學(xué)其它領(lǐng)域所取得的最優(yōu)化結(jié)論。但在雙方市場中定義的博弈概念，卻可以使市場同方參與者的收益同時達(dá)到最大。Roth研究了多對一市場中的這種最優(yōu)化及其路徑問題，但作者證明了Roth的結(jié)論是錯誤的，從而使優(yōu)化理論成為匹配理論研究中的一個缺口、一個有

2、待解決的問題。鑒于此，梳理了雙方市場中資源的優(yōu)化配置、探討了解決方法并指出未來的研究方向。 </p><p>　　博弈論的研究模型涉及多個利益相沖突的決策者。因為多個目標(biāo)收益一般難以同時達(dá)到最大，所以在博弈論的研究中極度缺乏運(yùn)籌與管理科學(xué)其它領(lǐng)域所取得的最優(yōu)化結(jié)論；而且，博弈模型的理論分析一般不注重確定“最優(yōu)”結(jié)果，而是首先注重確定在一些恰當(dāng)定義下的穩(wěn)定結(jié)果，如納什均衡。于是，在以雙方市場為研究對象的博弈理論―匹

3、配理論―中研究最優(yōu)化及其路徑問題，就顯得尤為重要與迫切。 </p><p>　　“匹配”是市場的重要功能之一。誰得到了哪一份工作，誰進(jìn)了哪一所學(xué)校，誰同誰結(jié)了婚，誰在哪里買了房產(chǎn)等等，都是匹配的結(jié)果。匹配博弈理論運(yùn)用博弈論的分析方法研究現(xiàn)實雙方市場的穩(wěn)定、及因缺乏穩(wěn)定而失靈問題，為現(xiàn)世經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析提供可靠的理論依據(jù)。Gale and Shapley 1962年發(fā)表在《美國數(shù)學(xué)月刊》（American Mathe

4、matical Monthly）上的文章“College admissions and the stability of marriage”，標(biāo)志著匹配博弈理論的誕生。 </p><p>　　2012年，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎授予美國匹配博弈理論學(xué)家埃爾文?羅斯（Alvin E. Roth）與羅伊德?夏普利（Lloyd S. Shapley），使匹配博弈理論成為近期國際與國內(nèi)同行高度關(guān)注的一個熱點問題。巧合的是，作者在2

5、012年證明了Roth （1985）關(guān)于多對一雙方匹配市場中的最優(yōu)化及其路徑問題的結(jié)論都是不正確的；作者的論文在運(yùn)籌與管理類國際一流學(xué)術(shù)期刊Mathematics of Operations Research上刊發(fā)后，立刻引起了國際同行的高度重視與關(guān)注，使該問題成為近期國際同行高度關(guān)注、博弈論學(xué)界急切想要解決的一個重大的、具有挑戰(zhàn)性的前沿問題。鑒于此，本文梳理了雙方市場中資源的優(yōu)化配置、探討了解決方法并指出未來的研究方向。 </p

6、><p><b>　　一、發(fā)展?fàn)顩r </b></p><p>　　在雙方市場中定義的博弈概念（如匹配、穩(wěn)定匹配等），可以使市場同方參與者（如企業(yè)或工人）的收益同時達(dá)到最大，這種最優(yōu)化存在的理論依據(jù)是選擇匹配的穩(wěn)定性，選擇匹配的穩(wěn)定性賦予穩(wěn)定匹配集合一定的格結(jié)構(gòu)，而穩(wěn)定匹配集合的格結(jié)構(gòu)給出了達(dá)到這種最優(yōu)化的具體路徑。 </p><p>　　Knuth

7、 （1976）解決了一對一雙方匹配市場中的最優(yōu)化及其路徑問題。Li （2013）證明了Knuth的結(jié)論在替代偏好下不能推廣到多對一市場。因為多對多市場是最一般化的雙方匹配市場，企業(yè)與工人具有完全對稱的地位，所以最優(yōu)化及其路徑問題在多對多市場也是一個未解難題。多年來不斷有經(jīng)濟(jì)學(xué)家嘗試解決這一問題，但都沒有得到肯定的結(jié)論。 </p><p>　　1.選擇匹配的穩(wěn)定性 </p><p>　　給定

8、兩個不同的穩(wěn)定匹配，讓每一個企業(yè)從它在這兩個穩(wěn)定匹配下的匹配對象的并集中，選出它最偏好的工人集合來。這樣選擇的結(jié)果，定義了一個選擇函數(shù)，稱為由企業(yè)作選擇的選擇匹配。作者已經(jīng)證明了，在替代偏好下，是一個匹配但不一定是穩(wěn)定匹配。類似地，讓每一個工人從他在這兩個穩(wěn)定匹配下的匹配對象中，選出他最偏好的企業(yè)來。這樣選擇的結(jié)果，定義了一個匹配，稱為由工人作選擇的選擇匹配。 </p><p>　　Gale and Shaple

9、y （1962）證明了：第一，當(dāng)每一個參與者在市場對方個體上有一個嚴(yán)格的偏好時，一對一和多對一穩(wěn)定匹配一定存在；第二，由拒絕接受算法產(chǎn)生的是一個提議方最優(yōu)穩(wěn)定匹配。Knuth （1976）在一對一市場中研究了這種最優(yōu)化的理論依據(jù)：給定兩個不同的穩(wěn)定匹配，讓每一個企業(yè)（工人）從它（他）在這兩個匹配下的匹配對象中選出它（他）偏好的那個來。當(dāng)參與者具有嚴(yán)格偏好時，Knuth證明了這樣選擇的結(jié)果依然是個穩(wěn)定匹配。Knuth的成果給Gale an

10、d Shapley最優(yōu)穩(wěn)定匹配的存在一個自然的解釋。 </p><p>　　Roth （1984）推廣了Gale and Shapley關(guān)于多對一穩(wěn)定匹配的成果：一是當(dāng)企業(yè)在所有工人集合上有一個完備的、具有傳遞性的和嚴(yán)格的替代偏好時，多對一穩(wěn)定匹配一定存在；二是由拒絕接受算法產(chǎn)生的是一個提議方最優(yōu)穩(wěn)定匹配。 Roth （1985）在多對一市場嘗試推廣Knuth （1976）的結(jié)論：給定兩個不同的穩(wěn)定匹配，讓每一個

11、企業(yè)（工人）從它（他）在這兩個匹配下的匹配對象的并集中選出它（他）最偏好的對象來，這一選擇的結(jié)果被稱為這兩個穩(wěn)定匹配的選擇函數(shù)。Roth 在替代偏好下證明了：由企業(yè)作選擇的選擇函數(shù)是個穩(wěn)定匹配，由工人作選擇的選擇函數(shù)不一定是個穩(wěn)定匹配。 </p><p>　　Martinez et al （2001）在可分離偏好下研究了由工人作選擇的多對一選擇匹配的穩(wěn)定性，他們直接引用Roth的結(jié)論來完成他們的主要證明。Blai

12、r （1988）提到了，在替代偏好下，由企業(yè)作選擇的多對多選擇匹配不一定是穩(wěn)定匹配。因為在多對多市場中，工人與企業(yè)具有完全對稱的地位，所以由工人作選擇的多對多選擇匹配也不一定是穩(wěn)定匹配。 </p><p>　　由企業(yè)作選擇的多對一選擇匹配的穩(wěn)定性自Roth （1985）提出后，歷經(jīng)28年，Li （2013）指出Roth的結(jié)論是不正確的。Li從選擇匹配的構(gòu)造入手，分析了選擇匹配的基本屬性，指出Roth的證明忽略了選

13、擇匹配的一個重要性質(zhì)，從而存在嚴(yán)重的邏輯漏洞；并以具體實例表明Roth的結(jié)論不一定成立。因為Martinez et al （2001）關(guān)于由工人作選擇的選擇匹配穩(wěn)定性的證明建立在Roth的結(jié)論之上，Li的結(jié)論顯示他們的成果有待重新考證。又因為多對多市場是多對一市場的一般化，特殊市場不成立的性質(zhì)在一般化市場一定也不成立。于是，Li（2013）昭示了多對一和多對多市場選擇匹配的穩(wěn)定性成為匹配理論研究中的一個缺口、一個有待解決的問題。 　　

14、2.穩(wěn)定匹配的格 </p><p>　　格（lattice）是一個數(shù)學(xué)概念，但被廣泛地應(yīng)用于運(yùn)籌與管理學(xué)的研究中，特別是在勞動力市場的研究中，給現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析提供一個理論依據(jù)。因為格具有的良好性質(zhì)，如任意兩個元素都有一個最小上界（上確界）和一個最大下界（下確界）。因此，在匹配理論的研究中格具有重要的地位。任意兩個穩(wěn)定匹配是否具有一個上確界和下確界？如果有，那么市場同方參與者之間除了競爭還可以合作，共同達(dá)到利益

15、的提高。但在匹配理論中研究格，難點是選取一個恰當(dāng)?shù)钠蜿P(guān)系。 </p><p>　　Knuth （1976）研究了一對一市場穩(wěn)定匹配的格結(jié)構(gòu)。在一對一市場中，企業(yè)的偏好定義在工人個體上。因此，在由企業(yè)作選擇的選擇匹配下，企業(yè)是在工人個體上作比較和選擇；而企業(yè)公共偏好偏序也是定義在工人個體上；所以容易證明是穩(wěn)定匹配集合在企業(yè)公共偏好偏序下的上確界算子，是下確界算子。Knuth利用和的穩(wěn)定性，證明了一對一穩(wěn)定匹配集合

16、是一個滿足分配律的完備格。 </p><p>　　Roth （1985）嘗試把Knuth在一對一市場的格結(jié)論推廣到多對一市場。他首先證明了由企業(yè)作選擇的多對一選擇匹配的穩(wěn)定性，然后聲稱是多對一穩(wěn)定匹配集合在企業(yè)公共偏好偏序下的上確界算子，進(jìn)一步聲稱穩(wěn)定匹配集合是一個完備格。Roth將Knuth結(jié)論的一部分推廣到了多對一市場，但較之Knuth的結(jié)論，他的不足之處在于：Roth的格缺少一個定義自然的下確界；第二，Ro

17、th的格不存在一個對偶的結(jié)論，即穩(wěn)定匹配集合在工人公共偏好偏序關(guān)系下是否是一個格；最后，Roth沒有對格進(jìn)行分配律的證明。 </p><p>　　Martinez et al （2001）在可分離偏好下研究了多對一穩(wěn)定匹配集合在工人公共偏好偏序下的格問題。他們引用Roth的結(jié)論（是穩(wěn)定匹配），證明了由工人作選擇的選擇匹配的穩(wěn)定性，然后證明了多對一穩(wěn)定匹配集合在工人公共偏好偏序下是一個完備格，和分別是上確界和下確界

18、算子。但他們沒有討論格的分配律問題。 </p><p>　　Blair （1988）研究了多對多市場上當(dāng)參與者具有替代性選擇函數(shù)時，穩(wěn)定匹配集合的格問題。他證明了穩(wěn)定匹配集合在一個“恰當(dāng)”的偏序 （后繼文獻(xiàn)將之稱為“Blair偏序”）下是一個完備格，但在企業(yè)公共偏好偏序下不一定是個格。但Blair格的上確界沒有一個明確的定義，并缺少下確界，因而無法自然地解釋多對多市場存在最優(yōu)穩(wěn)定匹配。而且，Blair的格不滿足分

19、配律。 </p><p>　　Li （2013）指出Roth （1985）關(guān)于多對一穩(wěn)定匹配的格結(jié)論是不正確的。在多對一市場中，企業(yè)與工人具有不對稱的地位（這與一對一市場不同），工人的偏好依然定義在企業(yè)個體上，而企業(yè)的偏好定義在工人集合上。企業(yè)公共偏好偏序由企業(yè)在兩個工人集合間擇優(yōu)選取定義，而選擇函數(shù)卻是由企業(yè)在兩個工人集合的并集中選出最偏好的工人集合定義，這兩個定義的結(jié)果是不一致的（這與一對一市場不同）。因此，

20、不能簡單地把Knuth在一對一市場的結(jié)論不加證明地推廣到多對一市場。Li以具體實例表明，不一定是企業(yè)公共偏好偏序的上確界算子。Li分析了Roth的錯誤不僅僅是他關(guān)于穩(wěn)定性的證明是錯誤的，還在于他選擇了一個不恰當(dāng)?shù)钠蜿P(guān)系。因為Martinez et al （2001）的證明依賴于Roth的結(jié)論，所以多對一穩(wěn)定匹配在工人公共偏好偏序下的格問題有待重新研究。 </p><p>　　鑒于Li （2013）的證明，結(jié)合B

21、lair （1988），多對一與多對多雙方匹配市場中的格問題成為近期匹配理論研究中一個引人矚目和有待解決的問題。 </p><p><b>　　二、研究方向 </b></p><p>　　Li證明了在替代偏好下不一定是穩(wěn)定匹配，Roth （1985）證明了在替代偏好下不一定是穩(wěn)定匹配。Li證明了，在替代偏好下，和不是企業(yè)公共偏好偏序的上確界和下確界算子。于是，勞動力市

22、場中的資源優(yōu)化配置研究有如下幾個方向：多對一選擇匹配的穩(wěn)定性；多對一穩(wěn)定匹配的格；多對多選擇匹配的穩(wěn)定性和穩(wěn)定匹配的格，在前兩個研究成果的基礎(chǔ)上，解決最一般化匹配市場的優(yōu)化研究。 </p><p><b>　　三、研究意義 </b></p><p>　　博弈論的研究模型涉及多個利益相沖突的決策者。因為多個目標(biāo)收益一般難以同時達(dá)到最大，所以在博弈論的研究中極度缺乏運(yùn)籌與

23、管理科學(xué)其它領(lǐng)域所取得的最優(yōu)化結(jié)論。但在雙方市場中定義的博弈概念（如匹配、穩(wěn)定匹配等），卻可以使市場同方參與者（如企業(yè)或工人）的利益同時達(dá)到最大；Roth（1985）研究了多對一市場中的這種最優(yōu)化及其路徑問題，但作者在2012年證明了Roth的結(jié)論是錯誤的。鑒于Roth榮獲2012年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎桂冠，作者的論文及雙方匹配市場中的最優(yōu)化及其路徑問題引起了廣泛的社會效應(yīng)與關(guān)注。因此，該問題的研究不僅具有重要的理論與現(xiàn)實意義，還具有重要的社

24、會影響與深遠(yuǎn)意義。 </p><p><b>　　1.理論意義 </b></p><p>　　作者已經(jīng)證明了Roth（1985）關(guān)于雙方匹配市場中的最優(yōu)化及其路徑問題的結(jié)論都是不正確的，使該問題成為匹配博弈理論研究中的一個缺口。所以該問題的研究成果有望彌補(bǔ)與完善匹配博弈理論研究。 </p><p>　　該問題的成果有助于解決“多對多匹配市場核的

25、存在”這一匹配理論研究中的重大難題，同時為供應(yīng)鏈匹配的最優(yōu)化問題提供理論依據(jù)與支撐。 </p><p><b>　　2.現(xiàn)實意義 </b></p><p>　　鑒于選擇匹配的穩(wěn)定性與穩(wěn)定匹配的格問題在最優(yōu)化理論、市場機(jī)制設(shè)計與市場管理方面的廣泛應(yīng)用，該問題的研究有望促進(jìn)這些相關(guān)領(lǐng)域的研究與發(fā)展。 </p><p>　　該問題的研究成果有助于我國

26、雙方匹配市場現(xiàn)存問題的解決，如高校擴(kuò)招及經(jīng)濟(jì)下滑帶來的就業(yè)壓力、房價波動引發(fā)地產(chǎn)商與購房者之間的矛盾、中小民營企業(yè)融資困境等問題。 </p><p><b>　　3.深遠(yuǎn)影響 </b></p><p>　　匹配理論作為博弈論的一個獨(dú)立分支，一直是運(yùn)籌與經(jīng)濟(jì)管理研究中的一個熱點與難點，是計算數(shù)學(xué)、生物工程學(xué)和社會科學(xué)研究中的一個重要工具，但國內(nèi)對該理論的研究和應(yīng)用卻極為

27、欠缺。2012年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎頒給了匹配博弈理論學(xué)家，使該理論受到國內(nèi)同行的關(guān)注。鑒于國內(nèi)對匹配博弈理論的研究比較欠缺，該問題的研究，將會引起國內(nèi)外同行的興趣與關(guān)注，促進(jìn)國內(nèi)學(xué)界在匹配博弈理論方面的研究與發(fā)展應(yīng)用。 </p><p>　　基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（No. 71301056），廣東省自然科學(xué)基金項目（No. S2013040016469）。 </p><p>　　（作者