多元函數(shù)及其微分學(xué)(第13-15章綜合題)

1、<p>　　多元函數(shù)及其微分學(xué)(第13-15章綜合題)</p><p><b>　　一. 選擇題</b></p><p><b>　　設(shè),則( )</b></p><p>　　(A) ； (B) ；(C) ； (D) </p><p>　　(A); (B); (C);

2、(D).</p><p><b>　　設(shè)函數(shù)，則</b></p><p>　　(A)極限存在，但在點(diǎn)處不連續(xù);</p><p>　　(B) 極限存在，且在點(diǎn)處連續(xù);</p><p>　　(C)極限不存在，故在點(diǎn)處不連續(xù);</p><p>　　(D)極限不存在，但在點(diǎn)處連續(xù);.</p>

3、<p>　　函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)連續(xù)的</p><p>　　(A)充分條件，但不是必要條件; (B)必要條件，但不是充分條件; </p><p>　　(C)充分必要條件; (D)既不是充分條件，也不是必要條件.</p><p>　　設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則</p><p>　　(A); (B) ;</p>

4、<p>　　(C) ; (D) .</p><p><b>　　若，，則在是</b></p><p>　　(A)連續(xù)且可微; (B) 連續(xù)但不一定可微; (C) 可微但不一定連續(xù); (D) 不一定連續(xù)也不一定可微.</p><p>　　設(shè)為可微分函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有及，則當(dāng)()時(shí)</p><p>　　(A); (

5、B) ; (C)0; (D) 1.</p><p>　　設(shè)是由方程所定義的隱函數(shù)，其中是變量的任意可微函數(shù)，為常數(shù)，則必有</p><p>　　(A); (B) ; (C) ; (D) .</p><p>　　已知函數(shù)均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么</p><p>　　(A); (B) ;(C) ; (D) .</p><

6、p>　　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)可微分，為基本單位向量，則函數(shù)u在點(diǎn)處的梯度</p><p>　　(A); (B) ;(C) ;(D). </p><p>　　曲線在點(diǎn)的切線一定平行于</p><p>　　(A) xoy面; (B) yoz面;(C) zox面; (D) 平面. </p><p>　　曲面在點(diǎn)的切平面方程為</p&

7、gt;<p>　　(A) ; (B) ;(C) ; (D) .</p><p>　　曲面與平面在點(diǎn)處的夾角為</p><p>　　(A); (B) ;(C) ; (D) .</p><p>　　平面是曲面與在點(diǎn)處的切平面，則的值是</p><p>　　(A); (B);(C) 2; (D).</p>&

8、lt;p>　　函數(shù)滿足的條件極值是</p><p>　　(A) 1;(B) 0;(C); (D). </p><p>　　已知矩形的周長為，將它繞其一邊旋轉(zhuǎn)而形成的一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，當(dāng)此旋轉(zhuǎn)體的體積為最大時(shí)，矩形兩邊的長分別為</p><p>　　(A) ; (B) ;(C) ; (D). ;</p><p>　　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微，且，

9、則在點(diǎn)</p><p>　　(A)必有極值,可能是極大,也可能是極小; (B)可能有極值，也可能沒有極值; (C)必有極大值; (D)必有極小值.</p><p>　　已知為某函數(shù)的全微分，則a等于</p><p>　　(A); (B) 0;(C) 1; (D) 2。</p><p><b>　　二元函數(shù)在處</b>

10、</p><p>　　(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在; (B) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在;(C) 不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在; (D) 不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在;</p><p>　　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)可微分，則在點(diǎn)處有 ( ).</p><p><b>　　二. 填空題</b></p><p>　　設(shè)，且當(dāng)時(shí)，則函數(shù)f為

11、 ；z= ;</p><p>　　設(shè)，則 ；</p><p>　　設(shè)，而，則u關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)= ；</p><p>　　設(shè)由方程確定，于是z關(guān)于x的二階偏導(dǎo)數(shù)為 ;</p><p

12、>　　利用變量替換，一定可以把方程化為新的方程 ；</p><p>　　設(shè)，，，則(1) ；(2)在 方向上，方向?qū)?shù)有最大值；(3) 在 方向上，方向?qū)?shù)有最小值；(4) 在 方向上，方向?qū)?shù)為0；(5)函數(shù)在點(diǎn)的梯度 。</p><

13、;p>　　橢圓上點(diǎn) 處的法線與原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)。</p><p>　　函數(shù)在點(diǎn)處沿A點(diǎn)指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為 ；</p><p>　　設(shè)，可導(dǎo)，則 ；</p><p>　　設(shè)，其中是由確定的隱函數(shù)，則 ；</p><p>

14、;<b>　　判斷題</b></p><p>　　若從對(duì)無窮多種方式趨于時(shí)，函數(shù)都無限接近于A，則。 ( )</p><p>　　二元函數(shù)在處偏導(dǎo)數(shù)都存在，則在處連續(xù)。 ( )</p><p>　　三元函數(shù)的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)必然同時(shí)存在或同時(shí)不存在。

15、 ( )</p><p>　　在有偏導(dǎo)數(shù)，則在可微分的充要條件是。( )</p><p>　　二元函數(shù)在處二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則在處可微。 ( )</p><p>　　光滑曲面在任意點(diǎn)的法向量為。 ( )</p><p&g

16、t;　　函數(shù)在處沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，則在可微分。 ( )</p><p>　　函數(shù)在處的方向?qū)?shù)必介于與之間。 ( )</p><p>　　梯度方向是函數(shù)在該點(diǎn)增加最快的方向。 ( )</p><p>　　一元復(fù)合函

17、數(shù)具有一階微分形式的不變性，二元和多元函數(shù)則沒有。 ( )</p><p><b>　　解答題</b></p><p>　　求函數(shù)的全微分，并研究在點(diǎn)處函數(shù)的全微分是否存在？</p><p>　　設(shè)，其中為由確定的隱函數(shù)，試求。</p><p>　　在已知周長為的一切三角

18、形中，求面積最大的三角形及其面積。</p><p>　　求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲面在該點(diǎn)的指向外側(cè)的法向量的方向?qū)?shù)。</p><p>　　設(shè)，，，其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求。</p><p>　　設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而滿足方程，求。</p><p><b>　　設(shè)，求。</b></p><p>

19、;　　設(shè)z是x，y的函數(shù)，用變換方程為以u(píng)，v為自變量的形式。</p><p>　　過曲面上一點(diǎn)，作切平面，并使切平面的法線與z軸的夾角恒為，試求的軌跡方程。</p><p>　　設(shè)平面四邊形的各邊長一定，分別為，問對(duì)角與具有什么關(guān)系時(shí)，此四邊形的面積最大。</p><p>　　已知曲線，其中為可微函數(shù)，為常數(shù)，求曲線上點(diǎn)的切線與xoy面所成角的正切。</p&

20、gt;<p>　　求在上的最大值與最小值。</p><p><b>　　設(shè)確定了，求。</b></p><p>　　設(shè)函數(shù)由方程確定，的偏導(dǎo)數(shù)存在，計(jì)算+。</p><p>　　設(shè)函數(shù)且，試確定常數(shù)，使函數(shù)能滿足方程：</p><p>　　設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，，，求，。</p>&

21、lt;p>　　設(shè)，函數(shù)由方程確定，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)，求。</p><p>　　設(shè)函數(shù)可微，，，，令，求。</p><p>　　設(shè)都具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，，求。</p><p><b>　　五. 證明題</b></p><p><b>　　證明極限不存在。</b></p>

22、<p>　　確定函數(shù)的定義域，并證明此函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的。</p><p>　　設(shè)二次可微，且，，試證：。</p><p>　　設(shè)為銳角三角形，為其內(nèi)一點(diǎn)，令，證明：在取極值的點(diǎn)P0處，向量，，所夾的角相等。</p><p><b>　　設(shè)，證明。</b></p><p>　　證明：函數(shù)，若及于點(diǎn)（0,

23、0）處的鄰域中連續(xù)且有有界的偏導(dǎo)數(shù)和，但此函數(shù)于點(diǎn)（0,0）處不能微分。</p><p>　　證明：函數(shù)，若及于點(diǎn)（0,0）處的鄰域中連續(xù)且有有界的偏導(dǎo)數(shù)和，這些偏導(dǎo)數(shù)于點(diǎn)（0,0）是不連續(xù)的且在此點(diǎn)的任何鄰域中是無界；然而此函數(shù)于點(diǎn)（0,0）可微分。</p><p>　　證明：于某凸形的域內(nèi)有有界的偏導(dǎo)數(shù)和的函數(shù)于域內(nèi)一致連續(xù)。</p><p>　　證明：若函數(shù)對(duì)

24、變數(shù)是連續(xù)的（對(duì)每一個(gè)固定的值）且有對(duì)變數(shù)的有界的導(dǎo)函數(shù)，則此函數(shù)對(duì)變數(shù)和的總體是連續(xù)的。</p><p><b>　　六、綜合題：</b></p><p><b>　　求橢圓的面積。</b></p><p>　　設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(1,1)處可微，且，，，，求。</p><p>　　有搭制一帳幕，下為圓柱