論級數(shù)求和的解題策略[畢業(yè)論文+開題報告+文獻綜述]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　論級數(shù)求和的解題策略</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要: 在科研領域中，我們經常需要研究如何求級數(shù)的和。因為級數(shù)求和

3、的方法通常比較靈活且技巧性強，所以本文在閱讀大量文獻的基礎上,主要對級數(shù)求和的若干種方法經行了綜述，如冪級數(shù)法、傅里葉級數(shù)法、微分方程法等。</p><p>　　關鍵詞： 級數(shù)；級數(shù)收斂；級數(shù)求和</p><p>　　On The Sum of Series Problem Solving Strategy </p><p>　　Abstract: In the

4、 field of scientific research , we often need to study how to find the summation of series .Because the method of series summation techniques are usually more flexible and strong, thus on the basis of reading extensive l

5、iterature, this article reviews several methods which were mainly to the series summation, such as power series method, Fourier series method, differential equation method and so on.</p><p>　　Key words: Ser

6、ies； Series Convergence； Summation of Series</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 級數(shù)求和的解題策略1</p><p>　　2.1根據收斂定義求數(shù)項級數(shù)的和1&

7、lt;/p><p>　　2.2利用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和7</p><p>　　2.3利用傅里葉級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和10</p><p>　　2.4利用遞推公式求數(shù)項級數(shù)的和13</p><p>　　2.5利用微分方程求數(shù)項級數(shù)的和16</p><p>　　2.6通過求導求數(shù)項級數(shù)的和17</p>&l

8、t;p>　　2.7利用差分求數(shù)項級數(shù)的和19</p><p>　　2.8利用概率組合求數(shù)項級數(shù)的和22</p><p>　　3 致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　4 參考文獻26</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p&

9、gt;　　級數(shù)理論是數(shù)學研究的重要對象，它不但在日常的生產、生活中都有廣泛的應用，而且還是研究函數(shù)性質進行數(shù)值計算的有力工具。其中級數(shù)求和是級數(shù)理論的基本問題之一，也是較難解決的問題，因為除等比級數(shù)、等差級數(shù)等一些常見的特殊級數(shù)外，一般級數(shù)都難以求出它的部分和，所以級數(shù)求和的方法比較靈活，技巧性也比較強，因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也就顯得尤為重要。</p><p>　　無窮級數(shù)出現(xiàn)的很早，往往都是出現(xiàn)

10、在對個別問題的研究中。到了中世紀，無窮級數(shù)引起了當時哲學家與數(shù)學家的興趣。17世紀微積分誕生之后，無窮級數(shù)作為一種工具在數(shù)學的前進中起到了巨大的推動作用。為了把早期的微積分方法應用于超越函數(shù)，常常需要把這些函數(shù)表示為可以逐項微分或積分的無窮級數(shù)，泰勒定理為此做出了貢獻。將函數(shù)展成無窮級數(shù)之后，人們又在考慮這個問題的逆問題，即級數(shù)的求和問題[1]。</p><p>　　現(xiàn)今數(shù)學理論的學習與研究中，無窮級數(shù)也是一個有

11、效工具，無窮級數(shù)求和更是一塊重要內容，它促使數(shù)學家在數(shù)學發(fā)展上進行大膽的嘗試，雖然產生許多悖論，但使數(shù)學產生了很多分支，豐富了數(shù)學理論的發(fā)展。經過歷史的研究與發(fā)展，結合歷史上大量數(shù)學家的研究理論與所得結論。當今學者還對級數(shù)問題與級數(shù)求和問題都做出了深入的考察與進一步的探究，創(chuàng)造性地提出了許多級數(shù)求和的策略與方法。此外，發(fā)散級數(shù)在天文、物理上的廣泛應用，更是推動了人類發(fā)展的進步。</p><p>　　2 級數(shù)求和的

12、解題策略</p><p>　　2.1根據收斂定義求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　定義1[2]：給定一個數(shù)列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（也常簡稱級數(shù)），其中稱為數(shù)項級數(shù)⑴的通項。</p><p>

13、　　數(shù)項級數(shù)⑴也常寫作：或簡單寫作.</p><p>　　數(shù)項級數(shù)⑴的前項和，記為</p><p><b>　　⑵</b></p><p>　　稱它為數(shù)項級數(shù)⑴的第個部分和，也簡稱部分和。</p><p>　　定義2[2]：若數(shù)項級數(shù)⑴的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項級數(shù)⑴收斂，稱為數(shù)項級數(shù)⑴的和，記作</p&g

14、t;<p><b>　　或</b></p><p>　　若是發(fā)散數(shù)列，則稱數(shù)項級數(shù)⑴發(fā)散。</p><p><b>　　待定系數(shù)法</b></p><p>　　定義[3]：將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據恒等式的性質得出系數(shù)應滿足的方程或方程組，再通過解方程或方程

15、組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫待定系數(shù)法。</p><p>　　其一般用法是，設某一多項式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)，利用兩個多項式恒等時同類項系數(shù)相等的原理或其它已知條件確定這些系數(shù)，從而得到待求的值。從更廣泛的意義上講，待定系數(shù)法是將某個解析式的一些常數(shù)看作未知數(shù)，利用已知條件確定這些未知數(shù)，使問題得到解決的方法。求函數(shù)的表達式，把一個有理分式分解成幾個簡單分式的和，求

16、方程的級數(shù)形式的解等都可以用這種方法。</p><p>　　因此，對于某些形如的級數(shù)，其中為一關于的既約有理真分式，即可運用待定系數(shù)法化為部分分式，然后將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母，而其分子亦與原分子恒等，于是，按同冪項系數(shù)必定相等，得到一組關于待定系數(shù)的線性方程，這組方程的解即為所需確定的系數(shù)，從而得到我們所需的部分分式。</p><p>　　然后作適當組合，如果恰能

17、使其組合成為若干個形如的收斂級數(shù)和，即使得級數(shù)部分和中有正、負項交差相消，那么便能很容易求得的最簡表達式，求極限后即得數(shù)項級數(shù)的和[4]。</p><p><b>　　例1求級數(shù)的和</b></p><p><b>　　解：令</b></p><p><b>　　解得，</b></p>

18、<p><b>　　即</b></p><p><b>　　錯位相減法</b></p><p>　　錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，常用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式，形如（其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列）。我們可列出數(shù)列的和，再把所有式子同時乘以等比數(shù)列的公比，即，然后錯一位，兩式相減即可[5]。</p><p

19、>　　對于某些形如的級數(shù)（其中為等差級數(shù)，為等比級數(shù)），為求級數(shù)的前項和，即可運用錯位相減法先求的和（為適當系數(shù)），化簡后即可得到所要求的.</p><p><b>　　即令，則，因此，</b></p><p>　　則，（為常數(shù)且），再對求極限即可得到數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　　例2求級數(shù)的和 （）</p>&l

20、t;p>　　解：因為 （1）</p><p>　　則 （2）</p><p><b>　?、?⑵得</b></p><p><b>　　所以 ，</b></p><p><

21、b>　　得 </b></p><p>　　所以得所求級數(shù)的和</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　公式法</b></p><p>　?、爬檬煜さ牡炔?、等比數(shù)列求和</p><p><b>　　我們已

22、經知道：</b></p><p>　?、僖詾槭醉? 為公差的等差數(shù)列的前項和的公式，且如果代入等差數(shù)列的通項公式，也可用首項與公差表示，即.</p><p>　?、谝詾槭醉? 為公比的等比數(shù)列的前項和的公式（），</p><p>　　又因為，所以上面的公式可以寫成（），但當時，.</p><p>　　對于某些通過變形后可以化為熟悉

23、的等差、等比數(shù)列的級數(shù)，我們就可以運用等差、等比數(shù)列的求和公式直接求級數(shù)的和。</p><p><b>　　例3求的和</b></p><p><b>　　解：依級數(shù)的性質有</b></p><p><b>　　原級數(shù)</b></p><p><b>　?、评萌?/p>

24、角公式求和</b></p><p>　　我們已經熟練掌握兩角和與差的三角公式，如；；.</p><p>　　因此，為求某些數(shù)項級數(shù)的前項和，我們可以靈活運用三角函數(shù)知識，將數(shù)項級數(shù)的通項做適當變形，若恰好能化為我們熟悉的三角函數(shù)，那么運用我們熟悉的三角公式便可以較容易得到我們所要求的前項和，再對求極限即可得到數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　　例4求

25、的和 </p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　由知 ，</b></p><p><b>　　若令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　其中<

26、;/b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　⑶利用歐拉公式求和</b></p><p>　　在復數(shù)域上我們把稱為歐拉公式，其中是自然對數(shù)的底，是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系。</p><p>　　因此，在實數(shù)域上我們

27、通常運用一般三角公式進行轉化后求數(shù)項級數(shù)的和，如上例；而在復數(shù)域上我們往往還可運用歐拉公式進行轉化來求數(shù)項級數(shù)的和[6]。</p><p>　　為了求某些形如，，的級數(shù)，我們可以利用歐拉公式，</p><p><b>　　令，則，</b></p><p><b>　　因此</b></p><p>&

28、lt;b>　　所以，.</b></p><p>　　例5求級數(shù)，（已知）</p><p><b>　　解：令，，則</b></p><p>　　所以代入歐拉公式得：</p><p>　　2.2利用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　定義[2]：由冪級數(shù)列所產生的函數(shù)項級

29、數(shù)</p><p><b>　　稱為冪級數(shù)。</b></p><p>　　（我們主要討論當，即的情形）</p><p>　　為求某些數(shù)項級數(shù)的前項和級數(shù)的和，我們可以找一個適當?shù)膬缂墧?shù)，使收斂域內某一點對應的數(shù)項級數(shù)恰好為所要求的數(shù)項級數(shù)，則可以借助冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和，即求出冪級數(shù)的和函數(shù)，則便為所要求的數(shù)項級數(shù)的和[7]。</

30、p><p>　　但由于通常情況下不能直接找到適當冪級數(shù)，因此首先應該根據數(shù)項級數(shù)的特點，再結合收斂級數(shù)的某些性質，如某些已知冪函數(shù)的和函數(shù)，即利用一些常見的初等函數(shù)，如：，，，，的冪級數(shù)展開式等構造冪級數(shù)，再利用收斂級數(shù)逐項加減的性質或者逐項微分、逐項積分求得，最后求得</p><p>　　一、利用冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　為求某些級數(shù)的和我們可

31、找一個適當?shù)膬缂墧?shù)，并借助此冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和，但通常情況下不能直接找到適當冪級數(shù)。因此首先應觀察所給級數(shù)，將其構造成我們熟悉的冪級數(shù)，并利用此冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　　利用的展開式求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　我們知道初等函數(shù)的展開式為，必要時我們可將其變形，再利用冪級數(shù)的性質即可求得有關數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　

32、　例6求級數(shù)的和求級</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　考慮： </b></p><p><b>　　同理: </b></p><p>　　利用，的展開式求級數(shù)的和</p><p>　　我們知道三角函數(shù)

33、，的展開式分別為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　必要時我們可以將其變形，再代入特殊點即可求得有關數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　　例7求級數(shù)的和 </p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　， <

34、/b></p><p><b>　　， </b></p><p>　　二、構造冪級數(shù)求級數(shù)的和</p><p>　　求一個冪級數(shù)的和函數(shù)不是一件簡單的事，技巧性較強，因此在求冪級數(shù)的和函數(shù)時，有時我們也可以利用逐項微分或逐項積分的方法來得到。</p><p>　　例8求冪級數(shù) 的和</p><

35、;p>　　解：令 逐項微分得：</p><p><b>　　又因為</b></p><p><b>　　所以得 </b></p><p><b>　　積分得</b></p><p><b>　　于是得</b></p><p>

36、　　2.3利用傅里葉級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　利用函數(shù)的傅里葉展開求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　某些數(shù)項級數(shù)很難直接找規(guī)律求出其和，但通過尋找某函數(shù)，利用傅里葉級數(shù)收斂定理將其展開成傅里葉級數(shù)，便可很容易求得此數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　　傅里葉級數(shù)收斂定理[2]：若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點，的傅里葉級數(shù)收斂于在點的左、右極限

37、的算數(shù)平均值，即,其中，為的傅里葉系數(shù)。</p><p>　　例9將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，并由此求以下數(shù)項級數(shù)的和</p><p><b>　?。?） （2）</b></p><p><b>　　（3）（4）</b></p><p>　　解：顯然是按段光滑的，在[]上滿足收斂定理條件，<

38、/p><p>　　所以它可以展開成傅里葉級數(shù)</p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取，則</b></p><p><b>　　令 ；</b></p>

39、<p><b>　??； </b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　利用函數(shù)奇（偶）延拓后正弦（余弦）的展開求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　某些數(shù)項級數(shù)可以通過尋找某函數(shù)，并將此函數(shù)經奇

40、（偶）延拓后展開成正弦（余弦）級數(shù)，再將某些指定點代入展開式中便可很容易求得所要求的數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　　注[2]：①設是以為周期的偶函數(shù)，或是定義在上的偶函數(shù)，則在上， 是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，因此的傅里葉系數(shù)是：</p><p>　　于是的傅里葉級數(shù)只含有余弦函數(shù)的項，即</p><p>　　此式右邊的級數(shù)稱為余弦級數(shù)；</p><

41、p>　　同理： 若是以為周期的奇函數(shù)，或是定義在上的奇函數(shù)，則可推得</p><p>　　所以當為奇函數(shù)時，它的的傅里葉級數(shù)只含有正弦函數(shù)的項，即</p><p>　　此式右邊的級數(shù)即稱為正弦級數(shù)。</p><p>　　② 若，則偶函數(shù)所展開成的余弦級數(shù)為</p><p><b>　　，其中</b></p&g

42、t;<p>　　當且為奇函數(shù)時，則它展開成的正弦級數(shù)為</p><p><b>　　，其中</b></p><p>　　在實際問題中常需先把定義在上的函數(shù)作偶延拓或奇延拓到上，然后求延拓后函數(shù)的傅里葉級數(shù)。</p><p>　　例10將函數(shù)在區(qū)間內展開為正弦級數(shù)，并由展開式求下列數(shù)項級數(shù)的和</p><p&g

43、t;　　解：因為展開成正弦級數(shù)，則有 </p><p><b>　　取，則</b></p><p>　　2.4利用遞推公式求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　一、利用已知恒等式，如函數(shù)函數(shù)，華利斯公式等求級數(shù)的和[8]</p><p>　　對于大量的一般級數(shù)來說，在確定它收斂后，要求出它的和還是很困難，我們往往很

44、希望所給的級數(shù)恰好能構成我們已知的一些數(shù)項級數(shù)，如等差、等比數(shù)列等，則利用等差、等比數(shù)列的求和公式便可很容易求得所給級數(shù)的和，當然，除此之外已知的一些公式如函數(shù)、函數(shù)、華利斯公式等，也都可以作為求某些數(shù)項級數(shù)和時的已知恒等式，現(xiàn)舉例如下：</p><p>　　定義[2]：含參量積分：；</p><p>　　在應用中經常出現(xiàn)，它們統(tǒng)稱為歐拉積分，其中前者又稱為Gamma函數(shù)（或寫作函數(shù)），后

45、者稱為Beta函數(shù)（或寫作函數(shù)）。</p><p>　　且對于任何正實數(shù)有，.</p><p><b>　　例11求</b></p><p><b>　　解：利用恒等式</b></p><p><b>　　并注意到：對，有</b></p><p>　　

46、用這個方法可以得到以下一些級數(shù)和：</p><p><b>　　例12求</b></p><p>　　解：由奇數(shù)冪的華利斯公式得：</p><p><b>　　因而=</b></p><p><b>　　同時</b></p><p>　　二、通過推導證

47、明得到的一些固定的有趣的求和公式求級數(shù)的和[9]</p><p>　　除了已知的一些常見公式如函數(shù)函數(shù)，華利斯公式等可以作為求某些級數(shù)和時的已知恒等式，通過推導證明還能得到的一些固定的有趣的求和公式，便于我們直接用來求級數(shù)的和。</p><p><b>　　典型例子如下：</b></p><p>　　公式1：若為自然數(shù)，則</p>

48、<p><b>　　證明：</b></p><p>　　特例：當公式1中時得：</p><p>　　推廣得公式2： 若為自然數(shù)同理可得，則</p><p><b>　　例13計算</b></p><p>　　解：令，,應用公式2得：</p><p><b&

49、gt;　　原式</b></p><p>　　公式3： </p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　例14證明 </b></p><p>　　證明：令應用公式3得：</p><p>　　公式4：

50、若為自然數(shù)，則</p><p><b>　　證明 ：</b></p><p>　　同理可證得公式5：若為自然數(shù)，則</p><p>　　例15 計算 </p><p>　　解：應用公式5，令，，, </p><p><b>　　原式.</b></p>

51、<p>　　2.5利用微分方程求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　級數(shù)求和的方法很多，利用微分方程求數(shù)項級數(shù)的和也不失為一種好方法，即為求某些數(shù)項級數(shù)的和可通過一個引進的輔助的函數(shù)項級數(shù)來構造級數(shù)所滿足的微分方程，然后解這個微分方程就可得到所要求的數(shù)項級數(shù)的和[10]。</p><p>　　下面就某一熟悉的級數(shù)為例，來說明利用微分方程求和的思想方法。</p><

52、;p><b>　　例16求級數(shù)的和</b></p><p>　　解：易知該冪級數(shù)的收斂半徑,故在內極數(shù)處處收斂，且可逐項求導，</p><p>　　令，對逐項求導得：</p><p>　　又當時，解一階段微分方程得： </p><p><b>　　即</b></p><

53、p>　　2.6通過求導求數(shù)項級數(shù)的和[11]</p><p>　　定義1[12]：算子是表示一種對函數(shù)的運算符號。如同普通的運算符號作用于數(shù)后可以得到新的數(shù)那樣，一個算子作用于一個函數(shù)后可以根據一定的規(guī)則生成一個新的函數(shù)。</p><p>　　定義2[12] ：設，是兩個線性空間，是的一個線性子空間，是一種映射，稱為的定義域，有時記做，為的值域，若（），那么稱是一個線性算子。<

54、/p><p>　　定義3：設為的任意次可導函數(shù)，為的多項式算子，</p><p>　　則規(guī)定如下：⑴ ，</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　?、?為常數(shù)，</b></p><p>　　性質1：和都是線性算子，即⑴；</p>

55、<p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　其中為常數(shù)。</b></p><p>　　性質2：設則 </p><p>　?。á。?⑴</p><p>　?。áⅲ?⑵</p>&l

56、t;p>　　定理：設，（為任意自然數(shù)），其收斂半徑，</p><p>　　則對任意多項式和有： ⑶</p><p>　　推論1： 設的收斂半徑,為任意多項式，</p><p>　　則級數(shù)收斂，且 ⑷ </p><p>　　推論2：設的收斂半徑，為任意多項式，</p><p>　　則級數(shù)收斂，

57、且 ⑸</p><p>　　下面舉例說明上述結論的應用</p><p>　　例17求下列級數(shù)之和</p><p><b>　　① ②</b></p><p><b>　　解：因 ，</b></p><p><b>　　故可取，取，</b&

58、gt;</p><p>　　則利用推論1，即⑷式即得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　同理：利用推論2，即⑸式得：</p><p>　　綜上所訴，利用多項式導算子計算級數(shù)和的方法，一般適用于下列級數(shù)：</p><p>　　冪級數(shù)滿足它的通項系數(shù)能分解為：其中是某函數(shù)在

59、原點展開的Taylor級數(shù)的通項系數(shù)，為多項式，此時可取，且有 ⑹</p><p>　　當然，如果數(shù)值級數(shù)它的通項能分解為：，c為常數(shù)，為任意多項式，為某函數(shù)在原點展開的Taylor級數(shù)的通項系數(shù)，且其收斂半徑,則也能利用多項式導算子計算此級數(shù)的和，且此時可取,且</p><p>　　有 ⑺</p><p>　

60、　2.7利用差分求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　求數(shù)項級數(shù)的和的方法較為靈活，某些級數(shù)很難找到一般思路來求它的和，下面通過介紹差分的定義及性質，引入求一般項級數(shù)與某些系數(shù)為多項式的冪級數(shù)的和的新方法。</p><p>　　定義[13]：設數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分。</p><p>　　性質[13]：：設已知數(shù)列和，則</p><p>　　

61、⑴線性性質：若、為常數(shù)，則有</p><p><b>　?、瞥朔e性質：</b></p><p><b>　?、欠植啃再|：</b></p><p>　　一、利用差分的性質求一般數(shù)項級數(shù)的和</p><p><b>　　例18求的和</b></p><p>

62、;<b>　　解：設因</b></p><p><b>　　則（其中）</b></p><p><b>　　由差分性質⑶</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　將，，，，，等代入表達式即得</p><p&g

63、t;<b>　　即</b></p><p>　　二、利用差分的性質求系數(shù)為多項式的級數(shù)的和</p><p>　　對于大部分級數(shù)來說，其求和問題方法多、技巧強，但對于任何一個冪級數(shù)來說，只要它的系數(shù)可表達為項數(shù)的代數(shù)多項式，略為改寫后我們就可以毫無困難地求出它的和。</p><p>　　下面就某一收斂半徑為正的冪級數(shù)進行考察。</p>

64、<p>　　若是具有正的收斂半徑的冪級數(shù)，那么就有</p><p>　　在這里于是可得[14]：</p><p><b>　　（其中，）</b></p><p>　　如果，而且，為的定義域，我們可得：，</p><p><b>　　于是就有</b></p><p&g

65、t;<b>　　亦即：</b></p><p><b>　　（1）</b></p><p><b>　　類推之，令</b></p><p><b>　　，（）</b></p><p>　　對級數(shù) 應用公式（1）我們可得</p><p&g

66、t;<b>　　于是就有：</b></p><p>　　把這過程連續(xù)重復次我們就可得到：</p><p><b>　　也就是：</b></p><p><b>　?。?） ，</b></p><p>　　在這里我們定義 ，現(xiàn)在假設為一個次數(shù)不大于的多項式，</p>

67、;<p>　　則 </p><p>　　注意到級數(shù) 的收斂半徑為1，根據（2）式可得：</p><p><b>　?。?）|x|<1</b></p><p>　　例19,|x|<1</p><p><b>　　解： 這里 </b></p>

68、;<p><b>　　應用公式（3）得：</b></p><p>　　2.8利用概率組合求數(shù)項級數(shù)的和</p><p>　　為求某些級數(shù)的和，我們還可以很巧妙地運用概率知識，構造適當?shù)母怕誓Ｐ停龠\用概率論的有關性質、公式、結論和數(shù)學特征，計算出所構造模型中相關事件的概率，進而推導出某些組合恒等式來求得級數(shù)的和；還可以對組合數(shù)公式進行深入探討，得到新的性

69、質并通過對其恒等式的變形來求得級數(shù)的和。</p><p>　　一、概率在數(shù)項級數(shù)求和中的應用[15]</p><p>　　某些無窮級數(shù)的求和問題，有時不論是用初等方法還是用分析方法等都有相當?shù)睦щy。但是，如果我們轉換角度，另僻解題門徑，利用概率計算的基本方法，構造相應的概率模型，往往可期望獲得“柳暗花明”的功效。</p><p>　　例20證明無窮級數(shù)</p

70、><p><b>　　的和為</b></p><p>　　證明：建立下面的概率模型：</p><p>　　設袋中有紅、白各一個球（大小型號相同），現(xiàn)有放回地抽取兩次，每次抽一個球。如果兩次取出的都是紅球，就“中獎”；倘若失敗，則必須在袋中再添加一個同型號的白球后，再試驗取兩次，如果取到兩次紅球，算“中獎”；但如果仍失敗，則繼續(xù)于袋中添加一個同型號白

71、球，如此連續(xù)進行，以至無窮，試計算“中獎”的概率。</p><p>　　設：“第回中獎”（ ），：“中獎”</p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><

72、b>　　……</b></p><p>　　可見，求原級數(shù)的和問題轉化為計算在所設模型下“中獎“的概率。</p><p>　　利用逆概率知識，可知在各回不同摸球中失敗概率依次為：</p><p>　　此無窮級數(shù)前項部分和極限，即</p><p>　　二、利用組合數(shù)公式求級數(shù)的和[16]</p><p>

73、　　對于某一類形式較特殊的數(shù)項級數(shù)，我們還可以通過對組合數(shù)公式進行深入探討，來得到新性質并通過對其恒等式變形，來求得此類數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　　定義：組合數(shù)也叫二項式系數(shù)，對于任何的整數(shù)和（），有</p><p>　　性質1： n,，k為正整數(shù)</p><p>　　性質2： n,，k為正整數(shù)</p

74、><p>　　由性質1、2可得等式：， </p><p><b>　　證明：.</b></p><p>　　推廣得，某些形如的級數(shù)之和的求法如下：</p><p>　　首先求級數(shù)的前項部分和</p><p><b>　　所以 </b></p><p>

75、;　　可看出這種數(shù)列的通項，其部分和 </p><p>　　所以是由通項的組合表達式符號“”的上下加1而得到的，再對部分和求極限即可求得此類級數(shù)的和。</p><p>　　例21求級數(shù)的前項和</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　由，則</b></p>

76、;<p><b>　　4 參考文獻</b></p><p>　　[1] [美]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學思想（第二冊）[M].上海:上?？茖W技術出版社,2002:199-202.</p><p>　　[2] 華東師范大學數(shù)學系編. 數(shù)學分析（第三版）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[3]

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79、列的求和公式[J].大慶高等?？茖W校學報,1998年12月,18（4）11-15.</p><p>　　[10] 潘天娟.利用解微分方程求無窮級數(shù)的和[J].金華職業(yè)技術學報,2006年2月,6（1）:89-90.</p><p>　　[11] 劉珍儒.一個求無窮級數(shù)和的方法[J],陜西渭南師專.</p><p>　　[12] 張恭慶，林源渠編.泛函分析講義（上冊）

80、[M]. 北京: 北京大學出版社, 1987,77.</p><p>　　[13] 金丹麗.級數(shù)求和的方法[J].高等數(shù)學研究,2001年5月,4（1）:16-19.</p><p>　　[14] 毛慧娟.系數(shù)為多項式的冪級數(shù)求和法[J].寧波高等?？茖W校,1987年,（4）:39-43.</p><p>　　[15] 翁紹銘.概率在組合恒等式證明與無窮級數(shù)求和中的

81、應用[J].天津紡織工學院學報,1996年,15(3):97-101.</p><p>　　[16] 陳碧琴.利用組合公式的性質求某些數(shù)列之和[J].重慶師范學院學報,1994年2月,2（5）:2-5.</p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　論級數(shù)求和的解題策略</p><p><b&g

82、t;　　一、前言部分</b></p><p>　　級數(shù)理論是數(shù)學研究的重要對象，它不但在日常的生產、生活中都有廣泛的應用，而且還是研究函數(shù)性質進行數(shù)值計算的有力工具。其中級數(shù)求和是級數(shù)理論的基本問題之一，也是較難解決的問題，因為除等比級數(shù)、等差級數(shù)等一些常見的特殊級數(shù)外，一般級數(shù)都難以求出它的部分和，所以級數(shù)求和的方法比較靈活，技巧性也比較強，因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也就顯得尤為重要。&

83、lt;/p><p>　　因此許多學者通過理解、構造、舉例等，從多方面、各角度對級數(shù)求和的解題策略和方法作出了大膽的研究和探索，為具體問題求解創(chuàng)造了更有效的應用價值，也為級數(shù)求和問題的進一步發(fā)展作出了新的貢獻。</p><p>　　經過大量參考文獻的閱讀，我們發(fā)現(xiàn)許多研究者還在各類論文、期刊、書籍中進一步介紹了如何利用收斂定義、冪級數(shù)、傅里葉級數(shù)、解微分方、一些有趣的公式、概率組合與組合數(shù)公式的

84、性質及借助已知級數(shù)的和并利用收斂級數(shù)的運算等基本性質來求數(shù)項級數(shù)的和。</p><p>　　在對主題進行探討研究前，作為鋪墊，下面首先了解一下其中基礎的概念知識[1]：</p><p>　　定義1：若數(shù)項級數(shù)的部分數(shù)列收斂于（即），</p><p>　　則稱數(shù)項級數(shù)收斂，稱為數(shù)項級數(shù)的和（即）</p><p>　　定義2：有冪級數(shù)列所產生的函

85、數(shù)項級數(shù)</p><p><b>　　稱為冪級數(shù)</b></p><p>　　定義3：若函數(shù)在點的某領域內存在直至階的連續(xù)導數(shù)，則</p><p>　　稱為函數(shù)在點的泰勒公式。</p><p>　　若在處存在任意階導數(shù)，則這時稱形 式為</p><p>　　的級數(shù)為函數(shù)在點的泰勒級數(shù)。<

86、/p><p>　　定義4：如果函數(shù)在點的某領域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)在點的這一領域內可以展開成泰勒級數(shù)，并稱等式</p><p>　　的右邊為在處的泰勒展開式或稱冪級數(shù)展開式。</p><p>　　定義5：若整個數(shù)軸上①</p><p>　　且等式右邊級數(shù)一致收斂，則有如下關系式：</p><p><b&

87、gt;　　，</b></p><p>　　它們稱為函數(shù)（關于三角函數(shù)系）的傅里葉系數(shù)，以的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為（關于三角函數(shù)系）的傅里葉級數(shù)。 </p><p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　無窮級數(shù)是最簡單的無窮表達式，最早的無窮級數(shù)涉及哲學和邏輯的悖論，并沒有推及一般的無窮級數(shù)；其次無窮級數(shù)往

88、往同微積分在一起敘述，而這時期無窮級數(shù)只是近似計算的工具?，F(xiàn)有的文獻對無窮級數(shù)某些方面的發(fā)展做了深入研究，L. Feigenbaum【2】曾詳細研究了泰勒定理的產生過程；Giovanni Ferraro【3】從歐拉對插值問題研究的角度分析了歐拉——麥克勞林求和公式的推導；P.Dugac【4】從總結魏爾斯特拉斯的研究工作中分析了級數(shù)的一致收斂性。</p><p><b>　　1、級數(shù)的早期工作</b

89、></p><p>　　無窮級數(shù)很早就在希臘數(shù)學中出現(xiàn)過，雖然希臘人懼怕無窮，試圖用有限和來代替無窮和，但是這只是潛無窮與實無窮的差別。芝諾的二分法涉及到把1分解成無窮級數(shù)。亞里士多德也認為這種公比小于1的幾何級數(shù)有和。阿基米德在他的《拋物線圖形求積法》一書中，在求拋物線弓形面積的方法中使用了幾何級數(shù)，并且求出了它的和。中國古代的《莊子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”含有極限的思想，用

90、數(shù)學形式表達出來也是無窮級數(shù)[5]。</p><p>　　到了中世紀，無窮級數(shù)這個課題曾使那時的哲學家與數(shù)學家著迷，既引起了他們對“無窮”的興趣，又促使他們就一些明顯的悖論進行激烈的爭論。例如，修塞特解決了這樣一個問題，它可以借助于運用敘述如下[6]:</p><p>　　如果一個點在某段時間的前一刻以不變的初始速度運動，在接下來四分之一的時間中以二倍的初始速度運動，在隨后的八分之一時間中

91、以三倍的初始速度運動……這樣無限的繼續(xù)下去，那么這個點在整個這段時間的平均速度等于初始速度的二倍。把這段時間的長度和初始速度都取為一個單位，則上述問題等價于級數(shù)求和</p><p>　　在這個方面最杰出的代表人物就是奧雷姆,他有許多天才的思想，尤其是無窮的思想。他明確幾何級數(shù)有兩種可能性，當公比大于等于1時，無窮幾何級數(shù)有無窮和；當公比小于等于1時有有限和。在《歐幾里得幾何問題》中，他以嚴格的方式證明當無窮級數(shù)項

92、的值不是按比例減少時，其和也可以是無窮，并且在書中以調和級數(shù)作為例子來探討[7]。</p><p>　　無窮級數(shù)的研究在十五、十六世紀以休塞特和奧雷姆的方式繼續(xù)前進，但由于僅限于文字敘述和幾何方法，所以沒有取得重大進步。這些無窮級數(shù)早期研究的主要貢獻并不在于所得到的具體結果，而在于促使人們接受一種新的觀點，即在數(shù)學中可以自由承認無限過程。</p><p>　　17世紀微積分誕生之后，無窮級

93、數(shù)作為一種工具在數(shù)學的前進中起到了巨大的推動作用。為了把早期的微積分方法應用于超越函數(shù)，常常需要把這些函數(shù)表示為可以逐項微分或積分的無窮級數(shù)，泰勒定理為此做出了貢獻。將函數(shù)展成無窮級數(shù)之后，人們又在考慮這個問題的逆問題，即級數(shù)的求和問題。</p><p>　　歐拉和麥克勞林為此給出了一個求和公式——歐拉—麥克勞林求和公式。18世紀級數(shù)方面的工作大都是形式的，大部分數(shù)學家都把級數(shù)看作多項式的代數(shù)推廣，于是產生許多問

94、題，從而要求數(shù)學家進行嚴密化的研究。19世紀，柯西建立了級數(shù)理論，阿爾貝對此進行了完善，后來由魏爾斯特拉斯提出的一致收斂完成了整個級數(shù)理論的構建。級數(shù)理論的形成影響了發(fā)散級數(shù)在數(shù)學中的地位，但最終由于它的實用性形成了漸近分析。</p><p>　　2、 早期的級數(shù)求和</p><p>　　在17—18世紀，數(shù)學家打破對無窮的禁戒，逐漸應用無窮級數(shù)作為表示數(shù)量的工具，同時研究各種無窮級數(shù)的求

95、和問題，17世紀中葉，圣文森特的格雷戈里在他的《幾何著作》中，證明了阿基里斯追龜?shù)你Ｕ摽梢杂脽o窮幾何級數(shù)的求和來解決。格雷戈里第一次明白了無窮級數(shù)表示一個數(shù)，即級數(shù)的和，并稱這個數(shù)為級數(shù)的極限。他說：“一個數(shù)列的終點就是它，即使延續(xù)到無限項也不能達到的這個級數(shù)的盡頭，但是這個數(shù)列卻能夠比任何給定的區(qū)間更接近它。”</p><p>　　1650年，門格里給出[8] </p><p>　　級數(shù)

96、容易求和，因為恰有 </p><p><b>　　因此， 。</b></p><p>　　設，就可以得到這個無窮級數(shù)的和為1[9]。</p><p>　　第一個真正粗略求和的問題是也是門格里研究的這個級數(shù)，但門格里對這個級數(shù)的研究沒有取得成功。</p><p>　　萊布尼茨考察過調和級數(shù)，曾試圖將和表示成一個有限值，但

97、是后來未能做到這一點。1696年他認識到將表示成有限值這一想法是錯誤的。</p><p>　　雅各布·伯努利在1689—1704年間撰寫了5篇關于無窮級數(shù)的論文，共60個命題，使他成為當時這一領域的權威。在第一篇論文中，就級數(shù)理論本身而言，雅各布·伯努利做出了一個很有啟發(fā)性的工作，即證明調和級數(shù)1+++++…的和是無窮[10]。他首先指出了故有這意味著可將原級數(shù)中的項分組并使每一組的和都大于1

98、，于是我們總可以得到調和級數(shù)的有限多項的和，使它大于任何給定的量，從而整個級數(shù)的和必是無窮。在文章末尾，他還證明了無窮級數(shù)的和是有限數(shù)，他雖然承認自己還不能求出這個和的精確值，但卻知道關于優(yōu)級數(shù)可以求出它的前n項和。雅各布·伯努利去世之后，級數(shù)的和最后由歐拉于1737年成功地得到。 </p><p>　　在級數(shù)求和的問題中，引起了極大的爭議。如果把級數(shù)寫成結果為。如果把級數(shù)寫成結果為。但是，如果把級數(shù)的

99、和表為,則,從而。格朗迪是比薩大學的數(shù)學教授，在他的《圓和雙曲線的求積》一書中[11]，用表達式</p><p>　　令,得到。他主張級數(shù)的和為，還表示由于級數(shù)在的形式下為，他也已證明世界能夠從空無一物創(chuàng)造出來。1713年以后，萊布尼茨在和沃爾夫的相互通信中，也研究過級數(shù)，并同意格朗迪的結果，但他有另一種論證的方法。萊布尼茨認為，如果級數(shù)的第一項，前兩項的和、前三項的和、前四項的和等等，那么就得到。在這里取和的幾

100、率是相等的，因此必須取算術平均數(shù)作為和，因為這個算術平均數(shù)是最有可能取的到的值。雅各布·伯努利、約翰·伯努利、丹尼爾·伯努利以及拉格朗日都能接受這樣的解釋。</p><p>　　3、 現(xiàn)今級數(shù)的求和</p><p>　　經過歷史的研究與發(fā)展，結合歷史上大量數(shù)學家的研究理論與所得結論，當今學者對級數(shù)問題與級數(shù)求和問題都做出了深入的考察與進一步的探究，創(chuàng)造性地提出

101、了許多級數(shù)求和的策略與方法。</p><p>　　于乃福，金丹麗，仲濟斎，康國強、華守亮分別在《數(shù)項級數(shù)求和法》[12]、《級數(shù)求和的方法》[13]、《級數(shù)求和的解題策略》[14]、《數(shù)項級數(shù)的求和問題初探》[15]文獻中研究了利用收斂定義，即若數(shù)項級數(shù)的部分數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項級數(shù)收斂，稱為數(shù)項級數(shù)的和（即）；用收斂冪級數(shù)的和函數(shù)，即找一個適當?shù)膬缂墧?shù)，使收斂域內某一點對應的數(shù)項級數(shù)恰好為所要求的數(shù)項級數(shù)

102、；及其傅里葉級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和的思想方法，并討論了利用學習借助已知級數(shù)的和及利用收斂級數(shù)的運算等基本性質求數(shù)項級數(shù)的和的方法。</p><p>　　徐望文、曾維宏，郭定根，劉小寧，湯光宋、朱渭川，湯光宋分別在《一類級數(shù)的求和公式》[16]、《數(shù)項級數(shù)求和的若干方法》[17]、《求無窮級數(shù)和的一個遞推公式》[18]、《某一類交錯級數(shù)求和的遞推公式》[19]、《幾類有趣分式型數(shù)列的求和公式》[20]文獻中提出并證明了

103、一些解決不同級數(shù)的求和問題的結論與公式，使我們對某類具體的級數(shù)求和問題有了更簡便的求法。</p><p>　　毛慧娟在《系數(shù)為多項式的冪級數(shù)求和法》[21]這一文獻中更是通過舉例深入討論了系數(shù)為多項式的冪級數(shù)這一類特殊級數(shù)的求和方法，并將此方法與計算機編程結合在一起，是其在生活中有了具體的應用。</p><p>　　而潘天娟則主要在《利用解微分方程求無窮級數(shù)的和》[22]這一文獻中提出了利

104、用解微分方程來求無窮級數(shù)的和這一思想方法，使級數(shù)的求和方法更靈活也更寬闊。</p><p>　　劉珍儒更是在《一個求無窮級數(shù)和的方法》[23]這一文獻中給出了一個通過求導計算無窮級數(shù)和的方法，將一般的數(shù)項級數(shù)與函數(shù)項級數(shù)推廣到線性算子層面上來討論，使級數(shù)求和問題變得更深刻也更廣泛。</p><p>　　當然經大量文獻閱讀后還發(fā)現(xiàn)陳碧琴、翁紹銘等學者甚至在創(chuàng)造性地將級數(shù)求和問題與概率組合聯(lián)系

105、在一起[24]，得出了一些新性質，并通過對它的恒等變形在某些數(shù)列的求和方面進行了實際的應用[25]，更使級數(shù)求和問題通過概率論得到了新的證明與具體應用。</p><p>　　無窮級數(shù)及其求和方式的發(fā)展演化正是上述分析背景的寫照，它在18世紀的形成發(fā)展，促成了數(shù)學家在19世紀建立無窮級數(shù)理論?，F(xiàn)今數(shù)學理論的學習與研究中，無窮級數(shù)更是作為眾多學者研究的一個有效工具，無窮級數(shù)求和也作為研究的一塊重要內容，促使數(shù)學家在數(shù)

106、學發(fā)展上進行大膽的嘗試，雖然產生許多悖論，但使數(shù)學產生了很多分支，豐富了數(shù)學理論的發(fā)展。此外，發(fā)散級數(shù)在天文、物理上的廣泛應用，推動了人類發(fā)展的進步。</p><p><b>　　三、總結部分</b></p><p>　　本文對級數(shù)與級數(shù)求和的有關內容進行探討，并對一些基礎的概念進行概括說明。對級數(shù)及其求和早期的發(fā)展進行了有序的梳理，尤其對十七世紀后，格雷戈里、門格里

107、、萊布尼茨、雅各布·伯努利、歐拉、格朗迪等眾多數(shù)學家對級數(shù)理論的大量研究成果經行歸納總結。并歸納總結了現(xiàn)今數(shù)學研究者對級數(shù)求和問題所提出的新內容，如利用收斂冪級數(shù)的和函數(shù)、傅里葉級數(shù)、收斂定義及收斂級數(shù)的運算等基本性質、已知級數(shù)的和及、微分方程、已知恒等式、一些遞推公式、幾類有趣分式型數(shù)列的求和公式、概率組合及組合數(shù)公式的性質等，從多方面、各角度對級數(shù)求和的解題策略和方法作了進一步探討。</p><p>

108、;　　熟悉并熟練掌握以上所述的各類級數(shù)求和的思維轉化策略及問題轉化的技巧，不但有利于我們增強洞察問題的能力，更能大大提高我們解答級數(shù)求和問題的速度與準確率。但由于此些策略與方法之間不是孤立的，往往相互滲透、共同作用才能解決問題，所以這也就要求我們能熟練并靈活地掌握這些策略與方法，深入挖掘其本質，為進一步探究級數(shù)求和問題大好夯實的基礎。相信在此學習基礎上大家一定能在級數(shù)求和問題上會有開寬闊創(chuàng)新的思維，并做出更深一步的研究，甚至利用級數(shù)及其

109、求和理論來解決物理、經濟學等疑難問題，并掌握這種重要的數(shù)學思想，對數(shù)學研究或解決更深層的實際問題作更大的貢獻。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 華東師范大學數(shù)學系編. 數(shù)學分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[2] L.Feigenbaum, Brook Taylor

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111、ummation Formula, Historia Mathematica,vo125,1998,290-317</p><p>　　[4] P. Dugac, Elements d’analyse de Karl Weierstrass, Archive for History of Exact Sciences, vo110, 1973, 41-176</p><p>　　[5]

112、[美] 莫里斯·克萊因，古今數(shù)學思想（第二冊），上?？茖W技術出版社，2003,160-189</p><p>　　[6] C.H.愛德華，微積分發(fā)展史，北京出版社，1987,122-126,221-227</p><p>　　[7]袁小明，數(shù)學思想史導論，廣西教育出版社，1991,197-202</p><p>　　[8] John Stillwell,

113、 Mathematics and Its History, Spring-Verlag, New York Inc.1989,118-134</p><p>　　[9] [俄] A.D.亞歷山大洛夫，數(shù)學：它的內容、方法和意義，科學出版社，2001,181-195</p><p>　　[10]吳俊文，世界著名數(shù)學家傳記，科學出版社，1995,537-541,585-587,613-615

114、，671-674</p><p>　　[11]E.J.Barbeau and P.J.Lean, Euler’s 1760 Paper on Divergent Series, Historia Mathematica, vo13, 1976, 141-160</p><p>　　[12]于乃福，《數(shù)項級數(shù)求和法》[J],，山東紡織工學院學報，1989年3月，第四卷（第1期）：75-80&

115、lt;/p><p>　　[13]金丹麗，《級數(shù)求和的方法》[J]，高等數(shù)學研究，2001年5月，第四卷（第1期）：16-19</p><p>　　[14]仲濟斎，《級數(shù)求和的解題策略》[J]，高等數(shù)學研究，2006年5月，第九卷（第3期）：36-38</p><p>　　[15]康國強、華守亮，《數(shù)項級數(shù)的求和問題初探》[J]，殷都學刊（自然科學版），1998年12月，

116、第六卷：3-5</p><p>　　[16]徐望文、曾維宏，《一類級數(shù)的求和公式》[J]，邵陽師專學報，1997年4月，第3期：46-49</p><p>　　[17]郭定根，《數(shù)項級數(shù)求和的若干方法》[J]，湘潭師范學院學報，1991年6月，第十二卷（第3期）：76-81</p><p>　　[18]劉小寧，《求無窮級數(shù)和的一個遞推公式》[J]，南充師院學報，19

117、85年，（第2期）：63-66</p><p>　　[19]湯光宋、朱渭川，《某一類交錯級數(shù)求和的遞推公式》[J]，成都大學學報自然科學版，1990年2月，47-50</p><p>　　[20]湯光宋，《幾類有趣分式型數(shù)列的求和公式》[J]，大慶高等?？茖W校學報，1998年12月，第十八卷（第4期）：11-15</p><p>　　[21]毛慧娟，《系數(shù)為多項式的

118、冪級數(shù)求和法》[J]，寧波高等?？茖W校，1987年，（第4期）：39-43</p><p>　　[22]潘天娟，《利用解微分方程求無窮級數(shù)的和》[J]，金華職業(yè)技術學報，2006年2月，第六卷（第1期）：89-90</p><p>　　[23]劉珍儒，《一個求無窮級數(shù)和的方法》[J]，陜西渭南師專</p><p>　　[24]陳碧琴，《利用組合公式的性質求某些數(shù)列之

119、和》[J]，重慶師范學院學報，1994年2月，第二卷（第5期）：2-5</p><p>　　[25]翁紹銘，《概率在組合恒等式證明與無窮級數(shù)求和中的應用》[J]，天津紡織工學院學報，1996年，第十五卷（第3期）：97-101</p><p><b>　　開題報告</b></p><p>　　論級數(shù)求和的解題策略　　　　　　　　　　　　<

120、/p><p>　　一、選題的背景、意義</p><p>　　級數(shù)理論是數(shù)學研究的重要對象，它不但在日常的生產、生活中都有廣泛的應用，而且還是研究函數(shù)性質進行數(shù)值計算的有力工具。其中級數(shù)求和是級數(shù)理論的基本問題之一，也是較難解決的問題，因為除等比級數(shù)、等差級數(shù)等一些常見的特殊級數(shù)外，一般級數(shù)都難以求出它的部分和，所以級數(shù)求和的方法比較靈活，技巧性也比較強，因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也

121、就顯得尤為重要。</p><p>　　無窮級數(shù)出現(xiàn)的很早，往往都是出現(xiàn)在對個別問題的研究中。到了中世紀，無窮級數(shù)引起了當時哲學家與數(shù)學家的興趣。17世紀微積分誕生之后，無窮級數(shù)作為一種工具在數(shù)學的前進中起到了巨大的推動作用。為了把早期的微積分方法應用于超越函數(shù)，常常需要把這些函數(shù)表示為可以逐項微分或積分的無窮級數(shù)，泰勒定理為此做出了貢獻。將函數(shù)展成無窮級數(shù)之后，人們又在考慮這個問題的逆問題，即級數(shù)的求和問題[1]

122、。</p><p>　　現(xiàn)今數(shù)學理論的學習與研究中，無窮級數(shù)也是一個有效工具，無窮級數(shù)求和更是一塊重要內容，它促使數(shù)學家在數(shù)學發(fā)展上進行大膽的嘗試，雖然產生許多悖論，但使數(shù)學產生了很多分支，豐富了數(shù)學理論的發(fā)展。經過歷史的研究與發(fā)展，結合歷史上大量數(shù)學家的研究理論與所得結論。當今學者還對級數(shù)問題與級數(shù)求和問題都做出了深入的考察與進一步的探究，創(chuàng)造性地提出了許多級數(shù)求和的策略與方法。此外，發(fā)散級數(shù)在天文、物理上的廣