淺談對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 畢業(yè)論文

1、<p><b>　　聊城大學(xué)</b></p><p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目: 淺談對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 </p><p>　　專業(yè)代碼: 070101 </p><p>　　作者姓名: 李艷

2、杰 </p><p>　　2010 年 5 月 20 日</p><p><b>　　原創(chuàng)性聲明</b></p><p>　　本人鄭重聲明: 所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下, 獨立進行研究取得的成果. 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外, 論文中不含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果, 也不包含為獲得聊城大學(xué)或其他教育機構(gòu)的學(xué)位證

3、書而使用過的材料. 對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體, 均已在文中以明確方式標明. 本人承擔本聲明的相應(yīng)責任. </p><p>　　學(xué)位論文作者簽名: 　　　 　日期　　 </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師 簽 名: 　　　　　　 日期　　 </p><p><b>　　目 錄</b></p>

4、<p>　　第一章 引言…………………………………………………………………………1</p><p>　　第二章研究對稱性的意義………………………………………………1</p><p>　　第三章對稱性在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用……………………………………………2</p><p>　　3.1 對稱性在幾何中的應(yīng)用…………………………………………………………2

5、</p><p>　　3.2 對稱性在方程中的應(yīng)用………………………………………………………3</p><p>　　3.3 對稱性在三角中的應(yīng)用…………………………………………………………4</p><p>　　第四章對稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用………………………………………………6</p><p>　　4.1 對稱性在求導(dǎo)中的應(yīng)用………………

6、…………………………………………6</p><p>　　4.2 對稱性在積分中的應(yīng)用……………………………………………………7</p><p>　　第五章結(jié)束語………………………………………………………………………16</p><p>　　參考文獻 ……………………………………………………………………………17</p><p>　　致 謝

7、 ……………………………………………………………………………18</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　對稱性在數(shù)學(xué)解題中有廣泛應(yīng)用, 在解題過程中, 充分考慮到對稱性的因素可以起到事半功倍的效果. 在幾何、方程、微分、積分中, 許多問題的求解都采用了對稱性原理, 對于一元函數(shù)而言對稱通常表現(xiàn)為奇、偶函數(shù), 其圖象關(guān)于原點、x、y 軸對稱等

8、. 在求解高等數(shù)學(xué)的某些問題時, 利用對稱性往往能簡化解題過程. 通過對初、高等數(shù)學(xué)的研究, 給出了利用對稱性求解初等數(shù)學(xué)中的幾何、方程等問題以及高等數(shù)學(xué)中的微分、積分問題的基本思路與方法. </p><p>　　關(guān)鍵詞 對稱性； 函數(shù)； 積分； 應(yīng)用</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Symmetry

9、 in solving mathematical problems are widely used in problem-solving process, fully taking into account the factors the symmetry of the multiplier effect. In geometry, differential and integral equations, in the solution

10、 of the problem, many are symmetry principle, for a unary function, symmetric are usually in the form of a strange, even function, its image on the origin, x, y axis symmetry, etc. In solving some of the problems of high

11、er mathematics, using symmetry tend to simplify the </p><p>　　Key words Symmetry; function; application; integration</p><p>　　淺談對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p><b>　　第一章 引 言</b></

12、p><p>　　作為人類認知世界的結(jié)晶, 對稱性與人類的文明歷史一樣久遠, 它普適于人類生活的各個方面. 我們的先人首先從認識自然界的形象對稱開始, 如樹葉的左右對稱、月圓時的中軸對稱等, 并把這種對稱外化為人工自然當中. 如此, 對稱性的觸角自古代開始就向自然科學(xué)中延伸. 著名的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在其《幾何原本》中就研究幾何圖形的對稱性. 近代的數(shù)學(xué)還進一步創(chuàng)立了關(guān)于對稱性的數(shù)學(xué)理論——群論. 對稱是數(shù)學(xué)美的一種

13、重要表現(xiàn)形式, 它不僅給我們以美感, 更重要的它是一種思想方法, 它既是思考問題的出發(fā)點, 又是探索解題思路的精良武器, 在簡化解題過程、進行數(shù)學(xué)命題推廣等方面也具有獨特的作用, 用對稱性學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識, 可起到事半功倍的效果. 本文主要介紹了利用對稱性求解初等數(shù)學(xué)中的幾何、方程等問題以及利用對稱性求解高等數(shù)學(xué)中的各種積分問題的基本解題思路與方法, 重點研究了對稱性在重積分中的應(yīng)用. </p><p>　　第二

14、章 研究對稱性的意義</p><p>　　對稱, 在現(xiàn)代漢語詞典中解釋為圖形或物體對某個點、直線或平面而言, 在大小、形狀和排列上具有一一對應(yīng)關(guān)系.數(shù)學(xué)中的對稱主要有幾何對稱和代數(shù)對稱.幾何對稱是一種位置對稱, 從變換的角度而言, 平面圖形有軸對稱、中心對稱和平移對稱三種對稱形式, 代數(shù)對稱通常有二元對稱和多元輪換對稱共扼、對偶、配對也可看作是一種廣義的對稱對偶是一種深層次的對稱, 其對稱性不表現(xiàn)在形狀上, 而表

15、現(xiàn)在某種關(guān)系上. </p><p>　　對稱的概念在數(shù)學(xué)中有廣泛而重要的應(yīng)用. 對于一元函數(shù)而言對稱通常表現(xiàn)為奇、偶函數(shù), 其圖象關(guān)于原點、、軸對稱等. 幾何中的對稱主要是軸對稱和中心對稱. 軸對稱: 任一對對應(yīng)點的連線段被對稱軸垂直平分； 中心對稱: 任一對對應(yīng)點的連線段過對稱中心, 且被中心平分, 幾何中的對稱性是極為普遍的, 并有相對的固定規(guī)律. 在求解高等數(shù)學(xué)的某些問題時, 利用對稱性往往能簡化解題過程.

16、 如果能在分析問題、處理問題時有意識地利用事物的對稱性, 并使人們的思維過程與之相適應(yīng), 不但可以更好的把握事物的本質(zhì), 還可以使思維和推理過程更簡潔, 更快地打開思路, 并能快捷地解決問題. </p><p>　　第三章 對稱性在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　對稱性在初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用, 在中學(xué)數(shù)學(xué)中常有對稱現(xiàn)象, 既有幾何中的軸對稱、中心對稱等空間對稱, 又有代數(shù)中的周期

17、節(jié)奏和旋律的時間對稱. 在學(xué)習(xí)過程中, 挖掘出數(shù)學(xué)問題中的關(guān)系結(jié)構(gòu)的和諧性與對稱性, 能簡化運算, 優(yōu)化思路. 下面談?wù)剬ΨQ在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體運用. </p><p>　　3.1 對稱性在幾何中的應(yīng)用</p><p>　　在幾何方面, 對稱性較為直觀, 通過畫出幾何圖形就能容易地發(fā)現(xiàn)具有對稱性的對象. 球、圓、雙曲線、拋物線等的對稱性是很直觀的, 利用它們的對稱性可以解決許多幾何問題. &

18、lt;/p><p>　　例1 如圖, 一個圓柱被一個平面所截, 截面橢圓的長軸長為5, 短軸長為4, 被截后的幾何體最短母線長為2, 求這個幾何體的體積. </p><p>　　分析 該幾何體既不是圓柱，也不是圓臺, 更不是圓錐, 我們直接計算其體積是不行的. 利用對稱原理, 在其上面補一個完全相同的幾何體, 成為一個完整的圓柱. </p><p>　　解 由條件, 圓

19、柱的底面直徑為截面橢圓的短軸長4, 又長軸長為5, . </p><p>　　所以. 補成圓柱的母線長為7. </p><p><b>　　所求幾何體的體積為</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　在幾何方面對稱性較為直觀, 因此就更能理解與留意, 而在代數(shù)方面就不那

20、么直觀, 而是較為抽象, 相對也就更不關(guān)心代數(shù)式的對稱性, 其實對稱性在代數(shù)上的應(yīng)用也非常廣泛, 往往能夠化繁為簡, 化難為易. </p><p>　　3.2 對稱性在方程中的應(yīng)用</p><p>　　在解方程時, 有時若按常規(guī)方法去解, 則顯得較為復(fù)雜, 這時可考慮添加因式, 用對稱思想去求解. </p><p>　　例2 已知是方程的兩根, 求的值. </

21、p><p>　　分析 因為不是關(guān)于的對稱式, 無法直接使用韋達定理, 但我們只需添加因式, 則</p><p><b>　??； </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　兩式都是關(guān)于的對稱式, 由此可得. </p><p>　　3.3 對稱性在三角中

22、的應(yīng)用</p><p>　　例3 已知, 求證. </p><p>　　分析 觀察題目的條件和結(jié)論, 可以看出他們之間結(jié)構(gòu)上的對稱性： 與對稱, 與對稱, 有這種對稱性的啟發(fā), 我們猜想, . 為此, 我們設(shè), 原式變?yōu)椋?</p><p>　　. （1）</p><p><b>　　有：化簡

23、得： . </b></p><p>　　把（1）式中的與互換得： , 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例4 在銳角△ABC中, 求證： </p><p><b>　　.</b></p><p>　　分析 左、右兩邊均是關(guān)于的完全對稱

24、式, 只需比較和. </p><p><b>　　證 因為, </b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　且根據(jù)條件有. </b></p><p>　　若,

25、 則. 那么矛盾. 所以. 從而, </p><p><b>　　. </b></p><p>　　又因為, 所以. 從而, </p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　同理</b></p><p><b>　　,

26、</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　三式分別相加并除2, 即可得到要證的不等式. </p><p>　　以上介紹了對稱性在求解幾何、方程、三角中的應(yīng)用. 對稱是初等數(shù)學(xué)中的常見現(xiàn)象, 學(xué)習(xí)過程中, 抓住對稱關(guān)系可優(yōu)化問題結(jié)構(gòu), 通過自己的不斷摸索與實踐, 逐步掌握對稱的方法, 以便熟練運用對稱去解決

27、各類問題. </p><p>　　第四章 對稱性在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　對稱性在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域有相當重要的作用, 我們可以根據(jù)所研究的數(shù)學(xué)對象本身的對稱性解決問題, 就微積分部分, 許多問題用“正規(guī)”的方法解決十分麻煩, 但根據(jù)函數(shù)奇偶性、積分區(qū)域、函數(shù)圖象的對稱性便可以簡化運算. </p><p>　　4.1 對稱性在求導(dǎo)中的應(yīng)用</p>

28、<p>　　定義1 若中任意兩個變元對換而函數(shù)不變, 則稱是對稱函數(shù). </p><p>　　定理1 若是偏導(dǎo)數(shù)存在的對稱函數(shù), 則</p><p><b>　　. </b></p><p>　　定理1可以推廣到高階偏導(dǎo)數(shù)的情況.</p><p>　　定理2 若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在, 且, 則. </p&

29、gt;<p>　　定義2 如果函數(shù)在輪換：換, 換, 換下不變, 則稱為三元輪換對稱函數(shù). </p><p>　　定理3 若是一個三元輪換對稱函數(shù), 則它對任意變元所得的階偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果都可以經(jīng)輪換直接轉(zhuǎn)換為其他變元的n階偏導(dǎo)數(shù). </p><p><b>　　例5 設(shè), 求. </b></p><p>　　解 由于函數(shù)對于具有對稱

30、性, 且</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　有些函數(shù)在對換變量后與原來函數(shù)差別很小（如僅差一個負號）, 我們稱之為“潛在對稱”性函數(shù). “潛在對稱”性函數(shù)的求導(dǎo), 對具備“潛在對稱”性的函數(shù), 視具體情況簡化求導(dǎo). </p><p>

31、;<b>　　例6 設(shè), 求. </b></p><p>　　分析 因為, 所以不具有對稱性. 但考慮到僅差一個負號, 于是當存在時, </p><p><b>　　. </b></p><p>　　可見, 將中互換后添一負號可得到. 也可用類似方法得到二階導(dǎo)數(shù). </p><p>　　4.2 對

32、稱性在積分中的應(yīng)用</p><p>　　4.2.1 對稱性在定積分中的應(yīng)用</p><p>　　定理4 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 則</p><p>　　如果我們放寬條件, 只要求積分區(qū)間對稱, 則可將定理4推廣到： </p><p>　　定理5 設(shè)在上連續(xù)， 則</p><p>　　定理6 若存在, 則</p>

33、<p><b>　　定理7 設(shè), 則</b></p><p><b>　　例7 求積分. </b></p><p><b>　　解 . </b></p><p><b>　　因為. 從而, </b></p><p><b>　　. &

34、lt;/b></p><p><b>　　令, 則</b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　例8 計算. </b></p><p><b>　　解 </b></p><p><b&g

35、t;　　. </b></p><p><b>　　例9 求. </b></p><p><b>　　解 令, 則 </b></p><p><b>　　原式</b></p><p><b>　　. </b></p><p&g

36、t;<b>　　例10 計算. </b></p><p>　　解 因積分區(qū)間關(guān)于原點對稱, 可用公式, 于是, 原式</p><p><b>　　. </b></p><p>　　4.2.2 對稱性在重積分中的應(yīng)用</p><p>　　關(guān)于對稱性在重積分中有如下定理： </p><

37、;p>　　定理8 設(shè)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), </p><p>　?。?）若D關(guān)于軸對稱, 對于任意, 則</p><p><b>　　其中. </b></p><p>　?。?）若D關(guān)于軸對稱, 對于任意, 則</p><p><b>　　其中. </b></p><p&g

38、t;<b>　　例11 計算. </b></p><p>　　解 是關(guān)于的偶函數(shù), 積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱, 由對稱性得到</p><p><b>　　. </b></p><p>　　例12 計算, 其中D為矩形. </p><p>　　解 容易看出積分中對稱, 有</p><

39、p><b>　　. </b></p><p><b>　　例13 計算. </b></p><p>　　解 積分中對稱, 由對稱性可知</p><p><b>　　. </b></p><p>　　例14 證明不等式. 其中是正方形域： . </p><

40、;p>　　證 因為積分區(qū)域D關(guān)于直線對稱, 所以, 從而有</p><p>　　因為, 所以. 從而</p><p><b>　　. </b></p><p>　　又的面積為1, 所以. </p><p>　　在進行二重積分計算時, 善于觀察被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點, 注意兼顧被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性,

41、恰當?shù)乩脤ΨQ性方法解題, 可以避免繁瑣計算, 使二重積分問題的解答大大簡化. </p><p>　　定理9 設(shè)在有界閉區(qū)域Q上連續(xù), </p><p>　?。?）若Q關(guān)于坐標面對稱, 對于任意, 則</p><p><b>　　其中 . </b></p><p>　?。?）若Q關(guān)于坐標面對稱, 對于任意, 則</

42、p><p><b>　　其中 . </b></p><p>　?。?）若Q關(guān)于坐標面對稱, 對于任意, 則</p><p><b>　　其中 . </b></p><p>　　例15 計算三重積分, 其中是由平面與三個坐標面所圍成的四面體. </p><p>　　解 積分區(qū)域關(guān)于

43、面對稱, 被積函數(shù)是z的奇函數(shù), 所以</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　例16 計算. </b></p><p>　　其中是由球面所圍成的空間閉區(qū)域. </p><p>　　解 因為積分區(qū)域關(guān)于平面對稱, 故有, 所以</p><p>&

44、lt;b>　　.</b></p><p>　　因為區(qū)域關(guān)于平面對稱且函數(shù)是相應(yīng)于的奇函數(shù), 又也關(guān)于平面對稱且函數(shù)是相應(yīng)于的奇函數(shù), 于是有. </p><p><b>　　例17 算, 其中</b></p><p>　　解 因為關(guān)于坐標面, 坐標面對稱, 由定理9得</p><p>　　重積分的積分區(qū)

45、域比較復(fù)雜, 在運用對稱性時, 必須兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面. </p><p>　　4.2.3 對稱性在曲線積分中的應(yīng)用</p><p>　　曲線積分是定積分的推廣, 它與在對稱區(qū)間上的奇偶函數(shù)定積分有類似的性質(zhì). </p><p>　　定理10 設(shè)在光滑有界曲線弧上連續(xù), </p><p>　?。?）若關(guān)于軸對稱, 則</p&

46、gt;<p><b>　　其中. </b></p><p>　?。?）若關(guān)于軸對稱, 則</p><p><b>　　其中. </b></p><p>　　用對弧長的曲線積分定義容易證明. </p><p>　　例18 計算, 其中為折線段所圍成區(qū)域的整個邊界. </p>

47、<p>　　解 由于曲線關(guān)于軸對稱, 而是關(guān)于的奇函數(shù), 故</p><p><b>　　. </b></p><p>　　又關(guān)于軸對稱, 而是關(guān)于的奇函數(shù), 故</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　從而. </b></p&g

48、t;<p>　　在曲線積分中, 常用輪換對稱性化簡曲線積分. 所謂輪換對稱性, 即積分曲線方程中的變量輪換位置, 方程不變. </p><p>　　例19 計算, 其中為. </p><p>　　解 由于積分曲線方程中的變量具有輪換對稱性, 即三個變量輪換位置, 方程不變, 而且對弧長的曲線積分與積分曲線的方向無關(guān), 故有</p><p>　　4.2.

49、4 對稱性在曲面積分中的應(yīng)用</p><p>　　下述結(jié)論以一種情形為例, 其它類型可以類推</p><p>　?。?）設(shè)分片光滑曲面關(guān)于平面對稱, 而是上的連續(xù)函數(shù), 則</p><p>　　(其中為在平面上側(cè)的部分).</p><p>　　例20 求, 其中為半球面位于閉區(qū)域內(nèi)的部分. </p><p>　　解 關(guān)

50、于坐標面和對稱, 而是關(guān)于變量, 也是關(guān)于變量的奇函數(shù), 所以</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　從而,原式==</b></p><p>　?。?）設(shè)分片光滑的閉曲面關(guān)于平面對稱, 法方向取外側(cè), 而是上的連續(xù)函數(shù), 則</p><p>　　(其中為在平面上側(cè)的部

51、分).</p><p><b>　　例21 求, </b></p><p>　　其中為錐面為的朝下的單位法向量. </p><p><b>　　解 原式. </b></p><p>　　由于既關(guān)于平面對稱, 也關(guān)于平面對稱, 而為的偶函數(shù), 為的偶函數(shù), 所以</p><p>

52、;<b>　　. </b></p><p><b>　　原式</b></p><p>　　以上介紹了對稱性在微分、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分中的應(yīng)用, 在應(yīng)用對稱性求積分時應(yīng)該注意：必須兼顧被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個方面, 只有當兩個方面的對稱性相匹配時才能利用； 對坐標的曲線積分與曲面積分, 在利用對稱性時, 尚需考慮積分路線的方向和曲面的

53、側(cè), 需慎重； 有些問題用輪換對稱性也可得到簡便的解答. </p><p><b>　　第五章 結(jié)束語</b></p><p>　　對稱思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想, 利用對稱關(guān)系解題也是常用的一種解題技巧. 用對稱性解題, 不僅可以提高解題的速度, 增大正確率、更重要的是增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣, 反映數(shù)學(xué)的內(nèi)在美, 提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì), 意義重大. 開發(fā)問題中的對稱關(guān)系,

54、 往往能使問題得到簡捷的解答. 本文初步討論對稱性及其在幾何、方程、三角、微積分中的應(yīng)用, 給出了各部分關(guān)于對稱性的定理, 并應(yīng)用定理解題. 由于對稱性普遍存在于數(shù)學(xué)各領(lǐng)域中且具有非常豐富的內(nèi)容, 因此, 對稱在數(shù)學(xué)研究中的重要作用, 還有待于進一步的挖掘、開發(fā)、推廣、利用, 從以上內(nèi)容可以看出, 在求解多元函數(shù)的積分問題中, 對稱性的利用是極為有用的, 自覺地注意到問題的對稱性并巧妙地用它去解答問題, 對于學(xué)好多元函數(shù)的積分學(xué), 從而

55、更進一步學(xué)好高等數(shù)學(xué)是十分重要的. </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]數(shù)學(xué)分析(上、下冊). 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 武漢： 華中師范大學(xué)出版社. 2000.</p><p>　　[2]高中數(shù)學(xué)（必修4）. 北京： 人民教育出版社. 2008.</p><p>　　[3]張開瑜.

56、對稱美在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué). 1999, 6.</p><p>　　[4]藺守臣, 蔡恒錄. 對稱思想及解題. 天水師專學(xué)報（教育科學(xué)版）. 2000(20).</p><p>　　[5]朱根林, 孟慶麟. 對稱性原則在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 宿州學(xué)院學(xué)報. 2009, 4.</p><p>　　[6]郭環(huán). 對稱性在積分中的應(yīng)用. 山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報. 20

57、01, 6.</p><p>　　[7]孔令華. 對稱性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 贛南師范學(xué)院學(xué)報. 2002(6).</p><p>　　[8]胡曉明. 對稱性在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 中國校外教育. 2009, 8.</p><p>　　[9]于頻. 對稱性在微積分應(yīng)用中的教學(xué)歸納. 重慶工學(xué)院學(xué)報. 2003, 10.</p><p>　　[10]

58、王偉平. 對稱在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 濟南交通高等?？茖W(xué)校學(xué)報. 2001, 3.</p><p>　　[11]張振強. 對稱性在二重積分計算中的應(yīng)用. 南寧師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報. 2002. </p><p>　　[12]梁應(yīng)仙, 辛蘭芬. 對稱性在三重積分計算中的應(yīng)用. 沈陽大學(xué)學(xué)報. 2003, 12.</p><p>　　[13]文武. 對稱性在重積分中的

59、應(yīng)用. 川東學(xué)刊（自然科學(xué)版）. 1997, 4.</p><p>　　[14]劉維龍, 邵益新. 曲線積分計算中奇偶性、對稱性的應(yīng)用. 無錫教育學(xué)院學(xué)報. 1998.</p><p>　　[15]于信, 李秀珍. 對稱性在多元函數(shù)積分中的應(yīng)用. 山東商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報. 2004, 12.</p><p><b>　　致 謝</b><

60、;/p><p>　　首先我非常感謝劉利英老師在我的論文創(chuàng)作期間, 對我的耐心指導(dǎo)并幫我及時糾正了論文的一些不足之處, 給我提出了寶貴的意見, 使我在寫本文的過程中不斷的改進, 為論文的成功完成奠定了基礎(chǔ). 對于本論題的完成, 老師花費了不少心血, 她豐富的授課內(nèi)容拓寬了我的視野, 嚴謹細致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣, 她循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪, 讓我順利的完成這篇文章. 此外,