數(shù)學(xué)化歸方法及其應(yīng)用

1、<p><b>　　渤海大學(xué)</b></p><p><b>　　畢業(yè)論文(設(shè)計)</b></p><p>　　題目（中文）： 數(shù)學(xué)化歸方法及其應(yīng)用 </p><p>　?。ㄓ⑽模篗athematics of Return Method and its Applica

2、tion</p><p>　　姓 名： </p><p>　　專 業(yè)： </p><p>　　班 級： </p><p>　　院 系：

3、 </p><p>　　入學(xué)年度： </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　日 期： </p><p><b>　　目錄</b></p>

4、<p><b>　　摘要2</b></p><p><b>　　引言3</b></p><p>　　一、對化歸思想的理解3</p><p>　?。ㄒ唬┗瘹w的定義3</p><p>　?。ǘ┗瘹w的實質(zhì)3</p><p>　　（三）化歸的原則4</

5、p><p>　?。ㄋ模┗瘹w的步驟4</p><p><b>　?。ㄎ澹┗瘹w圖釋4</b></p><p>　?。┗瘹w的分類4</p><p>　　二、常用化歸方法及其應(yīng)用5</p><p><b>　?。ㄒ唬┟}化歸5</b></p><p>

6、;　?。ǘ┯成浠瘹w11</p><p>　?。ㄈ┳兞刻鎿Q18</p><p>　　三、化歸方法的實際應(yīng)用22</p><p><b>　　結(jié)束語25</b></p><p><b>　　參考文獻25</b></p><p>　　數(shù)學(xué)化歸方法及其應(yīng)用</p&

7、gt;<p>　?。ú澈４髮W(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 中國）</p><p>　　摘要：數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)活的靈魂，化歸思想是其中重要的一種。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們往往把待解決的問題進行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將困難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題等等。這種數(shù)學(xué)問題之間的相互轉(zhuǎn)化就稱為數(shù)學(xué)化歸。數(shù)學(xué)化歸在數(shù)學(xué)的理論研究及數(shù)學(xué)問題的解決過程中都占有重要的地位，是

8、解決數(shù)學(xué)問題的一個強有力的武器。本文將介紹化歸的定義、原理、主要方法及其實際應(yīng)用，通過具體的例子和實例，使讀者了解并逐步掌握化歸的方法和技巧，使其應(yīng)用于日常的學(xué)習(xí)和生活。</p><p>　　關(guān)鍵詞：化歸 典型化 特殊化 輔助命題 映射 變量替換</p><p>　　Mathematics of Return Method and its Application </p&g

9、t;<p>　　Abstract:Mathematic ideas and methods is the soul of mathematics, and the return method is an important one. In the process of solving the mathematical problems, we tend to solve the problem of conversion

10、of the complex issue into a simple issue, the difficult issue into an easy issue, the unsolved issue into a resolved issue, and so on. This conversion between the mathematical problems is called the mathematics of retur

11、n method. Mathematics of return method plays an important role in the theor</p><p>　　Key words:return methods typification specialization the supplementary questions mapping variable substitution</p&g

12、t;<p><b>　　引 言</b></p><p>　　辯證法告訴我們：任何事物都不是孤立、靜止和一成不變的，而是在不斷地發(fā)展變化著。因此，作為一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其組成要素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，正是這種可變的性質(zhì)，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)化歸。</p><p>　　數(shù)學(xué)化歸在數(shù)學(xué)的理論研究及數(shù)學(xué)問題的解決過程中都占有重要的地位。例如，兩個數(shù)

13、學(xué)系統(tǒng)之間的同構(gòu)關(guān)系（視為一種化歸），使得不同的數(shù)學(xué)對象化歸在同一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)中進行研究，從而導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生，因此推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。另一方面，化歸又為解決數(shù)學(xué)問題提供了一個有力的武器。</p><p>　　“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，而幾乎所有的數(shù)學(xué)問題的解決都離不開化歸，只是所體現(xiàn)的化歸形式不同而已。計算題是利用規(guī)定的法則進行化歸；證明題是利用定理、公理或已解決了的命題進行化歸；應(yīng)用題是利用數(shù)學(xué)模型進行化歸。可

14、以說，離開化歸，數(shù)學(xué)問題的解決將寸步難行。</p><p>　　因此，我們必須了解并掌握數(shù)學(xué)化歸的方法和技巧，使其熟練地應(yīng)用于學(xué)習(xí)和生活當(dāng)中。</p><p><b>　　對化歸思想的理解</b></p><p><b>　?。ㄒ唬┗瘹w的定義</b></p><p>　　化歸指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)。即把數(shù)

15、學(xué)中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比的思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。</p><p><b>　　（二）化歸的實質(zhì)</b></p><p>　　在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，往往把待解決的問題轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將困難的問題轉(zhuǎn)化為容易的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題等等。<

16、/p><p><b>　?。ㄈ┗瘹w的原則</b></p><p>　　將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟知的或已解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題；將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題；將實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便于求解。</p><p><b>　?。ㄋ模┗瘹w的步驟</b></p><p>　　其一

17、，化歸對象，即對什么進行化歸；</p><p>　　其二，化歸目標(biāo)，即化成什么；</p><p>　　其三，化歸手段方法，即如何化歸。</p><p><b>　　（五）化歸圖釋</b></p><p>　　欲討論問題，可轉(zhuǎn)化為討論問題，然后利用問題的解答去完成問題的解答?；瘹w的一般模式為：</p><

18、;p>　　問題 問題</p><p>　　的解答 的解答</p><p><b>　　（六）化歸的分類</b></p><p>　　化歸可分為等價化歸和半等價化歸，其中半等價化歸可分為強等價化歸和弱等價化歸。</p><p>　　等價化歸就是指同一等價類中的元素

19、相互轉(zhuǎn)化，化歸前后的問題在所定義的等價關(guān)系下保持某一方面的“同質(zhì)”，這種同質(zhì)就使化歸后問題的解答保證了化歸前問題的解答。在同一等價類中的元素可以相互轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化前后的問題保持在等價關(guān)系下的同質(zhì)，轉(zhuǎn)化后命題屬于該等價類。</p><p>　　在同一類等價集中的問題也可以相互轉(zhuǎn)化，但其轉(zhuǎn)化前后的問題不保持在半等價關(guān)系中的同質(zhì)，近似的轉(zhuǎn)化命題屬于化歸后問題所在的半等價集。盡管半等價化歸不一定能徹底解決原問題，但由于它的

20、條件弱于等價化歸，因此應(yīng)用范圍寬于等價化歸。</p><p>　　常用化歸方法及其應(yīng)用</p><p><b>　　（一）命題化歸</b></p><p>　　1.命題的典型化化歸</p><p>　　就是指把所解命題化歸為個別典型命題。</p><p>　　設(shè)所給命題為，的典型命題是指：可推導(dǎo)出

21、并且也可推導(dǎo)出，且利用能容易處理。</p><p>　　命題的典型化化歸在數(shù)學(xué)解題中隨處可見。我們常常在解題時用“不妨設(shè)……”，“不失一般性”，“任取一個滿足題設(shè)的圖形……”等等語言，其實質(zhì)就是將命題作典型化化歸。因為命題的典型化化歸是等價化歸，所以典型命題解決后，原命題也已解決。 </p><p>　　例1．三次方程的求根問題，可等價化歸為討論方程。令（此代換為等價變換），代入,化簡后

22、便是,其中, ,此方程于原方程等價，因此即為原方程的典型命題。一旦后者解決了，原方程的解也就求得了。而的求根是容易的。</p><p>　　例2．在三角形中，,為中線， </p><p>　　為高。求證： 。 </p><p>　　證明：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)的</p><p><b>　　坐

23、標(biāo)分別為</b></p><p>　　則的坐標(biāo)為。 </p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴ 而</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p&

24、gt;　　分析：本題如果以所在的直線分別為軸和軸建立直角坐標(biāo)系，那么，設(shè)點的坐標(biāo)就比較麻煩。之所以要選取一種典型情況建立坐標(biāo)系，是因為同一個圖形在不同坐標(biāo)系李實質(zhì)是在一個坐標(biāo)系中該圖的位置不同，經(jīng)過合同變換（合同變換時等價變換）后，可化歸為解該題所建立的坐標(biāo)系中的圖形所在位置。這種特殊位置即為典型化，從而使原問題得以解決。</p><p>　　2.命題的特殊化化歸</p><p>　　命題

25、的典型化化歸與特殊化化歸的區(qū)別在于：典型化化歸中，化歸前后的命題屬于同一等價類，而特殊化化歸中的化歸前后命題屬于同一個半等價集。 </p><p>　　例3．從圓的直徑的一端引兩弦 </p><p>　　過點引該圓的切線與的延長線交于</p><p>　　點．求證： </p><p&g

26、t;　　證明1：如圖（右），連結(jié)， </p><p>　　是⊙O的切線，∴，∴，</p><p>　　∴四點共圓，∴。 </p><p>　　證明2：如圖（右），連結(jié)。</p><p>　　是⊙O的直徑，∴, </p><p>　　切⊙O于

27、，∴ , </p><p>　　∴斜邊上的高是, </p><p><b>　　∴， 同理，∴，</b></p><p><b>　　∴四點共圓，∴。</b></p><p>　　分析：證明1是錯誤

28、的。因為由題設(shè)可位于的同側(cè)或異側(cè)，證明1考慮的是異側(cè)情況，而證明過程不完全適用于位于同側(cè)的情形，因此所證明的命題不是原命題的等價命題。證明2是正確的。因為在證明的全過程中，其理由完全適合上圖的兩種情形，所以所證得命題與原命題等價。</p><p>　　例4．如果是小于的正數(shù)，而是這些數(shù)的某一種排列。那么，所有的數(shù)不可能都大于。</p><p>　　分析：取的情況，此時必有?！?。當(dāng)時可排序使

29、，∴不可能有兩個因子都大于。</p><p>　　對一般的，將作調(diào)整，可使</p><p><b>　　,</b></p><p>　　∴不可能個因子都大于。</p><p>　　3.構(gòu)造輔助命題化歸</p><p>　　在很多情形中，往往需要構(gòu)造一下輔助命題去幫助解決原命題，下面是一些構(gòu)造輔助命

30、題的常用方法。</p><p>　　（1）構(gòu)造等價輔助命題</p><p>　　例5．已知>。求證：>。</p><p>　　證明：構(gòu)造函數(shù)。則>與原不等式等價。</p><p><b>　　當(dāng)>時，>。</b></p><p>　　所以在內(nèi)是增函數(shù)，得>。&l

31、t;/p><p>　　而，所以>。故原不等式成立。</p><p>　?。?）構(gòu)造一般化輔助命題</p><p>　　例6．試證：能被整除。</p><p><b>　　證明：構(gòu)造函數(shù)。</b></p><p>　　∵，∴為奇函數(shù)。而只含的偶次項，</p><p><

32、;b>　　必為整數(shù)。</b></p><p><b>　　故命題成立。</b></p><p><b>　?。?）構(gòu)造輔助方程</b></p><p>　　例7．已知。求證：三數(shù)等比數(shù)列。</p><p>　　證明：構(gòu)造方程。………</p><p>　　因其

33、系數(shù)和，故有根。</p><p>　　又由已知條件，知兩根相等，</p><p><b>　　∴,即，∴.</b></p><p><b>　　∴成等比數(shù)列。</b></p><p><b>　?。?）構(gòu)造輔助數(shù)列</b></p><p>　　例8．求和

34、 Sn= 。</p><p><b>　　解：設(shè)。</b></p><p><b>　　構(gòu)造輔助數(shù)列，</b></p><p><b>　　則.</b></p><p><b>　　所以。</b></p><p><b>

35、;　　兩邊求和 ，</b></p><p><b>　　即，</b></p><p><b>　　故。</b></p><p><b>　　而，</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p><

36、b>　　(5)構(gòu)造行列式</b></p><p>　　例9．已知不全為零，且</p><p><b>　　。求證：。</b></p><p><b>　　證明：要證，</b></p><p><b>　　只需證</b></p><p>

37、　　只需證 有非零解。</p><p>　　由已知條件，知上面齊次線性方程組有非零解。</p><p><b>　　故命題得證。</b></p><p>　　規(guī)律：具有形式的多項式可表示成一個行列式：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　利用這個代

38、換，可以解決一些多項式問題，比如多項式的因式分解解方程等等。</p><p>　　定理：方程的所有解都是方程的解。</p><p>　　由定理可知的化歸是半等價化歸，</p><p>　　行列式方程的根必須代人原方程驗根。</p><p>　　（6）微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造</p><p>　　在應(yīng)用中值定理證

39、題時，有時需要構(gòu)造一個滿足羅爾定理條件的輔助函數(shù)。</p><p>　　在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理時，分別利用了一下兩個輔助函數(shù)：</p><p><b>　　………①</b></p><p><b>　　………②</b></p><p>　　然后利用羅爾定理去證明。</p>

40、<p>　　由于微分和積分是互逆的運算，因此可以從兩個中值定理的結(jié)論入手，通過積分去尋找輔助函數(shù)。事實上，由拉格朗日中值定理的結(jié)論：,,</p><p><b>　　兩邊取不定積分,</b></p><p><b>　　得.</b></p><p><b>　　將換成，得，</b><

41、/p><p>　　兩邊作差就是證明拉格朗日中值定理所需的輔助函數(shù)①。</p><p>　　同樣，對柯西中值定理兩邊積分，得</p><p><b>　　，即</b></p><p><b>　　，從而得②。</b></p><p>　　這樣，就得到了解決這類問題時構(gòu)造輔助函數(shù)的一

42、般方法，即從待證明的問題結(jié)論出發(fā)，通過積分區(qū)尋求輔助函數(shù)。</p><p>　　例10．設(shè)在上可導(dǎo)，且，。</p><p><b>　　試證：必存在，使。</b></p><p>　　分析：由，將換為后取不定積分，得</p><p><b>　　，解得+c。</b></p><p

43、><b>　　所以得輔助函數(shù)。</b></p><p>　　證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，</p><p>　　易驗證滿足羅爾定理條件，</p><p><b>　　因此存在，使，</b></p><p><b>　　即得。</b></p><p><

44、b>　?。ǘ┯成浠瘹w</b></p><p><b>　　1.恒等變換</b></p><p>　　在集合中定義一個變換 ,即把每個中的元素與自身對應(yīng)起來，稱為集合上的恒等變換。因此，集合中的恒等變換，是到的等價化歸。下面是常用的恒等變換方法。</p><p><b>　?。?）配方法</b></

45、p><p>　　配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形方法，在因式分解、根式化簡、解方程、證明等式及不等式、求函數(shù)的極值、化簡二元二次方程等方面都有廣泛的應(yīng)用。由于配方是在定義域不變的情況下進行的，因此是等價化歸。</p><p>　　例11．已知。求的最小值。</p><p><b>　　解：由，得。</b></p><p>&

46、lt;b>　　∴。</b></p><p>　　∴當(dāng)時，，取得最小值。</p><p><b>　?。?）“1”的巧用</b></p><p>　　“1”在數(shù)系中占有重要地位，作為數(shù)域里面的元素，它是單位元。因此產(chǎn)生了許多關(guān)于“1”的恒等式，如：，</p><p>　　，等等。因此在解題時，有時利用這些

47、恒等式，往往事半功倍。</p><p><b>　　例12．解。</b></p><p><b>　　解：∵，</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p>　　例13．如圖，已知的邊，且 </p><p><b>

48、;　　的平分線交于,</b></p><p><b>　　求證：<。</b></p><p>　　證明：設(shè)。 </p><p><b>　　∵</b></p><p><b>　　又∵<，∴<<。<

49、/b></p><p><b>　　∴<。 故<。</b></p><p><b>　?。?）公式巧用</b></p><p>　　公式的逆用、變形時恒等變換的一個重要技巧。</p><p>　　例如：等比數(shù)列的求和公式，逆用便成了因式分解公式；二項式定理逆用便是一類特殊數(shù)列的

50、求和公式；</p><p><b>　　隸莫佛公式</b></p><p><b>　　經(jīng)變形</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　，<

51、;/b></p><p>　　從而使復(fù)數(shù)運算成為解決三角式化簡、求值的有力工具。</p><p><b>　　例14．因式分解。</b></p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　總結(jié)：本

52、題的解答，巧用了等比數(shù)列的求和公式：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　（4）恒等分割</b></p><p><b>　　=型，其框圖為：</b></p><p><b>　　例15．求。</b></p>

53、<p><b>　　解：</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　2. 點數(shù)映射化歸</b></p><p>　　我們把平面上的點集到實數(shù)集的化歸，稱為點數(shù)映射化。歸。因此，可以建立平面上的點集到實數(shù)偶集的映射。實數(shù)偶集到平面直角坐標(biāo)系中的點集的化歸是等價

54、化歸；平面直角坐標(biāo)系中的點集到實數(shù)偶集的化歸也是等價化歸。因此，我們可以使幾何問題與代數(shù)問題互相化歸。這種化歸，往往可以使欲解決的問題簡單化。</p><p>　?。?）幾何問題代數(shù)化</p><p>　　例16．已知分別是正方形的鄰邊和的中點，連結(jié)相交于點。求證：。 </p><p>　　證明：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，則正方形四個頂點的坐標(biāo)分別為

55、,點的坐標(biāo)分別為。 </p><p>　　所以，直線的方程為， </p><p>　　直線BN的方程為, </p><p>　　將兩方程聯(lián)立求得. </p><p&g

56、t;　　∴。 ∴。 </p><p>　　由此，可歸納出幾何問題代數(shù)化的圖釋：</p><p><b>　　映射</b></p><p>　　課題目的 代數(shù)計算</p><p><b>　　反演<

57、;/b></p><p>　?。?）代數(shù)問題幾何化 </p><p>　　例17(1986年高考理科試題).在平面 </p><p>　　直角坐標(biāo)系中，軸的正半軸（坐標(biāo) </p><p>　　原點除外）上給定兩點，試在 </p><p>

58、　　軸的正半軸（坐標(biāo)原點除外）上求 ＇ </p><p>　　點，使取得最大值，并求出該最大值。</p><p>　　解：如圖，過的中點作直線∥軸，以為圓心，</p><p>　　為半徑作弧交直線于，再以為圓心，為半徑作圓。</p><p>　　∵∥軸， ∴到軸的距離為。</p><p>

59、;　　∴圓過點且與軸相切。</p><p>　　設(shè)切點為，則點即為所求。</p><p>　　因為若設(shè)點＇為軸正半軸上異于點的任一點，則＇必在圓 外，由平面幾何知識易知，。</p><p>　　現(xiàn)設(shè)，則由上述作法可知：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　

60、∴。</b></p><p><b>　　∴。</b></p><p>　　這種方法的模式為： 幾何表示</p><p>　　課題目的 幾何推理</p><p><b>　　反演</b></p>

61、<p><b>　　3.實復(fù)數(shù)映射化歸</b></p><p><b>　　關(guān)系圖：</b></p><p>　　實際上，三者可以相互化歸。</p><p>　　例18．求的最小值。</p><p><b>　　解：設(shè)。</b></p><p&g

62、t;<b>　　∴。</b></p><p>　　而在中，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，</p><p><b>　　即 。</b></p><p><b>　　解得：。</b></p><p>　　∴當(dāng)時，的最小值為。</p><p><b>　　4.向

63、量化歸</b></p><p>　　復(fù)數(shù)集到以原點為起點的向量集的化歸是等價化歸，反之亦然。復(fù)數(shù)集到向量集的化歸是等價化歸，反之亦然。因此，平面點集、實數(shù)偶集、復(fù)數(shù)集、向量集之間可以互作等價化歸。</p><p>　　例19．如圖，設(shè)是平行四邊形的較長的對角線，于，于。求證：。</p><p>　　證明：取為基本向量， </p><

64、;p><b>　　則。</b></p><p>　　∵， </p><p><b>　　∴，</b></p><p>　　即。 </p><p><b&

65、gt;　　∴。</b></p><p><b>　　得，</b></p><p><b>　　即。</b></p><p><b>　　由此得：。</b></p><p><b>　　5.反函數(shù)化歸</b></p><p&g

66、t;　　設(shè)函數(shù)是雙射，若的逆映射存在，則也是雙射，則稱為的反函數(shù)。所以，函數(shù)的反函數(shù)存在當(dāng)且僅當(dāng)是雙射。若函數(shù)存在反函數(shù)，則從的定義域到值域的化歸是等價化歸，從值域到定義域的化歸也是等價化歸。</p><p>　　例20．設(shè)是不等于的正數(shù)。證明：。</p><p>　　分析：因為對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，而一個函數(shù)如果存在反函數(shù)，則是唯一的，即是惟一的，即函數(shù)與其反函數(shù)是一一對應(yīng)的，因

67、此可以在兩者之間互相化歸，且這種化歸是等價化歸。</p><p><b>　　令則，</b></p><p><b>　　， 。</b></p><p>　　三式相加，得， 即，∴，</p><p><b>　　即。</b></p><p>　　此外，在

68、處理反三角函數(shù)問題時，往往采用反函數(shù)化歸，化問題為三角函數(shù)討論。但解反三角函數(shù)問題必須注意反函數(shù)的主值區(qū)間，否則函數(shù)不可逆，此時的化歸是半等價而不是等價的。</p><p><b>　?。ㄈ┳兞刻鎿Q</b></p><p>　　所謂變量替換，是指把一個數(shù)學(xué)式子中的某一些量以另一些與此相關(guān)的量去替代，從而使該數(shù)學(xué)式子變得較為簡單或易于解決的化歸過程，其實質(zhì)是數(shù)集到數(shù)集

69、的映射化歸。</p><p>　　變量替換是數(shù)學(xué)解題的一種重要化歸方法。在討論幾種常用的變量替換之前，首先了解一下變量替換的分類。</p><p>　　一種分類，根據(jù)替換的變元的個數(shù)，變量替換可分為一元和多元變量替換。 另一種，若是“以元代式”的替換則叫做第一類變量替換，若是“以式代元”的替換則叫做第二類變量替換。</p><p>　　由此，可以得出變量替換的化歸原

70、理：</p><p>　　這是一個互逆化歸過程。通過變換，可以把化歸為，這是第一類變量替換；反之，通過，把化為，這是第二類變量替換。</p><p>　　下面討論幾種常用的變量替換。</p><p><b>　　整式變換</b></p><p>　　在 中，若為整式，則稱該

71、變換為整式變換。</p><p>　　例：在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解。</p><p><b>　　設(shè)，則原式=</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　由上題可以看出，變量替換關(guān)鍵在于通過觀察式子的規(guī)律設(shè)出，使計算和證明過程加以簡化。</p><p>

72、;<b>　　分式變換</b></p><p>　　在解方程、證明不等式、求函數(shù)值域、解不等式、證明恒等式等化歸中往往采用分式作變換替換，這種分式的變量替換包括第一類變量替換和第二類變量替換。以解方程為例，在實數(shù)范圍內(nèi)求方程的解。采用倒數(shù)方法，方程兩邊同除以，得。令，得。當(dāng)，與原方程同解，解得，（舍去）。所以，即。故原方程的根為。</p><p><b>　

73、　無理變換</b></p><p>　　無理變換在解無理方程時經(jīng)常使用。下面是適用于無理變換的無理方程的形式及變換方法。</p><p><b>　?。?），設(shè)。</b></p><p><b>　?。?），設(shè)。</b></p><p><b>　　（3），設(shè)。</b&g

74、t;</p><p><b>　　例21．解方程。</b></p><p>　　解：根據(jù)分式變換，方程兩邊同除以，得。設(shè)，得。</p><p><b>　　解得，即。</b></p><p>　　經(jīng)驗根，均為原方程的根。</p><p>　　形如，通常作代換（不同時為0）&l

75、t;/p><p><b>　　三角變換</b></p><p>　　下列形式，通常采用三角變換求解。</p><p>　　（1），其中是和的代數(shù)函數(shù)。</p><p><b>　　令或令。</b></p><p><b>　?。?），令或。</b></

76、p><p><b>　?。?），令</b></p><p><b>　　或令 。</b></p><p>　　以上變換均為第二類變量替換，因此必須注意變換函數(shù)必須有反函數(shù)，否則，化歸不是等價化歸。</p><p><b>　　例22．求定積分。</b></p><

77、;p><b>　　解：設(shè)，則</b></p><p><b>　　原式=。</b></p><p><b>　　參數(shù)變換</b></p><p>　　下面是兩種主要的參數(shù)變換方法。</p><p>　　參數(shù)方程與普通方程的互化</p><p>　　

78、若曲線的參數(shù)方程為t為參數(shù)，其中</p><p>　　，則可化歸為。這就使曲線的參數(shù)方程變成了普通方程。</p><p>　　在中，令，則，也就是將普通方程化為了參數(shù)方程。若普通方程不是顯函數(shù)式給出，而是隱函數(shù)，則可令，或。于是，或，由此解出或，就得曲線的參數(shù)方程。</p><p><b>　　恒等參數(shù)變換</b></p><

79、;p>　　一般地，一個方程如果與某一個三角恒等式同型，那么選角為參數(shù)作變換，可將變?yōu)樵撊呛愕仁?。因為這個變換時恒等變換，因此我們稱這個變換為恒等參數(shù)變換。例如，方程，其恒等變形后得與三角恒等式同型，因此可令。恒等參數(shù)變換的好處在于：可以降維，而且變換后的方程比變換前的方程少了一個元，這樣就可能使問題簡單化，減少計算步驟和計算量；變換后成了三角式，而三角函數(shù)的公式多，這就為解題提供了多種渠道。</p><p&g

80、t;　　另外，還有一種較為常用的化歸方法——待定系數(shù)法。如果兩個一元多項式恒等，即</p><p>　　，那么，由這個方程組成的方程組，可以確定待定的系數(shù)。待定系數(shù)法在因式分解、求函數(shù)解析式、分式化為部分分式、解方程等化歸中都有著重要應(yīng)用，其方法就是依據(jù)題意列出一般表達(dá)式，歸納整理之后比較對應(yīng)的系數(shù)，組成方程組并求解。</p><p>　　三、化歸方法的實際應(yīng)用</p>&l

81、t;p>　　上面介紹了許多常用的數(shù)學(xué)化歸方法及其具體在數(shù)學(xué)解體中的應(yīng)用。化歸不僅存在于幾乎所有的數(shù)學(xué)問題解決之中，在我們的實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，僅以下例——數(shù)學(xué)化歸在家電設(shè)計中的應(yīng)用加以說明。</p><p>　　例23．設(shè)衣服洗滌充分?jǐn)Q干后殘存水量為千克，其中含污物千克，漂洗用的清水千克，我么把千克水分成次使用，每次用量依次是千克。經(jīng)過次漂洗后，衣服上還有多少污物呢？怎樣合理使用這千克水，才能把衣服

82、洗得最干凈（殘留污物量最少）？</p><p>　　分析：第一次，把帶有千克污物的千克水的衣服放到千克水中，充分搓洗，使千克污物溶解或均勻懸浮于千克水中，把污水倒掉，衣服擰“干”后，由于千克污物均勻分布于千克水中，所以衣服上的殘留污物量與殘留的水量成正比。</p><p>　?。ㄒ路系臍埩粑畚锪浚?（原來殘留污物量） =（擰“干”后殘存水量）/（）<

83、/p><p><b>　　即：。</b></p><p>　　完全類似的分析可知，漂洗兩次之后衣服上的殘余污物量為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　依次繼續(xù)漂洗，當(dāng)?shù)趎次漂洗完后，設(shè)衣服上殘余的污物量為</p><p><b>　　則有：…

84、……①</b></p><p><b>　　公式①表明：</b></p><p>　?。?）原來衣服上殘存污物越多，最后殘存污物也會越多， 衣服就越難洗凈！</p><p>　?。?）越小, 就越小，即每次擰得越“干”，最后殘余物會越少。</p><p>　　公式①是“理想情況下的洗衣效果”公式。

85、因為我們假定了每次洗滌中，污物都能充分均勻的溶于水中，實際上這是不容易做到的。公式①就是洗滌衣服的“數(shù)學(xué)模型”，我們只要對公式①進行相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析處理，就會得出有關(guān)的結(jié)論。比如可以回答下面的問題：</p><p>　　是不是把水分得越勻，洗得越干凈？</p><p>　　（2）是不是洗得次數(shù)越多越干凈？</p><p>　　先看（1），其數(shù)學(xué)描述是，對于固定的，如何

86、選取，才能使為最?。窟@里的條件是。</p><p>　　由公式①可知，要最小，則須乘積最大，注意。</p><p>　　當(dāng)固定時，為定值，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)個正數(shù)</p><p>　　之和為定值時，問這個數(shù)的乘積何時最大？</p><p>　　根據(jù)算術(shù)——幾何平均不等式，可知</p><p><b>　　當(dāng)時，&l

87、t;/b></p><p>　　這表明：每次用水量相等時，可使乘積取最大值，從而根據(jù)①，殘余污物取最小值。</p><p>　?。?）的數(shù)學(xué)描述是，當(dāng)增大時，的最小值增大還是減小，或是按什么規(guī)律變化？</p><p>　　若把洗n次后殘余最少的污物量記為，則：</p><p><b>　　，同理。</b></

88、p><p>　　根據(jù)算術(shù)——幾何平均不等式，可知：</p><p>　　，所以這說明：把水分成次用要比分成次洗會更好。</p><p>　　那么，當(dāng)水量一定時，是不是只要洗的次數(shù)足夠多，就可以使 任意小呢？用數(shù)學(xué)語言描述：為定值，當(dāng)時,嗎？</p><p>　　由于時，，只要令,則。</p><p><b>　　

89、當(dāng)時,有，則</b></p><p><b>　　……②</b></p><p>　　這說明：不是無窮小量，即當(dāng)總水量一定時，無論分多少次漂洗都做不到一點污物都不殘留，但從②可以看到：若總水量充分大，而且洗衣服的次數(shù)充分多，可以使任意小，但是這與節(jié)約用水相矛盾，實際上也不必要。事實上，總水量與殘余水量的比設(shè)為：，即時殘余物的最小值</p>&

90、lt;p><b>　　一般的也就夠用了。</b></p><p>　　很顯然，在解決這道“洗衣服的數(shù)學(xué)”問題時，我們是將</p><p>　　洗衣問題A 數(shù)學(xué)問題B</p><p>　　解答A 解答B(yǎng)</p><p>　　這是對數(shù)學(xué)化歸思想的充分利用，在知曉怎樣將

91、衣物洗得干凈又不違背節(jié)約的情形下我們就能夠更好的生活。而且對于家電設(shè)計部門來說，在設(shè)計洗衣機時，便有規(guī)可依，有矩可尋，能將洗衣機設(shè)計得更加合理實用。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　在當(dāng)代社會，化歸思想不僅存在于幾乎所有的數(shù)學(xué)問題解決之中，而且廣泛地應(yīng)用于社會生活的各個領(lǐng)域，人口增長模型、新產(chǎn)品銷售模型、選票模型等等數(shù)學(xué)化歸模型都為我們

92、研究人類的生活提供了途徑。掌握數(shù)學(xué)化歸的方法和技巧不僅有利于數(shù)學(xué)學(xué)科的研究和學(xué)習(xí)，而且對于我們的日常生產(chǎn)和生活以及思考問題的方式方法都大有益處，它可以化繁為簡，以簡馭繁，化未知為已知，以已知的知識為基礎(chǔ)，探索解決未知的領(lǐng)域，可見數(shù)學(xué)化歸思想的重要性。如果我們恰如其分的應(yīng)用了它，我們的生活就會更加美好。因此我們要注重積累學(xué)習(xí)和生活中的素材，從中提煉數(shù)學(xué)化歸的方法和技巧，并不斷地在實踐中加以應(yīng)用，使數(shù)學(xué)化歸真正成為我們解決問題的強有力的武器

93、！</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]喻平：《數(shù)學(xué)問題化歸理論與方法》，廣西師范大學(xué)出版社，1998。</p><p>　　[2]張順燕：《數(shù)學(xué)的思想方法和應(yīng)用》，北京大學(xué)出版社，2003。</p><p>　　[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：《數(shù)學(xué)分析》上冊，高等教育出版社，2001。&