對稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　信息與計(jì)算科學(xué)</b></p><p>　　對稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用</p><p>　　在數(shù)學(xué)計(jì)算中, 積分計(jì)算是一個(gè)非常重要的部分. 早在古希臘時(shí)期數(shù)學(xué)家阿基米德在《拋物線圖形求積法》和《論螺線》中, 利用窮竭法, 借助于幾何直觀, 求

2、出了拋物線弓形的面積及阿基米德螺線第一周圍成的區(qū)域的面積, 其思想方法是分割求和,逐次逼近. 雖然當(dāng)時(shí)還沒有極限的概念, 不承認(rèn)無限, 但他的求積方法已具有了定積分思想的萌芽. 17 世紀(jì)中葉, 法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、帕斯卡均利用了“分割求和”及無窮小的性質(zhì)的觀點(diǎn)求積, 更加接近現(xiàn)代的求定積分的方法. 可見, 利用“分割求和”及無窮小的方法, 已被當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家普遍采用.</p><p>　　17世紀(jì)下半葉牛頓和萊布尼

3、茲創(chuàng)造了微積分的基本方法. 但是, 他們留下了大量的事情要后人去解決, 首先是微積分的主要內(nèi)容的擴(kuò)展,其次是微積分還缺少邏輯基礎(chǔ). 創(chuàng)立于17 世紀(jì)的微積分, 主要應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、幾何學(xué)中的計(jì)算. 而到19 世紀(jì)下半葉微積分已經(jīng)發(fā)展成為一門系統(tǒng)、嚴(yán)密、完整的學(xué)科. 積分概念也趨于邏輯化、嚴(yán)密化,形成我們現(xiàn)在使用的概念. 定積分的概念中體現(xiàn)了分割、近似、求和的極限思想. 其中分割既是將任意地分成個(gè)小間, ,其中 表示第 個(gè)小區(qū)間的長

4、度, 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)做并求和,這體現(xiàn)了求和的思想, 當(dāng)區(qū)間的最大長度趨于零時(shí), 和式的極限若存在即為在上的定積分. 利用定積分可以解決很多實(shí)際問題,例如求由曲線圍成的平面圖形的面積;求由曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積;平行截面面積為已知的立體的體積;求曲線的弧長以及物理中的功、水壓力等等時(shí),的積分形式也可以推廣: (1) 可以把積分區(qū)間推廣到無限區(qū)間上,如 等,或者把函數(shù)推廣到無界函數(shù),也就是廣義積分. (2) 可以把積分區(qū)間

5、推廣到一個(gè)平面區(qū)域,被積函數(shù)為二元函數(shù), 那么積分就是二重積分; 同樣當(dāng)被積函數(shù)成為三元函數(shù)、</p><p>　　(1) 分割: 將 任意分成個(gè)小區(qū)域并表示面積;</p><p>　　(2) 近似: 在每個(gè)上任取一點(diǎn)作乘積;</p><p>　　(3) 求和取極限:若各區(qū)域直徑的最大值趨于零時(shí), 和式的極限存在, 即為</p><p>　　

6、在上的二重積分. 由此我們發(fā)現(xiàn)定積分與重積分在概念的本質(zhì)上是一致的, 同樣三重積分亦是如此.</p><p>　　此外,不定積分與定積分之間關(guān)系為:如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù),則, 這是牛頓—萊布尼茲公式. 這個(gè)公式進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系. 它表明: 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于它的任一原函數(shù)在區(qū)間上的增量. 這就給求解定積分提供了一個(gè)簡便而有效的計(jì)算方法. &l

7、t;/p><p>　　積分在數(shù)學(xué)分析中有很重要的地位; 積分的計(jì)算方法有許多種, 相關(guān)文獻(xiàn)都對其有探討,但是對對稱性的研究卻很少涉及. 對稱性在積分運(yùn)算中有著很重要的意義, 通?？梢院喕?jì)算. 本文研究了對稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用. 積分在數(shù)學(xué)分析中是相當(dāng)重要的一項(xiàng)內(nèi)容，而在計(jì)算積分的過程中，我們經(jīng)常會(huì)碰到積分區(qū)域或者被積函數(shù)具有某種對稱性的題型. 那么, 如果我們在解題中發(fā)掘或注意到問題的對稱性, 并巧妙地把它們應(yīng)用

8、到積分的計(jì)算過程中去, 往往可以簡化計(jì)算過程, 收到意想不到的效果, 引起感情激蕩, 造成感情上的共鳴, 更好地感知、理解數(shù)學(xué)美. 特別是對于有些題目, 我們甚至可以不用計(jì)算就可以直接判斷出其結(jié)果. 在積分計(jì)算中利用對稱性來解題這種方法, 是一種探索性的發(fā)現(xiàn)方法, 它與其他方法的不同之處主要體現(xiàn)在其創(chuàng)造性功能. 下面我們舉出幾個(gè)對稱性在積分計(jì)算中的例子, 張振強(qiáng)他的一篇對稱性在二重積分中的應(yīng)用論文中介紹如何利用對稱性來計(jì)算二重積分, 并

9、提出了通過適當(dāng)改造被積函數(shù)和積分區(qū)城以利用對稱性來簡化計(jì)算的方法. 在一般情況下, 不僅要求積分區(qū)域具有對稱性, 而且被積分函數(shù)對于區(qū)域也要具有對稱性. 但在特殊</p><p>　　因此, 在積分計(jì)算中, 可以利用對稱性來幫助求解, 不過我們在應(yīng)用對稱性求積分時(shí)還必須注意: 必須兼顧被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個(gè)方面, 只有當(dāng)兩個(gè)方面的對稱性相匹配時(shí)才能利用; 對于第二型曲線積分與曲面積分, 在利用對稱性時(shí), 還需考慮

10、路線的方向和曲面的側(cè), 應(yīng)慎重; 合理利用輪換對稱性以求簡便計(jì)算. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 王仲春等編著. 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論 [M]. 北京: 高等教育出版社, 1991. </p><p>　　[2] 王壽生等編. 130 所高校研究生高等數(shù)學(xué)入學(xué)試題選解及分析 [M]. 沈陽: 遼寧科

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