畢業(yè)論文反證法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、<p>　　論文編碼：O1-0 </p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　反證法是數(shù)學(xué)證明方法中很重要的一部分，本文主要介紹了反證法再出等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。首先闡述反證法的概念、邏輯根據(jù)和一般步驟。然后討論了反正法的適用范圍，這也是本文的重點(diǎn)內(nèi)容，任何一種方法都要以應(yīng)用為首要任務(wù)，我們學(xué)習(xí)它、了解它、 掌握它，學(xué)會(huì)用反證法解決更多的實(shí)際問

2、題才是我們的目的。其次研究了反證法的教學(xué)，反證法的這種數(shù)學(xué)思想在課堂教學(xué)中的滲透是很有必要的。最后討論了應(yīng)用反證法應(yīng)注意的問題，真正用好反證法并非一件易事，所以我們的研究學(xué)習(xí)是很有必要的。</p><p>　　關(guān)鍵詞：反證法 邏輯基礎(chǔ) 教學(xué)方法 適用范圍； </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　

3、　Apagoge is an important part of math demonstration.This article introduces the application of Apagoge in elementary math.First,expounds the Apagoge's concept,logic ground and the general steps.Next,discusses the ran

4、ge of application,which is highlighted.Whatever methods we use,we should base on application.So we must study the method and use it to help us solve many practical problem.Then,studies how to teach the Apagoge's thin

5、king into people's minds in the class.Last,talks about the problem wh</p><p>　　Keywords：Apagoge ;Logical basis; Teaching methods; Scope; </p><p><b>　　目錄</b></p><p>　

6、　第 1 章 反證法概解</p><p>　　1.1反證法的由來3</p><p>　　1.2 反證法的定義3</p><p>　　1.3 反證法的邏輯基礎(chǔ)3</p><p>　　1.3.1 反證法的出發(fā)點(diǎn)3</p><p>　　1.3.2 反證法的推理過程4</p><p>　　1.

7、3.3 反證法的邏輯基礎(chǔ)4</p><p>　　1.4 反證法的分類4</p><p>　　第 2 章 反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)的適用范圍以及例題</p><p>　　2.1 基本定理或初始命題的證明6</p><p>　　2.2 否定性命題6</p><p>　　2.3 關(guān)于唯一性、存在性、至多至少命題6</

8、p><p>　　2.4 無窮型命題8</p><p>　　第 3 章 應(yīng)用反證法應(yīng)注意的問題</p><p>　　3.1 反設(shè)要正確9</p><p>　　3.2 明確推理特點(diǎn)9</p><p>　　3.3 善于靈活運(yùn)用9</p><p>　　第 4 章 反證法的教學(xué)價(jià)值及建議</p&

9、gt;<p>　　4.1 反證法的教學(xué)價(jià)值10</p><p>　　4.2 反證法的教學(xué)建議11</p><p><b>　　第 5 章 總結(jié)</b></p><p><b>　　致 謝14</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)15</b><

10、/p><p><b>　　前 言 </b></p><p>　　世界上任何一個(gè)生命的誕生就不由自主的與數(shù)學(xué)有了扯不清的關(guān)系，有可能成為學(xué)習(xí)的主體、還有可能變成被統(tǒng)計(jì)的對(duì)象。數(shù)學(xué)反證法是非常常見的數(shù)學(xué)證明方法之一。在證明一個(gè)命題的時(shí)候，從命題結(jié)論的反面入手，先假設(shè)結(jié)論的反面成立，通過一系列正確的結(jié)論推理導(dǎo)出與已知條件、已知公理、定理、定義之一相矛盾的結(jié)果或者兩個(gè)相矛盾

11、的結(jié)果，肯定了‘結(jié)論反面成立’的假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而達(dá)到了證明結(jié)論正確的目的，這就是反證法。反證法的優(yōu)勢在于把要證明的結(jié)論當(dāng)做已知條件，在我們證明過程中冥冥中就多了一個(gè)條件。顯而易見的，一道證明題，當(dāng)我們無法從正面入手的時(shí)候反證法就發(fā)揮出了它天生的威力。</p><p>　　反證法不但在初等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在高等數(shù)學(xué)中也具有特殊作用。數(shù)學(xué)中的一些重要結(jié)論，從最基本的性質(zhì)、定理，到某些難度較大的世界名題，往

12、往是用反證法證明的。</p><p>　　反證法的美在于它思考問題的方式，對(duì)于任何一個(gè)沒接觸的人來說這種方法是非常巧妙的。</p><p>　　第 1 章 反證法概解</p><p><b>　　1.1反證法的由來</b></p><p>　　反證法顧名思義是一種證明方法，在數(shù)學(xué)和邏輯上是統(tǒng)一的。早期古希臘的數(shù)學(xué)在畢達(dá)哥

13、拉斯學(xué)派的影響下認(rèn)為萬物皆數(shù)，用整數(shù)和幾何圖形構(gòu)建了一個(gè)宇宙圖式。萬物皆數(shù)這個(gè)思想當(dāng)時(shí)在數(shù)學(xué)家的腦海里是根深蒂固的。隨著的出現(xiàn)，希臘人漸漸開始重新審視他們的數(shù)學(xué)，圖形和直觀并不是萬能的，推理和邏輯走上了數(shù)學(xué)的舞臺(tái)。此時(shí)西方數(shù)學(xué)</p><p>　　成為以證明為主的證明數(shù)學(xué),他們要的是準(zhǔn)確的數(shù)學(xué),或者說他們的數(shù)學(xué)推崇準(zhǔn)確性。表現(xiàn)形式就是:邏輯、演繹的體系?？梢娝侵缸C明的數(shù)學(xué)與算的數(shù)學(xué)正好相反。希臘人重視邏輯和演繹

14、的證明，反證法最早應(yīng)用在歐幾里得的《幾何原本》中。</p><p>　　法國數(shù)學(xué)家J·阿達(dá)瑪在其所著《初等數(shù)學(xué)教程》（平面幾何卷）中作了最準(zhǔn)確、最簡明扼要、最精辟的描述：“反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。反證法作為一種最重要且基本的數(shù)學(xué)證明方法，在數(shù)學(xué)命題的證明中被廣泛應(yīng)用。歐幾里得證明“素?cái)?shù)有無窮多”的結(jié)論，歐多克斯證明“兩個(gè)正多邊形的面積比等于其對(duì)應(yīng)線段比的平方”的結(jié)論

15、， “最優(yōu)化原理”的證明，伽利略推翻“不同重量的物體從高空下落的速度與其重量成正比”的斷言，“上帝并非全能”的證明，都用了反證法。在我們自身學(xué)習(xí)的各個(gè)階段，反證法一直伴隨著我們。</p><p>　　1.2 反證法的定義</p><p>　　反證法有多種不同的描述，其本質(zhì)都是一樣的。</p><p>　　最早的法國數(shù)學(xué)家J·阿達(dá)瑪在其所著《初等數(shù)學(xué)教程》（

16、平面幾何卷）中作了如下的描述：“反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。</p><p>　　維基百科中這樣描述“反證法是一種論證方式，他首先假設(shè)某命題不成立即在原命題的條件下，結(jié)論不成立，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說原假設(shè)不成立，原命題成立。</p><p>　　反證法從屬于間接證明法的范疇，是從反面考慮問題的證明方法，既方便又實(shí)用。</p>

17、<p>　　1.3 反證法的邏輯基礎(chǔ)</p><p>　　反證法是一種簡單卻又行之有效的證明方法，從其創(chuàng)立至今就一直被廣泛應(yīng)用。它的優(yōu)點(diǎn)是，即使不知道怎樣直接證明，也能辨別該命題的真?zhèn)?。最基本得事?shí)便是，一個(gè)命題的反命題導(dǎo)致了矛盾，則原命題是正確的。</p><p>　　1.3.1 反證法的出發(fā)點(diǎn)</p><p>　　第一步就是要否定論題，構(gòu)造與原論題具

18、備矛盾關(guān)系的矛盾論題。然后從矛盾論題出發(fā)，進(jìn)行推理。而不是從，或，或，或出發(fā)。</p><p>　　1.3.2 反證法的推理過程</p><p>　　反證法的推理過程，必須保證是合乎邏輯的，并且要用否定的結(jié)論作為推理的前提依據(jù)，否則便不會(huì)倒出矛盾。另外，還必須要求題設(shè)作為真命題，在推理過程中作為前提使用，或者與推理結(jié)果相矛盾而發(fā)生作用。</p><p>　　綜上反證

19、法即指從“題設(shè)與假設(shè)”出發(fā)，推出結(jié)果記為，或者寫成“”成立，可以是與公理、定義、已證明的定理或當(dāng)作真命題題設(shè)相矛盾；也可以本身包含兩個(gè)結(jié)果互相矛盾。 1.3.3 反證法的邏輯基礎(chǔ)</p><p>　　反證法由導(dǎo)出矛盾“”，而判定矛盾論題“”不成立，從而肯定論題正確。其邏輯依據(jù)是形式邏輯中的兩個(gè)基本規(guī)律——矛盾律和排中律。</p><p>　　矛盾律的內(nèi)容是在同一推理過程中，成矛盾

20、關(guān)系或反對(duì)關(guān)系的兩個(gè)判斷不能同真，必有一假。若已知其中一個(gè)為真，則可判斷另一個(gè)必假。所謂推出“矛盾”是指推出結(jié)果與已知真命題之間的矛盾，這時(shí)與已知真命題之間成立是矛盾關(guān)系或反對(duì)關(guān)系，故根據(jù)矛盾律必有假。由“”和“假”這兩個(gè)真判斷出發(fā)，可推出假。</p><p>　　排中律的內(nèi)容是在同一推理過程中，成矛盾關(guān)系的兩個(gè)判斷，不能同為假，必有一真。若已知其中一個(gè)為假，則必有為真。</p><p>

21、　　這里，我們指出論題和反論題、假設(shè)和結(jié)論間的矛盾 ，導(dǎo)出結(jié)果和真命題間的矛盾是有區(qū)別的。原因在于作出假設(shè)與推出結(jié)果的目的不同，為達(dá)到論證目的所根據(jù)的邏輯規(guī)律——矛盾律與排中律的適用范圍也不盡相同。矛盾律對(duì)矛盾關(guān)系和反對(duì)關(guān)系的判斷都適用，所以結(jié)果與已知真命題既可以是矛盾關(guān)系，也可以是反對(duì)關(guān)系，推出與已知真命題相矛盾的結(jié)果，就是為了依據(jù)矛盾律由已知真命題斷定為假，從而達(dá)到矛盾論題為假。排中律只使用于具有矛盾關(guān)系的判斷，所做出的假設(shè)與結(jié)論，

22、反論題與論題只能是矛盾關(guān)系，借依排中律由假推真。</p><p>　　1.4 反證法的分類</p><p><b>　　1.4.1 歸謬法</b></p><p>　　若命題的反面只有一種情形，則只需把這一種情形駁倒，便可達(dá)到反正的目的。</p><p>　　例 1 兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，則原兩條直線互相平行。&

23、lt;/p><p><b>　　已知：,</b></p><p><b>　　求證：</b></p><p>　　現(xiàn)用反證法予以證明。</p><p><b>　　假設(shè)與不平行，</b></p><p><b>　　則</b></

24、p><p><b>　　、</b></p><p><b>　　臨時(shí)假設(shè)。</b></p><p><b>　　故。</b></p><p><b>　　1.4.2 窮舉法</b></p><p>　　若命題題段反面不止一種情況，則必須

25、將其逐一駁倒，才能間接證明梯段的正面成立。這就叫窮舉反正。</p><p><b>　　例 2 若則有</b></p><p>　　證明：假若不然，則有</p><p><b>　　與題設(shè)矛盾；</b></p><p><b>　　與題設(shè)矛盾。</b></p>

26、<p><b>　　因此，</b></p><p>　　第 2 章 反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)的適用范圍以及例題 </p><p>　　在上一章中我們主要介紹了一些反證法的概念，對(duì)于反正法的定義、歷史及邏輯基礎(chǔ)有了一定的了解，反證法這種間接證明方法理論上可以用于證明任何題目，但是它像直接證明一樣總有局限性，在這一章中我們主要介紹常用反證法的幾類題目。</p>

27、;<p>　　2.1 基本定理或初始命題的證明</p><p>　　在各數(shù)學(xué)分支中，按照公理化方法最初建立的是不多的定義、公理，某些基本定理或初始命題難以找到直接證明的論據(jù)，在這種情況下，反證法是我們的首選。</p><p>　　例 1 求證：在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角</p><p><b>　　是鈍角.</b></p&

28、gt;<p>　　證明：已知是三角形 的</p><p>　　三個(gè)內(nèi)角.（如圖1）</p><p>　　求證：中不能有兩個(gè)鈍角.</p><p>　　證明：假如 中有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)，則.這與“三角形內(nèi)角和為”這一定理相矛盾.故均大于不成立.所以，一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)鈍角. </p><p><b>　　2.2 否定

29、性命題</b></p><p>　　結(jié)論以“沒有……”、“不是……”、“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法不容易入手，反證法可以發(fā)揮它的作用。</p><p>　　例 2 求證:若為自然數(shù) ,則不能被15整除。 </p><p>　　證明：假設(shè)能被15整除,則必然能被5整除 </p><p>　　的尾數(shù)必然為5或0,</p

30、><p><b>　　又 為偶數(shù) </b></p><p>　　的尾數(shù)必然為0,即的尾數(shù)必然為8。 </p><p>　　對(duì)任意自然數(shù)的尾數(shù)均不為8,所以假設(shè)錯(cuò)誤。 </p><p>　　2.3 關(guān)于唯一性、存在性、至多至少命題</p><p>　　例 3 當(dāng)時(shí)，試證方程多于和中

31、，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根。</p><p>　　分析：“至少有一個(gè)”就是“有一個(gè)”，“有兩個(gè)”，……，然而很容易理解它的反面是“一個(gè)都沒有”，屬于存在性問題，宜用反證法。</p><p>　　證明：假設(shè)兩個(gè)方程，都沒有實(shí)根，即，</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以</

32、b></p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　矛盾</b></p><p>　　所以說明和中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根。</p><p>　　說明：遇到存在性問題，作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)時(shí)要認(rèn)真弄清題意。</p><p>　　例 4 試證: 存

33、在無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)。</p><p>　　證明: 設(shè)質(zhì)數(shù)只有個(gè): ，……,取正整數(shù)……,不能被這個(gè)</p><p>　　質(zhì)數(shù)中的任一個(gè)整除，因用這個(gè)質(zhì)數(shù)。的任一個(gè)去除,余數(shù)都是1.因此,或者本身就是質(zhì)數(shù)(顯然不等于 中任一個(gè)),或者還含有除這個(gè)質(zhì)數(shù)外的質(zhì)因數(shù),這些都與質(zhì)數(shù)僅有個(gè)的反設(shè)是矛盾的,故質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)不能是有限的,即是無限的。</p><p>　　說明：對(duì)于這類命題,

34、如果從正面去討論一個(gè)無限的對(duì)象具有某種性質(zhì)其工程經(jīng)常非常浩大,以至不可能實(shí)施.當(dāng)采用反證法時(shí),就可把無限轉(zhuǎn)化為有限.這樣,論證起來自然就要簡單確定得多。</p><p>　　例 5 設(shè)函數(shù) 都是上的實(shí)值函數(shù)，</p><p><b>　　證明：存在使得1.</b></p><p>　　分析:本題所涉及到的函數(shù)都是抽象函數(shù)，在這類題中想從正面直接

35、找出比較困難，這時(shí)從反面入手，通過驗(yàn)證不成立，來肯定結(jié)論.</p><p>　　證明：假設(shè)對(duì)任意的都有 ，則</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，有</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，有</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，有</b></p><

36、p><b>　　當(dāng)時(shí)，有</b></p><p><b>　　由不等式的性質(zhì)有：</b></p><p><b>　　,使得.</b></p><p>　　例 6 是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：</p><p><b>　　對(duì)任意的，都有；</

37、b></p><p>　　存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有. 設(shè) , 如果存在 使得,證明這樣的是惟一的.</p><p>　　分析:假設(shè)不惟一，也即存在另外的滿足條件的根，假設(shè)存在外的另一實(shí)數(shù)滿足條件，導(dǎo)出與惟一性相矛盾的結(jié)論.</p><p>　　證明：假設(shè)存在另一實(shí)數(shù),使得.</p><p><b>　　,由得,即,<

38、/b></p><p>　　又，顯然上式不成立.</p><p>　　故假設(shè)不成立，從而原命題成立.</p><p>　　點(diǎn)撥：抽象函數(shù)因?yàn)槠涑橄笮允俏覀兊乃澜?，一定要注意歸納、總結(jié). 反證法能夠?yàn)槌橄蠛瘮?shù)的證明帶來很多便利，因而一定要注意反證法的嫻熟應(yīng)用。</p><p><b>　　2.4 無窮型命題</b>&

39、lt;/p><p>　　例 7 質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的</p><p>　　分析：無窮型命題直接從正面證明很難，從反面證明將無窮轉(zhuǎn)化為有窮是反證法最能顯現(xiàn)出它優(yōu)勢的。反證法的出現(xiàn),無非是為了解決人類思維中的一個(gè)結(jié)癥——無限思維。在西方證明數(shù)學(xué)里,極其重視證明過程中邏輯的嚴(yán)密性。因此第一次數(shù)學(xué)危機(jī)和第二次數(shù)學(xué)危機(jī)都與無限有關(guān),即無理數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù))和無窮小(極限問題)西方數(shù)學(xué)家不能給無理數(shù)和無窮

40、小以準(zhǔn)確的定義,也不能解釋與之有關(guān)的(芝諾提出的)兩個(gè)悖論。因此在處理無限的問題上,借助邏輯中介(反證法)化無限為有限,再去完成其證明。</p><p><b>　　證明：假設(shè)質(zhì)數(shù)有.</b></p><p>　　令則不能被中的任何一個(gè)整除故也是一個(gè)質(zhì)數(shù)與假設(shè)矛盾，所以質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)。</p><p>　　第 3 章 應(yīng)用反證法應(yīng)注意的問題&l

41、t;/p><p><b>　　3.1 反設(shè)要正確</b></p><p>　　用反證法證明一道題目，首先要能正確否定結(jié)論，這是運(yùn)用反證法的首要問題。</p><p>　　如：命題“一個(gè)三角形中，至多有一個(gè)內(nèi)角是鈍角”?！爸炼嘤幸粋€(gè)”指：“只有一個(gè)”或“沒有一個(gè)”，其反面是“有兩個(gè)鈍角”或“三個(gè)內(nèi)角都是鈍角”，即“至少有兩個(gè)是鈍角”。</p&g

42、t;<p>　　3.2 明確推理特點(diǎn)</p><p>　　使用反證法證題，要明確我們的任務(wù)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾，但是何時(shí)出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾卻是不能預(yù)知的，一般我們總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（例如,立體幾何問題往往聯(lián)系到相關(guān)的判定定理等），這就是反證法推理的特點(diǎn)。因此，我們?cè)谶\(yùn)用反證法時(shí)只需正確否定結(jié)論，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，一旦出現(xiàn)了矛盾，證明也就結(jié)束了。</p><p>

43、;　　3.3 善于靈活運(yùn)用</p><p>　　雖然數(shù)學(xué)證明題一般都可采用反證法，但并不是說，所有證明題都應(yīng)該使用反證法來證明，就多數(shù)題目來說，用直接證法就可以證出來，不能一味往反證法上面靠，要靈活運(yùn)用反證法，畢竟我們平時(shí)訓(xùn)練的題目多是運(yùn)用的直接證法。對(duì)待用反證法證題的策略思想是：首先試用直接證法，若一時(shí)不能成功，即可使用反證法。</p><p>　　第 4 章 反證法的教學(xué)價(jià)值及建議&l

44、t;/p><p>　　關(guān)于反證法的教學(xué)，從早期就要向?qū)W生滲透這種思想，凡事不一定非常嚴(yán)謹(jǐn)，只要學(xué)生能夠明白、認(rèn)可其中的說理就可以。</p><p>　　例如，在黑板上寫出三個(gè)整數(shù)，然后擦去一個(gè)換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到66,88,99.問原來三個(gè)數(shù)字能否是1,3,5？對(duì)于這個(gè)問題的判斷就可以使用反證法的思想，那就是如果原來寫的是1,3,5，那么從第一次改變后，三個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)是兩個(gè)

45、奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，所以不可能是像66,88,99這樣兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)的狀態(tài)。</p><p>　　另外，由于數(shù)學(xué)歸納法也可以用反證法證明，所以凡是能用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題，就一定能用反證法證明。一般思路就是：若命題并非對(duì)任意的都真，則存在不真。假設(shè)所有的這樣的組成集合,用證明數(shù)學(xué)歸納法相同的方法，從最小數(shù)原理推出矛盾來說明之。</p><p>　　4.1 反證法的教學(xué)價(jià)值</p>

46、<p>　　4.1.1 訓(xùn)練逆向思維 </p><p>　　為了解決一個(gè)面臨的數(shù)學(xué)問題,通?？偸窍葟恼嫒胧诌M(jìn)行思考,即根據(jù)問題中的已知條件,搜索運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)去推理運(yùn)算逐步由已知導(dǎo)出末知。若從正面入手繁瑣或難度較大,不妨考慮問題的相反方面,往往會(huì)絕處逢生,開拓解題思路。這種逆向思維,在數(shù)學(xué)解題中有4種形式:正逆運(yùn)算轉(zhuǎn)化、條件,結(jié)論轉(zhuǎn)化、互為反函數(shù)間的轉(zhuǎn)化、以反記法解題,反記法的教學(xué)能擺脫學(xué)生的

47、思維定勢、簡化運(yùn)算過程,明晰解題思路,提高解題速度,促進(jìn)創(chuàng)新思維。</p><p>　　4.1.2 促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的形成 </p><p>　　數(shù)學(xué)思想方法是科學(xué)思維的方法和技術(shù),是數(shù)學(xué)的精髓,它為揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，提供了有力的思想武器。數(shù)學(xué)思想方法是動(dòng)態(tài)思辯的,重在培養(yǎng)創(chuàng)造性、開拓性人才。新一輪課程教學(xué)改革強(qiáng)調(diào)創(chuàng)造性、生成性,得以形成數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思維,如何去做是我們關(guān)注的。中國初等數(shù)學(xué)教育明

48、顯的好于西方,但到大學(xué)階段的學(xué)生卻缺少創(chuàng)造性,很難有所成就 ,更不必說獲諾貝爾獎(jiǎng),這種情況早就應(yīng)引起我們反思。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)偏重于解題訓(xùn)練,題海戰(zhàn)術(shù)。而啟發(fā)性思維、理解、悟得思想方法的不多。因而形成學(xué)生成績的兩極分化,討厭數(shù)學(xué),甚至數(shù)學(xué)尖子生也遠(yuǎn)離數(shù)學(xué),回想起數(shù)學(xué)來就心生畏懼。加強(qiáng)思想方法教學(xué)是數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求,是當(dāng)下世界經(jīng)濟(jì)競爭的需要,也是提高全民族整體素質(zhì)的重要舉措。是社會(huì)發(fā)展的需要,更是提高數(shù)學(xué)質(zhì)量的基本保證。而通過反證法的訓(xùn)練是培

49、養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的很好途徑。歐幾里德很喜歡運(yùn)用的歸謬法，它是數(shù)學(xué)家最有力的一件武器,比起象棋開局時(shí)犧牲一子以取得全局的讓子法,它還要高明。象棋奕者不外犧牲一卒或頂多一子,數(shù)學(xué)家索性把全局拱手讓給對(duì)方！”這種先棄后取、欲擒故縱的策略實(shí)在是數(shù)學(xué)證明中極為有效的一種方法。</p><p>　　4.1.3 培養(yǎng)思維嚴(yán)密性 </p><p>　　訓(xùn)練邏輯思維能力反證法是典型的間接證法,也是通過證明原命

50、題的等價(jià)命題從而證明原命題。在證明過程中的每一環(huán)節(jié)都要全面、不遺漏。比如否定原題結(jié)論反設(shè)后有幾種情況,必須進(jìn)行分類討論,一一加以否定。反證法與直接證法是密切聯(lián)系的，二者相結(jié)合往往相輔相成,相得益彰。就全局而言是反證法,但從局部看,在作反設(shè)后的推理過程用的是直接證法。有時(shí)在基本直接證法的推理中,又會(huì)穿插一段反證法,以確定某些所需論據(jù),反設(shè)時(shí),必須注意弄清原題結(jié)論的反面,周密地列出與原題結(jié)論相悖的所有不同情況,再否定,不能有所遺漏。<

51、/p><p>　　4.1.4 滲透數(shù)學(xué)史 </p><p>　　提高辯證思維的能力反證法是一種重要的證明方法,無論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中,都有廣泛的應(yīng)用,數(shù)學(xué)中一些基本性質(zhì),重要定理甚至某些著名的數(shù)學(xué)難題,往往用反證法證得。舉世聞名的費(fèi)爾馬大定理,這個(gè)多年前的數(shù)學(xué)難題被攻克,就是反證法的的功績,歐幾里德曾用它證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)。因此反證法對(duì)訓(xùn)練學(xué)生辨證思維,提高哲學(xué)修養(yǎng)很有價(jià)值。</p

52、><p>　　4.2 反證法的教學(xué)建議</p><p>　　由于反證法的邏輯依據(jù)是邏輯學(xué)和集合論,比較復(fù)雜,所以書上沒有給出其概</p><p>　　念,從小學(xué)、初中、到高中都用到,代數(shù)、幾何都使用。為此教學(xué)工作如下設(shè)想。</p><p>　　4.2.1 多次反復(fù), 螺旋上升</p><p>　　反證法的知識(shí)本身很難,學(xué)生

53、多次學(xué)習(xí)都感到似懂非懂,下次見到又是生面孔,因此,不能期待一次完成,一蹴而就,要通過看書,示范例題,探索解題,回顧推敲,揭示內(nèi)涵,思悟提高,等慢慢地掌握。</p><p>　　4.2.2 精心研究, 訓(xùn)練反設(shè)</p><p>　　在反證法證明中準(zhǔn)確了解掌握命題結(jié)構(gòu),列出其否定式是十分重要的。</p><p>　　4.2.3 滲透數(shù)學(xué)思想方法, 訓(xùn)練嚴(yán)密</p&

54、gt;<p>　　先由教師引導(dǎo),將思想隱于分析過程中,再師生共同概括提煉,加以量化。然后</p><p>　　由學(xué)生反過程,探索分析問題思想,以達(dá)到提高、升華。最后,力求使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用反證法思想武器指導(dǎo)思維活動(dòng),在高層次感受其威力。</p><p>　　4.2.4 共同探究, 總結(jié)歸謬類型</p><p>　　歸謬是用反證法證明的核心部分。為了進(jìn)行新的

55、否定,必須在推理過程中有意</p><p>　　識(shí)地制造矛盾并及時(shí)地發(fā)現(xiàn)矛盾。通?？梢詮囊韵聨讉€(gè)方面去尋找矛盾。</p><p>　　(1)導(dǎo)出新結(jié)論與公理矛盾。</p><p>　　例 1 設(shè)是同一平面內(nèi)的三條直線,且求證:</p><p>　　證明:假設(shè)不平行,則直線必交與一點(diǎn),由已知條件說明過直線作一點(diǎn),可作兩條相交直線與已知直線平行,

56、與平行公理矛盾,所以.</p><p>　　(2)導(dǎo)出的新結(jié)論與已知定義矛盾。</p><p>　　例 2 設(shè)是同一平面內(nèi)的三條直線,且,與斜交,求證:相交。</p><p>　　證明:假設(shè)不相交,則必有</p><p>　　與斜交,,從而,即與的交角不是直角,這與垂線定義相矛盾,所以必相交。</p><p>　　(3

57、)導(dǎo)出的新結(jié)論與已知的定理矛盾。</p><p><b>　　(見例1)</b></p><p>　　例 3 兩個(gè)自然數(shù)的任意一個(gè)公倍數(shù)</p><p>　　都是其最小公倍數(shù)的倍數(shù)。如，而是的任意一個(gè)公倍數(shù),那么。</p><p>　　證明: 假設(shè)那么用除 得同樣這與矛盾,</p><p>　　(

58、4)尋出的新結(jié)論與反設(shè)相矛盾。</p><p>　　例 4 求證不是有理數(shù)。</p><p>　　證:假設(shè)是有理數(shù)。注意到處= 1< 2 < 4 =2,則可設(shè),其中為互素的互整數(shù), ①平方得即②所以是偶數(shù),此時(shí)也是偶數(shù),由此代入② ,所以是偶數(shù),此時(shí)也是偶數(shù),也是偶數(shù),于是均為偶數(shù),有公因數(shù)2,這與互素的假設(shè)矛盾,因此2 不是有理數(shù)。</p><p>　

59、　(5)得出的結(jié)論與推理過程中間某一結(jié)論矛盾,即自相矛盾。</p><p>　　例 5 試證明三個(gè)連續(xù)整數(shù)中的最大一個(gè)數(shù)的立方不可能等于其它的數(shù)的立方和。</p><p>　　證:設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)為假設(shè)成立,化簡得(1)、故與同為正數(shù),即知,則有與(1)式矛盾,故原命題成立。</p><p><b>　　第 5 章 總結(jié)</b></p>

60、;<p>　　反證法是一種特別重要的證明方法，在數(shù)學(xué)中非常普遍，尤其是高等數(shù)學(xué)；在初等數(shù)學(xué)中用處也很廣泛，但是不能很好的被學(xué)生掌握，究其原因，于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有很大的關(guān)系。反證法的出現(xiàn)，主要是解決困擾西方很多年的無限問題。西方很重視數(shù)學(xué)證明中邏輯的嚴(yán)密性，第一第二次數(shù)學(xué)危機(jī)都與無限有關(guān)，無理數(shù)與無窮小。通過反證法化無限為有限來解決問題，方便很多。中國與西方不同，很少受到無限思維的困擾，中國人多用反駁而少用反證法。</p

61、><p>　　反證法的這種逆向思維的方式，在我們的數(shù)學(xué)道路上扮演著很重要的角色，是我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的另一道門，學(xué)習(xí)研究反證法使我受益匪淺。</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　衷心感謝王志璽老師在本篇論文寫作過程中的指導(dǎo)和幫助。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b><

62、;/p><p>　　[1] 肖承法.反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.新課堂，2010. </p><p>　　[2] 孫宗明.數(shù)學(xué)證明方法[M].蘭州大學(xué)出版社,1995.56.</p><p>　　[3] 周春荔.數(shù)學(xué)觀與方法論[M].首都師范大學(xué)出版社,1996:151、153.</p><p>　　[4] 蔡親鵬，陳建花.數(shù)學(xué)教育學(xué). 浙江大學(xué)出