無窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報(bào)告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　無窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：無窮級(jí)數(shù)是一個(gè)具有悠久歷史的數(shù)學(xué)

3、概念，實(shí)際上其思想的起源早于公元前，級(jí)數(shù)的分類大致包括正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)是級(jí)數(shù)的斂散性。比起無窮級(jí)數(shù)本身的研究，更重要的是級(jí)數(shù)無窮分割求和思想的利用。本文在重新學(xué)習(xí)無窮級(jí)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)上研究其在積分計(jì)算和級(jí)數(shù)求和方面的應(yīng)用并嘗試解決用無窮級(jí)數(shù)逼近連續(xù)函數(shù)和用無窮級(jí)數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)函數(shù)的問題，最后對(duì)全文進(jìn)行歸納總結(jié)。</p><p>　　關(guān)鍵詞：無窮級(jí)數(shù)；計(jì)算；逼近；構(gòu)造<

4、/p><p>　　Infinite Series`s Application</p><p>　　Abstract:The Infinite series is a math concepts with long history.In fact its thinking originated in BC.Series classification include roughly Positiv

5、e series，Staggered series，F(xiàn)unction of series.The main properties of the series is the divergence feature of series.It is much more important to take advantage of its infinitely divisible summation than research it.This a

6、rticle discuss its applications in the Integral calculation and the sum of series,try to solve the approximation of continuous func</p><p>　　Key words:infinite series; consideration; approximation; Construct

7、ion</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 無窮級(jí)數(shù)的背景和內(nèi)容……………………………………………………………………………… 1</p><p>　　1.1 級(jí)數(shù)的起源與簡介……………………………………………………………………………… 1</p><p>　　1.2 級(jí)數(shù)的主要內(nèi)容……

8、…………………………………………………………………………… 1</p><p>　　2 無窮級(jí)數(shù)在積分計(jì)算和級(jí)數(shù)求和方面的應(yīng)用……………………………………………………… 7</p><p>　　2.1 無窮級(jí)數(shù)在積分計(jì)算中的應(yīng)用…………………………………………………………………7</p><p>　　2.2 無窮級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用…………………………………

9、………………………………8</p><p>　　3 用無窮級(jí)數(shù)逼近連續(xù)函數(shù)……………………………………………………………………………13</p><p>　　3.1 連續(xù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)逼近……………………………………………………………………… 13</p><p>　　3.2 連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)逼近………………………………………………………………… 14<

10、;/p><p>　　4 用無窮級(jí)數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)且處處不可導(dǎo)的函數(shù)……………………………………………………16</p><p>　　結(jié)束語…………………………………………………………………………………………………… 17</p><p>　　致謝……………………………………………………………………………………………………… 18</p><p>

11、　　參考文獻(xiàn)………………………………………………………………………………………………… 19</p><p>　　1 無窮級(jí)數(shù)的背景和內(nèi)容</p><p>　　1.1 級(jí)數(shù)的起源與簡介</p><p>　　無窮級(jí)數(shù)及其思想的起源可以追溯到公元以前,早在古希臘學(xué)者芝諾的二分法就涉及到把分解成無窮級(jí)數(shù)，古代中國的“一尺之棰，日取其半”也含有與二分法相類似的思想，但是

12、級(jí)數(shù)最早被正式研究是在中世紀(jì)(14至16世紀(jì))的印度咯拉拉學(xué)校，該校的學(xué)者馬德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)首先發(fā)現(xiàn)并著手研究無窮級(jí)數(shù)，之后由造訪印度的歐洲傳教士傳播到了歐洲,之后和牛頓的微分緊密地結(jié)合在了一起，構(gòu)成數(shù)學(xué)分析的兩大支柱。</p><p>　　無窮級(jí)數(shù)作為一個(gè)擁有悠久歷史的數(shù)學(xué)思想，對(duì)它本身的研究并不是十分多，這是因?yàn)樗鼉H僅是從數(shù)列中引申出來的一個(gè)概念，并不是一個(gè)全新的東

13、西，比它本身更重要的是這一種數(shù)學(xué)思想“分割，近似求和，取極限”的應(yīng)用，這種思想是數(shù)學(xué)史上的一種創(chuàng)新，因?yàn)殡y度不大，應(yīng)用廣，因此無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)僅僅在討論斂散性之后就少有討論，主要研究方向放在了這種思想方法的應(yīng)用上，比如之后出現(xiàn)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中又出現(xiàn)了一致收斂性，接著出現(xiàn)了特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):冪級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)的出現(xiàn)為級(jí)數(shù)的應(yīng)用又打開了一扇新的大門，從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)到冪級(jí)數(shù)的研究，使得函數(shù)這一復(fù)雜的數(shù)學(xué)形式得以在冪級(jí)數(shù)的形態(tài)下加以研究，這得

14、益于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，在這基礎(chǔ)之上，特殊坐標(biāo)系下的函數(shù)也得以解放出來，比如三角坐標(biāo)系中三角函數(shù)級(jí)數(shù)又稱傅里葉級(jí)數(shù)，之后又引申到周期函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)以及奇偶性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。而級(jí)數(shù)思想的另一體現(xiàn)是結(jié)合微分和積分，在這一廣大領(lǐng)域中，發(fā)揮了很大的作用，從積分定義的產(chǎn)生，到利用積分求平面不規(guī)則圖形的面積，還有空間圖形的面積之后引申到泛函等領(lǐng)域，然而由于級(jí)數(shù)自身的局限性，使得它不可能成為萬能的數(shù)學(xué)工具，但是級(jí)數(shù)在以上領(lǐng)域作出重大貢獻(xiàn)之后在其他領(lǐng)域</

15、p><p>　　1.2 級(jí)數(shù)的主要內(nèi)容</p><p>　　1.2.1 級(jí)數(shù)的定義</p><p>　　級(jí)數(shù)的定義的明確表述如下：</p><p>　　給定一個(gè)序列,我們用</p><p>　　來表示的和。由和這種表示方法,我們可以得到,其中</p><p>　　當(dāng)然我們也可以用或者更簡單的&l

16、t;/p><p>　　來表示。表達(dá)式稱為無窮級(jí)數(shù),或簡稱為級(jí)數(shù)。</p><p>　　1.2.2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)</p><p>　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般指無窮級(jí)數(shù)，在與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)作比較時(shí)指的是正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般項(xiàng)級(jí)數(shù)，而一般項(xiàng)級(jí)數(shù)又包括交錯(cuò)級(jí)數(shù)和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)是在無窮級(jí)數(shù)的概念產(chǎn)生之后首先出現(xiàn)的概念，指的是級(jí)數(shù)中每一項(xiàng)都大于等于即，而一般項(xiàng)級(jí)數(shù)是和正項(xiàng)級(jí)數(shù)相對(duì)的概念，因此一般

17、項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義與正項(xiàng)級(jí)數(shù)相反，指的是級(jí)數(shù)中每一項(xiàng)不都大于等于，所以一般項(xiàng)級(jí)數(shù)又稱為非正項(xiàng)級(jí)數(shù)，在一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中，特殊的各項(xiàng)之間符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)又稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，在一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中，由于出現(xiàn)了符號(hào)不統(tǒng)一的情況，所以討論的斂散性分為絕對(duì)收斂和條件收斂。</p><p>　　1.2.3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)</p><p>　　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)的思想應(yīng)用在函數(shù)領(lǐng)域后發(fā)展出來的一個(gè)概念，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義是：設(shè)為定

18、義在區(qū)間上的函數(shù)，則稱為定義在區(qū)間上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)的相關(guān)性，因此在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中出現(xiàn)了一個(gè)一致收斂的概念，具體內(nèi)容在下面的級(jí)數(shù)的斂散性中介紹。</p><p>　　在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，存在擁有特殊形式的冪級(jí)數(shù)：由冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中稱為冪級(jí)數(shù)系數(shù)，冪級(jí)數(shù)之所以特殊是因?yàn)樗粌H僅是函數(shù)作用在級(jí)數(shù)之中的表現(xiàn)，更重要的是，冪級(jí)數(shù)反過來可以作為函數(shù)的一種表現(xiàn)形式，這主要是由于泰勒公式以

19、及麥克勞林公式使得函數(shù)可以寫成無窮項(xiàng)相加的形式。</p><p>　　此外還有一種建立在三角函數(shù)正交性上的傅里葉級(jí)數(shù)：設(shè)函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，并在區(qū)間上可積，則稱為在上的傅里葉級(jí)數(shù)，將右端級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，則有，，傅里葉級(jí)數(shù)還可以擴(kuò)展到以為周期的函數(shù)上，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開的核心是任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示。</p><p>　　函數(shù)在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用發(fā)散到特殊函

20、數(shù)時(shí)，產(chǎn)生冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的這一過程，大大地?cái)U(kuò)展了級(jí)數(shù)的應(yīng)用性。也是級(jí)數(shù)真正開始跨領(lǐng)域應(yīng)用的開始:函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)，這一點(diǎn)使得級(jí)數(shù)能夠以較簡單的方法來表達(dá)更復(fù)雜的函數(shù)，換言之就是為函數(shù)多了一種表達(dá)方式，使得求函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求級(jí)數(shù)的問題，至此，級(jí)數(shù)思想在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域開始發(fā)揮越來越大的作用。</p><p>　　1.2.4 級(jí)數(shù)的斂散性</p><p>　　各種級(jí)數(shù)的概念產(chǎn)生之后，首先出現(xiàn)

21、并急待解決的問題就是級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)其中包括級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)本身的計(jì)算，而這里更重要的就是級(jí)數(shù)的斂散性。級(jí)數(shù)的斂散性定義如下：如果把稱為級(jí)數(shù)的部分和，即當(dāng)收斂于,則稱該級(jí)數(shù)收斂,記作,如果發(fā)散,則級(jí)數(shù)也是發(fā)散的，這里稱為級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　由級(jí)數(shù)收斂定義發(fā)展而來最基本的判斷法則的是級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則:級(jí)數(shù)收斂的充要條件是，任給的一個(gè)正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)以及對(duì)任意的正整數(shù)，都有。</p>

22、;<p>　　對(duì)于正數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，有兩個(gè)新的收斂判斷方法:達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法，又可稱為比式判別法和根式判別法。</p><p>　　比式判別法的定義如下：</p><p><b>　　對(duì)級(jí)數(shù)：</b></p><p><b>　　若，則收斂，</b></p><p>　　若或者對(duì)某

23、個(gè)給定的正整數(shù),有所有的,則發(fā)散。</p><p>　　根式判別法的定義是：</p><p><b>　　對(duì)級(jí)數(shù)，令則：</b></p><p><b>　　若，則有級(jí)數(shù)收斂；</b></p><p><b>　　若，則有級(jí)數(shù)發(fā)散；</b></p><p&g

24、t;<b>　　若，測試無意義。</b></p><p>　　證明不贅述，從應(yīng)用效果來看比式判別法一般比根式判別法更實(shí)用,這是因?yàn)橛?jì)算比式比計(jì)算根式更簡單，而且比式判別法比根式判別法具有更廣泛的應(yīng)用范圍。</p><p>　　在根式判別法和比式判別法之后還出現(xiàn)了一個(gè)更加簡便的比較原則:</p><p>　　設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某正數(shù)，對(duì)

25、一切都有，則:</p><p>　　若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；</p><p>　　若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。</p><p>　　在一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中，由于加入了絕對(duì)值，因此判斷級(jí)數(shù)收斂出現(xiàn)了絕對(duì)收斂與非絕對(duì)收斂，又稱為條件收斂，判斷級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與否的方法是分別討論級(jí)數(shù)項(xiàng)在絕對(duì)值有無的情況下的收斂情況：對(duì)非正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果有收斂則稱為絕對(duì)收斂，若發(fā)散而收斂則稱為條件收斂，

26、值得注意的是若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則必收斂。</p><p>　　函數(shù)應(yīng)用于級(jí)數(shù)中出現(xiàn)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)還有一致收斂和收斂發(fā)散點(diǎn)（域）的定義。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義：設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集上，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有，則稱函數(shù)列在上一致收斂于，一致收斂定義是在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中產(chǎn)生的一個(gè)全新的定義，它標(biāo)志著級(jí)數(shù)思想在函數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。在全新的一致收斂定義出現(xiàn)后應(yīng)運(yùn)而生的判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的

27、方法有威爾斯特拉斯判別法，阿貝爾判別法和狄利克雷判別法，不贅述。在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中，為關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)，則對(duì)每一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性都可能不同，如果在點(diǎn)發(fā)散，則稱為級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，而把所有發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為級(jí)數(shù)的發(fā)散域，收斂點(diǎn)和收斂域的定義亦然。</p><p>　　特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)還有一些與一般函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不同的地方。在冪級(jí)數(shù)中除了提到收斂定義，還提到了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：對(duì)冪級(jí)數(shù)，如果除了在點(diǎn)外還有收斂

28、點(diǎn)，則必存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)任意滿足的，級(jí)數(shù)收斂，而對(duì)任意滿足的，級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱為該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理則可以直接求得其級(jí)數(shù)的收斂值：設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)且在區(qū)間上按段光滑，則在，的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)的左，右極限的算術(shù)平均值。</p><p>　　1.2.5 積分中的級(jí)數(shù)思想</p><p>　　級(jí)數(shù)思想在積分中也有體現(xiàn)：在曲邊梯形中，用已知的直邊梯形求解法已經(jīng)不

29、適用了，因此提出了“分割，近似求和，取極限”的解決方法，這就是后來發(fā)展出來的定積分的背景，首先由區(qū)間的分割，再到函數(shù)的分割，而面積就接近于上底函數(shù)和下底函數(shù)在范圍內(nèi)分割之后產(chǎn)生的無窮多個(gè)長方形的和。</p><p><b>　　區(qū)間的分割：</b></p><p>　　設(shè)閉區(qū)間上有個(gè)點(diǎn)，依次為，它們把分割成個(gè)小區(qū)間。這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)的一個(gè)分割，記為，小區(qū)間的長度為，

30、并記為分割的模。</p><p><b>　　函數(shù)的分割：</b></p><p>　　設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，對(duì)于的一個(gè)分割任取點(diǎn)，并作合式稱此式為函數(shù)在上的一個(gè)積分和，也稱黎曼和。</p><p><b>　　定義定積分：</b></p><p>　　設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若

31、對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，數(shù)稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。</p><p>　　至此，定積分的產(chǎn)生過程已經(jīng)完整的呈現(xiàn)出來，由此可見定積分的幾何意義就是對(duì)于在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，定積分就是該函數(shù)與軸所圍成的所有封閉圖形的面積，這里要注意一點(diǎn)，函數(shù)在軸下的部分所圍成的圖形面積與實(shí)際所得的結(jié)果成相反數(shù)。</p><p&

32、gt;　　2 無窮級(jí)數(shù)在積分計(jì)算和級(jí)數(shù)求和方面的應(yīng)用</p><p>　　2.1 無窮級(jí)數(shù)在積分計(jì)算中的應(yīng)用</p><p>　　積分分為定積分和不定積分，求不定積分就是求被積函數(shù)的原函數(shù)，而我們知道常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，因此不定積分一般有無數(shù)個(gè)解，求定積分就是在求出原函數(shù)基礎(chǔ)上，代入?yún)^(qū)間兩端的數(shù)和得出的函數(shù)差，因此只有唯一解。無窮級(jí)數(shù)可以應(yīng)用在積分直接求被積函數(shù)的原函數(shù)過于困難，或者被積函數(shù)

33、過于復(fù)雜的時(shí)候，利用函數(shù)的級(jí)數(shù)展開，就可以把原來復(fù)雜的被積函數(shù)表示成冪級(jí)數(shù)的形式即無窮個(gè)簡單函數(shù)的和，之后利用積分的性質(zhì)把求無窮個(gè)簡單函數(shù)和的積分轉(zhuǎn)化成求無窮個(gè)簡單函數(shù)積分的和，這是級(jí)數(shù)在積分計(jì)算中比較直接的應(yīng)用也是最主要的應(yīng)用，一般常用的是函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，如：</p><p><b>　　求積分</b></p><p>　　解：先根據(jù)公式，把化作的形式，即<

34、/p><p>　　由性質(zhì)和，原積分可化為，這樣就把求復(fù)雜函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為求簡單函數(shù)的積分再用無窮求和表示結(jié)果，連續(xù)步驟是：</p><p><b>　　求積分</b></p><p>　　解：根據(jù)三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開有：，，因此</p><p>　　由積分運(yùn)算性質(zhì)得，即：</p><p>　　由于積分

35、這種解題過程中用到了積分中函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，所以這種方法又稱為不定積分的冪級(jí)數(shù)解法，這種方法要求被積函數(shù)能夠滿足冪級(jí)數(shù)展開的條件，就是被積函數(shù)要存在階導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　根據(jù)黎曼積分和無窮分割求和的關(guān)系，求定積分的幾何意義其實(shí)就是在區(qū)間上求被積函數(shù)的原函數(shù)與軸所圍成圖形的面積，即由四條線段所包圍的面積，這種級(jí)數(shù)的思想與積分實(shí)際計(jì)算相互的轉(zhuǎn)化可以大大簡化積分的計(jì)算過程，如：</p><p

36、><b>　　求積分</b></p><p>　　解：直接利用積分公式并不方便，而實(shí)際上從圖形角度來講函數(shù)即以為圓心以為半徑的圓：，因此在區(qū)間上求積分即求以為邊的曲邊圖形面積，其面積值是長方形面積減去四分之一圓的面積，因此</p><p><b>　　求積分，其中</b></p><p>　　解：在分段函數(shù)的積分中，

37、如果根據(jù)積分的運(yùn)算性質(zhì)，積分要分成在不同區(qū)間內(nèi)的積分來討論：，這樣積分的步驟會(huì)變得復(fù)雜，如果結(jié)合積分和級(jí)數(shù)的思想就能發(fā)現(xiàn)實(shí)際上積分求的是由被積函數(shù)與軸所圍成的封閉圖形的面積，根據(jù)所給函數(shù)的定義不難看出所圍成的圖形是一個(gè)梯形，因此積分的計(jì)算方法可以寫作：</p><p>　　2.2 無窮級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用</p><p>　　無窮級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用即對(duì)級(jí)數(shù)本身性質(zhì)的研究，級(jí)數(shù)求和的

38、方法多種多樣，這里介紹幾種常用的無窮級(jí)數(shù)求和方法:</p><p>　　分析法：這種方法的關(guān)鍵是將級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)分解為部分分式的和的形式。如：</p><p><b>　　求級(jí)數(shù)</b></p><p><b>　　解:因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以</b><

39、;/p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　從而，</b></p><p><b>　　求級(jí)數(shù)</b></p><p><b>　　解：因?yàn)?，所以有?lt;/b></p><p><b>　　從而<

40、/b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　公式法：利用一些常見數(shù)列的求和公式對(duì)部分和進(jìn)行計(jì)算。如：</p><p><b>　　求級(jí)數(shù)</b></p><p>　　解：

41、</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　求級(jí)數(shù)的和</b>

42、;</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　分和法：和分析法類似，把無窮級(jí)數(shù)中單位元分解為若干項(xiàng)的簡單式子，再在整個(gè)無窮級(jí)數(shù)范圍內(nèi)把類似有規(guī)律的項(xiàng)組合排列，構(gòu)成若干個(gè)原無窮

43、級(jí)數(shù)下的級(jí)數(shù)，再通過計(jì)算子級(jí)數(shù)來得出原來級(jí)數(shù)的解。如：</p><p><b>　　求級(jí)數(shù)</b></p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　故</b></p><p

44、>　　逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分法:利用冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分的性質(zhì)求級(jí)數(shù)的和。如：</p><p><b>　　求冪函數(shù)的和函數(shù)</b></p><p>　　解：由已知冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)收斂，且和函數(shù)為，即 </p><p>　　此式兩邊逐項(xiàng)微分得：</p><p&g

45、t;　　即 </p><p><b>　　求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)</b></p><p>　　解：易知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，收斂區(qū)間為。設(shè)該冪級(jí)數(shù)和函數(shù)為，于是在收斂區(qū)間內(nèi)兩邊求導(dǎo)：</p><p>　　又 </p><p>　　即

46、 </p><p>　　設(shè)為內(nèi)任一點(diǎn)，在上逐項(xiàng)積分，得：</p><p><b>　　即 </b></p><p>　　代入法：利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式以及傅里葉級(jí)數(shù)展開式，把收斂區(qū)間內(nèi)的數(shù)代入展開式中，從而可以求出一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：</p><p><b>　　求級(jí)數(shù)</b></p>

47、;<p>　　解：將在上展成傅里葉級(jí)數(shù)有:</p><p><b>　　令，得</b></p><p><b>　　從而</b></p><p><b>　　求級(jí)數(shù)的和</b></p><p><b>　　解：因?yàn)?，令，?lt;/b></p

48、><p><b>　　于是</b></p><p>　　3 用無窮級(jí)數(shù)逼近連續(xù)函數(shù)</p><p>　　在數(shù)學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到下類問題:在選定的一類函數(shù)中尋找某個(gè)函數(shù)，使它是已知函數(shù)在一定意義下的近似表示，給定之后,如何確定作為的近似表示函數(shù)的方法是多種多樣的。在級(jí)數(shù)范圍內(nèi)，連續(xù)函數(shù)的逼近一般是利用函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式，即利用冪級(jí)數(shù)，傅

49、里葉級(jí)數(shù)等來逼近連續(xù)函數(shù)。</p><p>　　3.1 連續(xù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)逼近</p><p>　　用冪級(jí)數(shù)逼近連續(xù)函數(shù)可以利用函數(shù)的泰勒展開式</p><p><b>　　實(shí)際中常取，即：</b></p><p>　　如：三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開式為：</p><p>　　上式就可成為三角函數(shù)的冪

50、級(jí)數(shù)逼近，實(shí)際上函數(shù)的展開式還包含一個(gè)無窮小量，可以理解為無窮級(jí)數(shù)后面項(xiàng)的和，因此冪級(jí)數(shù)展開式也可寫成：</p><p>　　將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)</p><p><b>　　解：， </b></p><p><b>　　于是得級(jí)數(shù)：</b></p><p><b>　　它的收斂半徑，&l

51、t;/b></p><p>　　考察余項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有：</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　冪級(jí)數(shù)展開有時(shí)也可以直接利用已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。如：</p><p><b>　　將展開成的冪級(jí)數(shù)</b></p><p><b>　　解：

52、因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　逐項(xiàng)求導(dǎo)：</b></p><p>　　但是由于泰勒展開式中導(dǎo)數(shù)的存在，因此要求被逼近的函數(shù)存在無窮階導(dǎo)數(shù)，而根據(jù)連續(xù)不一定可導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開有一定的使用范圍。</p><p>　　3.2 連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)逼近</p><p>　　用傅里葉級(jí)數(shù)逼近函數(shù)

53、則利用了函數(shù)的三角多項(xiàng)式逼近，也稱為傅里葉展開，根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)展開的定義，要求被展開的函數(shù)以或者為周期，即要求該函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，如：</p><p>　　求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式</p><p>　　解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，因此在上積分為。于是：</p><p>　　于是，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為</p><p>　　4 用

54、無窮級(jí)數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)且處處不可導(dǎo)的函數(shù)</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史上，數(shù)學(xué)家們一直猜測：連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，至多除去可列個(gè)點(diǎn)外都是可導(dǎo)的。也就是說，連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)至多是可列集。</p><p>　　在當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)的表示手段有限，而僅僅從初等函數(shù)或從分段初等函數(shù)表示的角度出發(fā)去考慮，這個(gè)猜想是正確的。但是隨著級(jí)數(shù)理論的發(fā)展，函數(shù)表示的手段擴(kuò)展了，數(shù)學(xué)家可以通過函數(shù)項(xiàng)級(jí)

55、數(shù)來表示更廣泛的函數(shù)類。Weierstrass是一位研究級(jí)數(shù)理論的大師，他于1872年利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一個(gè)構(gòu)造出了一個(gè)處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)，為上述猜測做了一個(gè)否定的終結(jié)： 。</p><p>　　下面敘述的例子在證明上要相對(duì)簡易些：設(shè)表示與最鄰近的整數(shù)之間的距離，例如當(dāng)，則；當(dāng)，則。顯然是周期

56、為1的連續(xù)函數(shù)，且，注意當(dāng)或時(shí)，有。給出例子：，由，及的收斂性，根據(jù)威爾斯特拉斯判別法，上述函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)關(guān)于一致收斂，所以在連續(xù)。</p><p>　　接下來是處處不可導(dǎo)的證明：現(xiàn)考慮在任意一點(diǎn)的可導(dǎo)性。由于的周期性，不妨設(shè)，并將表示成無限小數(shù)：。若是有限小數(shù)時(shí)，則在后面添上無窮多個(gè)0。然后取例如：設(shè)，則我們?nèi)?，顯然。于是只要驗(yàn)證極限的存在性即可，由函數(shù)性質(zhì)及級(jí)數(shù)求和的方法有，再通過把級(jí)數(shù)變式，討論和的大小關(guān)系，即

57、可證明，極限不存在，也就是說，在任意一點(diǎn)是不可導(dǎo)的。這樣，一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的函數(shù)就通過級(jí)數(shù)這一工具被構(gòu)造出來了。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　無窮級(jí)數(shù)作為近千年的智慧結(jié)晶，雖然其基本思想只是無窮項(xiàng)之和，但是它的作用之廣泛，能力之強(qiáng)大，涉及到了數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域，為微積分，特別是數(shù)學(xué)分析的發(fā)展提供了源源不斷的動(dòng)力。正由于級(jí)數(shù)的概

58、念簡約，內(nèi)容豐富，思想淵遠(yuǎn)，使得它在經(jīng)過悠久的歷史洗禮之后，越發(fā)璀璨，在將來，它的光芒依舊會(huì)照耀在數(shù)學(xué)殿堂的上方。</p><p>　　經(jīng)過對(duì)級(jí)數(shù)的重新學(xué)習(xí)，我對(duì)級(jí)數(shù)思想也有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，級(jí)數(shù)的無窮求和作用在積分上是多么的精辟，它對(duì)積分的解釋大大降低了積分的難度，它在函數(shù)表達(dá)上的作用也使函數(shù)的討論變得更為簡便，總的來說，無窮級(jí)數(shù)作為一種研究數(shù)學(xué)的工具，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的出現(xiàn)可以說是在人類研究的數(shù)學(xué)高塔上

59、架起了扶梯。從級(jí)數(shù)的重新認(rèn)識(shí)，到概括總結(jié)，級(jí)數(shù)也為我對(duì)利用其他數(shù)學(xué)知識(shí)作出了一個(gè)榜樣，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念內(nèi)容的基礎(chǔ)上，更重要的是各種數(shù)學(xué)思想的融匯和利用，這才是數(shù)學(xué)的精髓。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．</p><p>　　[

60、2] 歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨等．?dāng)?shù)學(xué)分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2007．</p><p>　　[3] 菲赫金哥爾茨．微積分學(xué)教程（第八版）[M]．北京：高等教育出版社，2006．</p><p>　　[4] 朱永忠．高等數(shù)學(xué)[M]．科學(xué)出版社，2009．</p><p>　　[5] 唐月紅，曹榮美，王正盛．高等數(shù)學(xué)[M]．科學(xué)出版社，2009．&

61、lt;/p><p>　　[6] 裴禮文．?dāng)?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．</p><p>　　[7] 胡適耕，姚云飛．?dāng)?shù)學(xué)分析-定理．問題．方法[M]．北京：科學(xué)出版社，2007．</p><p>　　[8] Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis（Third Edition）[

62、M]．Beijing：China Machine Press，2007．</p><p>　　[9] 何琛，史濟(jì)懷，徐森林．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．北京：高等教育出版社，1985．</p><p>　　[10] Jerrold E．Marsden，Michael J．Hoffman．Elementary Classical Analysis(Second Edition)[M]．New York：

63、W．H．Freeman and Company，1993．</p><p>　　[11] 朱家生．?dāng)?shù)學(xué)史．(第一版)[M]．北京：高等教育出版社．2002．</p><p>　　[12] 王輝．無窮級(jí)數(shù)的發(fā)展演化[D]．河北師范大學(xué),2006．</p><p>　　[13] 畢道旺．無窮級(jí)數(shù)的求和方法舉隅[J]．寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào)．2009,11(4);7678．&l

64、t;/p><p>　　[14] 林智勇，易正明．對(duì)消法在無窮級(jí)數(shù)上的應(yīng)用[J]．理工研究學(xué)報(bào)．2006,40(1);93103．</p><p>　　[15] 梅向明，黃敬之．微分幾何(第四版)[M]．北京：高等教育出版社，2008.</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　無窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用　　　　　

65、　　</p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　無窮級(jí)數(shù)是序列的一種特殊形式[1~2]，一方面它的特殊結(jié)構(gòu)使得有關(guān)級(jí)數(shù)收斂性及其求和的問題得到深入的研究，另一方面由于作為表達(dá)函數(shù)的一種工具，具有一些明顯的優(yōu)勢。</p><p>　　無窮級(jí)數(shù)又稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)簡稱為級(jí)數(shù)是序列的一種特殊形式，定義如下:給定一個(gè)序列，用來表示

66、的和，一般的就把稱為無窮級(jí)數(shù)(1~9]。由這種關(guān)系可知，級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)實(shí)際上只是序列的性質(zhì)的另一種表述，然而級(jí)數(shù)這一種新的形式為理論的展開提供了特別有效的途徑，比如積分的計(jì)算[1~9]以及發(fā)散到其他領(lǐng)域的結(jié)論如拓?fù)鋵W(xué)[10]。此外在函數(shù)表達(dá)上利用比較簡單的函數(shù)形式，逼近比較復(fù)雜的函數(shù)，這一點(diǎn)使得無窮級(jí)數(shù)在很多情況下是不可替代的。</p><p><b>　　主題部分</b></p>

67、;<p>　　一，無窮級(jí)數(shù)的歷史背景</p><p>　　無窮級(jí)數(shù)思想的起源可以延續(xù)到公元前，古希臘的學(xué)者芝諾的二分法涉及到把1分解成無窮級(jí)數(shù)，古代中國的"一尺之棰，日取其半"[11]也含有類似的思想，但是級(jí)數(shù)最早被發(fā)現(xiàn)并研究于中世紀(jì)(14至16世紀(jì))的印度的咯拉拉學(xué)校，該校的學(xué)者馬德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)，之后由造訪印度的精通數(shù)學(xué)的耶穌會(huì)傳教

68、士帶到了歐洲，并和牛頓的微積分緊密的結(jié)合在一起[11~12]。隨著歐洲數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，無窮級(jí)數(shù)也出現(xiàn)了許多新的內(nèi)容。首先應(yīng)運(yùn)而生的是級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)的各種判別法，從最簡單的正數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法到拉貝判別法，之后在一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中出現(xiàn)了級(jí)數(shù)不收斂的現(xiàn)象，又產(chǎn)生了一個(gè)絕對(duì)收斂的概念[1~9]。</p><p>　　級(jí)數(shù)的概念產(chǎn)生之后，首先出現(xiàn)并急待解決的問題就是級(jí)數(shù)的一系列性質(zhì)包括級(jí)數(shù)本身的運(yùn)算[13~14]，而

69、這里面比較重要的就是級(jí)數(shù)的收斂性，最普通的有級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則:級(jí)數(shù)收斂的充要條件是，任給的一個(gè)正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)以及對(duì)任意的正整數(shù)，都有[1~9]。這是級(jí)數(shù)收斂的一般判別方法，對(duì)于正數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，又產(chǎn)生了新的收斂判斷方法:達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法，以上又可稱為比式判別法和根式判別法[1~9]。之后由正數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特點(diǎn)更衍生出了一個(gè)比較簡單的比較原則:設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果存在某正數(shù)，對(duì)一切都有，則:</p><

70、;p>　　(i)若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂，</p><p>　　(ii)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散，</p><p>　　[1~9]。這個(gè)方法使得快速判斷簡單級(jí)數(shù)的斂散性成為可能，之后在一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中出現(xiàn)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)以及應(yīng)運(yùn)而生的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法[1~10]完善了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性討論。在把函數(shù)應(yīng)用在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的思想中之后，又出現(xiàn)了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，同樣的是討論了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

71、的斂散性之后得出了判斷方法，不同的在于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)出現(xiàn)了一個(gè)特殊的一致收斂性質(zhì):設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集上，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有，則稱函數(shù)列在上一致收斂于[1~9]。一致收斂性是由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊性擁有的性質(zhì).函數(shù)在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用在發(fā)散到特殊函數(shù)時(shí)，產(chǎn)生的一個(gè)新的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)這一過程，大大的擴(kuò)展了級(jí)數(shù)的應(yīng)用性，冪級(jí)數(shù)是由冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)[1~9]，冪級(jí)數(shù)的研究與其他級(jí)數(shù)的研究一樣，在討論

72、了斂散性之后更加注重于它的應(yīng)用，也是級(jí)數(shù)真正開始跨領(lǐng)域應(yīng)用的開始:函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，這一點(diǎn)使得級(jí)數(shù)能夠以較簡單的方法來表達(dá)更復(fù)雜的函數(shù)，換言之就是為函數(shù)多了一種表達(dá)方式，這使得級(jí)數(shù)在某種程度上完全和函數(shù)掛鉤，使得求函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求級(jí)數(shù)的問題，級(jí)數(shù)在函數(shù)中的另一應(yīng)用體現(xiàn)在特殊坐標(biāo)系下的函數(shù)，如</p><p>　　二，無窮級(jí)數(shù)在積分計(jì)算中的應(yīng)用</p><p>　　無窮級(jí)數(shù)在積分中的運(yùn)算主

73、要是運(yùn)用無窮求和的思想，來進(jìn)一步的研究在級(jí)數(shù)下的無窮和，定積分的提出和解決就用到了級(jí)數(shù)，在曲邊梯形中，用已知的直邊梯形求解法已經(jīng)不適用了，因此提出了"分割，近似求和，取極限"[1]的解決方法，這就是后來發(fā)展出來的定積分的概念背景，首先有區(qū)間的分割，再到函數(shù)的分割，而面積就接近于頂邊函數(shù)和底邊函數(shù)在分割之后產(chǎn)生的無窮多個(gè)長方形的和，具體的定義如下</p><p>　　定義1 設(shè)閉區(qū)間上有個(gè)點(diǎn)，

74、依次為，</p><p>　　它們把分割成個(gè)小區(qū)間。這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)的一個(gè)分割，記為，小區(qū)間的長度為，并記為分割的模[1~9]。</p><p>　　區(qū)間的分割僅僅是函數(shù)分割的一個(gè)思想發(fā)源，把這種無窮分割求和的方法作用在函數(shù)中后就有了如下定義</p><p>　　定義2 設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，對(duì)于的一個(gè)分割任取點(diǎn)并作合式稱此式為函數(shù)在上的一個(gè)積分和，，也稱黎曼

75、和[1~9]。</p><p>　　這個(gè)定義為下面定積分定義的出現(xiàn)做了充足的鋪墊:</p><p>　　定義3 設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對(duì)的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，數(shù)稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分[1~9]，至此，定積分的抽象概念已經(jīng)完整的敘述出來，由此可見定積分的幾何意義就是對(duì)于在區(qū)間上的連續(xù)函

76、數(shù)，當(dāng)時(shí)，定積分就是該函數(shù)與軸所圍成的所有封閉圖形的面積，這里要注意一點(diǎn)，函數(shù)在軸下的部分所圍成的圖形面積與實(shí)際所得的結(jié)果稱相反數(shù)[1~9]。</p><p>　　此外由定積分這種性質(zhì)推導(dǎo)到普通積分中，級(jí)數(shù)也有另外的作用。然而積分和的極限與函數(shù)的極限之間存在很大的差別，:在函數(shù)極限中，對(duì)每一個(gè)極限變量來說，的值是唯一確定的，而對(duì)于積分和的極限而言，每一個(gè)并不唯一對(duì)應(yīng)積分和的一個(gè)值，這使得積分和的極限要比通常的函數(shù)

77、極限復(fù)雜得多[1~9]。</p><p>　　三，無窮級(jí)數(shù)在困難函數(shù)表達(dá)中的作用</p><p>　　無窮級(jí)數(shù)在困難函數(shù)的表達(dá)中主要是把所給出的復(fù)雜的函數(shù)通過級(jí)數(shù)的形式化成較簡單的函數(shù)形式，再加以解決，這里就必須要用到無窮級(jí)數(shù)中函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，而關(guān)于一個(gè)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的展開式在導(dǎo)數(shù)和積分之后便有提及，對(duì)于一般函數(shù)設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)次多項(xiàng)式</p>&

78、lt;p>　　稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式[1~7]，而在積分的實(shí)際運(yùn)算中只考慮=0的情況，因此，泰勒展開式又可以簡化為</p><p>　　又稱為麥克勞林公式[1~7]，至此，一些復(fù)雜函數(shù)積分的計(jì)算就可以得到簡化，比如</p><p>　　但是，這種方法有一個(gè)前提，即函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式必須收斂于函數(shù)本身，而對(duì)任意的在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則其在內(nèi)等于其級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充分條件是"對(duì)

79、一切滿足不等式的，有"[1~]，即泰勒公式的余項(xiàng)要趨于0，這就把級(jí)數(shù)在積分中的應(yīng)用局限在一個(gè)范圍內(nèi)，而對(duì)于其他范圍之外的復(fù)雜函數(shù)，級(jí)數(shù)的這種表達(dá)方式就無能為力了。而由于函數(shù)的多項(xiàng)性，泰勒公式在微分幾何的向量函數(shù)一部分中也有很大的用處[14]。</p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　無窮級(jí)數(shù)并不是近代最新出現(xiàn)的，作為一個(gè)有上百年

80、歷史的數(shù)學(xué)概念，它本身的研究并不是十分多，這是因?yàn)樗鼉H僅是從數(shù)列中引申出來的一個(gè)概念，比它本身更重要的是這一種數(shù)學(xué)思想"分割，近似求和，取極限"這種概念是數(shù)學(xué)史上的一種創(chuàng)新，因?yàn)殡y度不大，應(yīng)用廣，所以比無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)利用更多的是在它的基礎(chǔ)上衍生出來的思想方法以及類似的問題處理方法。因此無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)僅僅在討論斂散性之后就少有討論，而研究的主方向放在了這種思想方法的應(yīng)用上，比如后面出現(xiàn)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，包括函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中又出

81、現(xiàn)的一致收斂性，再后面，出現(xiàn)了特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):冪級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)的出現(xiàn)為級(jí)數(shù)的應(yīng)用又打開了一扇新的大門，從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)到冪級(jí)數(shù)的研究，使得函數(shù)這一復(fù)雜的數(shù)學(xué)形式得以在冪級(jí)數(shù)的形勢下加以研究，這得益于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開，在這基礎(chǔ)之上，特殊坐標(biāo)系下的函數(shù)也得以解放出來，比如三角坐標(biāo)系中三角函數(shù)級(jí)數(shù)，之后又引申到周期函數(shù)級(jí)數(shù)以及奇偶性函數(shù)級(jí)數(shù)。而級(jí)數(shù)思想的另一體現(xiàn)是結(jié)合微分和積分，在這一廣大領(lǐng)域中，發(fā)揮了很大的作用，從積分定義的產(chǎn)生，到利用積分求平

82、面不規(guī)則圖形的面積，還有空間圖形的面積之后發(fā)散到泛函等等領(lǐng)域，由此可見，級(jí)數(shù)的思想在數(shù)學(xué)中有著</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003．</p><p>　　[2] 歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨等.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等

83、教育出版社，2007.</p><p>　　[3] 菲赫金哥爾茨．微積分學(xué)教程（第八版）[M].北京：高等教育出版社，2006．</p><p>　　[4] 朱永忠.高等數(shù)學(xué)[M].科學(xué)出版社，2009.</p><p>　　[5] 唐月紅，曹榮美，王正盛.高等數(shù)學(xué)[M].科學(xué)出版社，2009.</p><p>　　[6] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中

84、的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993．</p><p>　　[7] 胡適耕，姚云飛．?dāng)?shù)學(xué)分析-定理.問題.方法[M].北京：科學(xué)出版社，2007．</p><p>　　[8] Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis（Third Edition）[M]. Beijing：China Machine Press，

85、2007．</p><p>　　[9] 何琛，史濟(jì)懷，徐森林．?dāng)?shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1985．</p><p>　　[10] Jerrold E.Marsden，Michael J.Hoffman.Elementary Classical Analysis(Second Edition)[M].New York：W.H.Freeman and Company，1993.&l

86、t;/p><p>　　[11] 朱家生.數(shù)學(xué)史.(第一版)[M].北京：高等教育出版社.2002.</p><p>　　[12] 王輝.無窮級(jí)數(shù)的發(fā)展演化[D].河北師范大學(xué),2006．</p><p>　　[13] 畢道旺.無窮級(jí)數(shù)的求和方法舉隅[J].寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào).2009,11(4).</p><p>　　[14] 林智勇，易正明.對(duì)消

87、法在無窮級(jí)數(shù)上的應(yīng)用[J].理工研究學(xué)報(bào).2006,40(1)；93103.</p><p>　　[15] 梅向明，黃敬之.微分幾何(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2008.</p><p><b>　　開題報(bào)告</b></p><p><b>　　無窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用</b></p><p>　

88、　一、選題的背景、意義</p><p>　　無窮級(jí)數(shù)思想的起源可以延續(xù)到公元前,但是級(jí)數(shù)最早被發(fā)現(xiàn)并研究于中世紀(jì)(14至16世紀(jì))的印度,之后由造訪印度的傳教士帶到了歐洲,并和牛頓的微積分緊密的結(jié)合在一起,隨著歐洲數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展,無窮級(jí)數(shù)的內(nèi)容也不斷增加,研究的方向也從級(jí)數(shù)本身的性質(zhì)延伸到應(yīng)用中來,從最簡單的正數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和性質(zhì)開始，漸漸囊括了一般項(xiàng)級(jí)數(shù)及其性質(zhì),再和函數(shù)結(jié)合在一起,發(fā)展出了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù)和傅里葉

89、級(jí)數(shù),之后就是級(jí)數(shù)思想的發(fā)展,從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)延伸來的函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開,發(fā)展到定積分,不定積分的概念,再發(fā)展到無窮逼近等等領(lǐng)域。無窮級(jí)數(shù)的研究推進(jìn)了微積分的建立，作為一種研究數(shù)學(xué)的工具和思想，級(jí)數(shù)的誕生更推進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展</p><p>　　由于級(jí)數(shù)的發(fā)展經(jīng)過近百年的時(shí)間,并和牛頓的理論一起構(gòu)成了微積分學(xué)的兩大支柱,級(jí)數(shù)的重要性由此可見，由于級(jí)數(shù)的普遍性，所以在中學(xué)以及高等教育學(xué)校中便有提及，現(xiàn)今級(jí)數(shù)的研

90、究方向大致都放在了級(jí)數(shù)求和,函數(shù)表達(dá)以及無窮分割求近似的應(yīng)用方面,國內(nèi)的學(xué)者在理論上趨向于研究冪級(jí)數(shù),函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開以及泰勒展式上,在實(shí)際中很多需要求近似的地方也用到了級(jí)數(shù),比如國防工業(yè)彈道,火箭飛行軌跡與回收等領(lǐng)域。</p><p>　　研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p><b>　　基本內(nèi)容是:</b></p><p>　　

91、1，級(jí)數(shù)的背景和研究狀況,包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),函數(shù)列級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù)的斂散性等基礎(chǔ)知識(shí)；</p><p>　　2，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開以及積分和數(shù)列的轉(zhuǎn)換。</p><p><b>　　擬解決的主要問題:</b></p><p>　　1、無窮級(jí)數(shù)在積分計(jì)算和級(jí)數(shù)求和方面的應(yīng)用；</p><p>　　2、用無窮級(jí)數(shù)逼近連續(xù)函數(shù)；<

92、/p><p>　　3、用無窮級(jí)數(shù)構(gòu)造處處連續(xù)且處處不可導(dǎo)的函數(shù)。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)</p><p>　　1，研究方法與技術(shù)路線:</p><p>　　主要是通過搜集并閱讀文獻(xiàn)中有關(guān)無窮級(jí)數(shù)及其延伸的資料，包括它的背景意義、性質(zhì)及應(yīng)用的現(xiàn)狀和發(fā)展方向等內(nèi)容。然后對(duì)資料進(jìn)行整理歸納構(gòu)成級(jí)數(shù)知識(shí)的完

93、整結(jié)合，形成論文的主要內(nèi)容，并補(bǔ)充自己的想法，使之成為一個(gè)整體。</p><p>　　本文主要從級(jí)數(shù)的無窮逼近及其收斂要求和近似求和的性質(zhì)上來研究函數(shù)的級(jí)數(shù)表示和構(gòu)造。</p><p><b>　　2，研究難點(diǎn)是:</b></p><p>　　連續(xù)函數(shù)的級(jí)數(shù)逼近中需要滿足的收斂性質(zhì)以及在構(gòu)造處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)時(shí)級(jí)數(shù)和連續(xù)以及可導(dǎo)的共存關(guān)系。

94、</p><p><b>　　3，預(yù)期的目標(biāo)是:</b></p><p>　　通過本文的研究得以對(duì)級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)有關(guān)的系統(tǒng)知識(shí)連接起來,并形成一個(gè)統(tǒng)一的整體,并參考解決的級(jí)數(shù)問題,加深級(jí)數(shù)的應(yīng)用思想。</p><p>　　四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排</p><p>　　1、第七學(xué)期第9周至第11周：論文選題，查閱文獻(xiàn)資料，收

95、集信息；</p><p>　　2、第七學(xué)期第12周至第18周：在廣泛查閱文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，完成文獻(xiàn)綜述及其論文開題報(bào)告，完成外文翻譯；</p><p>　　3、第八學(xué)期第1周至第3周：完成畢業(yè)論文初稿；</p><p>　　4、第八學(xué)期第4周至第13周:反復(fù)修改畢業(yè)論文，最后定稿，準(zhǔn)備答辯。</p><p><b>　　五、主要參考

96、文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003．</p><p>　　[2] 菲赫金哥爾茨．微積分學(xué)教程（第八版）[M].北京：高等教育出版社，2006．</p><p>　　[3] 朱永忠.高等數(shù)學(xué)[M].科學(xué)出版社，2009.</p><p>　　[4]

97、 唐月紅，曹榮美，王正盛.高等數(shù)學(xué)[M].科學(xué)出版社，2009.</p><p>　　[5] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993．</p><p>　　[6] 胡適耕，姚云飛．?dāng)?shù)學(xué)分析-定理.問題.方法[M].北京：科學(xué)出版社，2007．</p><p>　　[7] Walter Rudin．Principles of Ma