數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展過程中的“累積”與“突現(xiàn)”

1、<p>　　數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展過程中的“累積”與“突現(xiàn)”</p><p>　　【摘 要】數(shù)學作為人類社會實踐的產(chǎn)物，在其萌芽和發(fā)展過程中體現(xiàn)出雙重特性。從社會發(fā)展需要角度來看，數(shù)學思想和知識是人們?nèi)粘Ｉ畹慕?jīng)驗積累，具有“實用性”。數(shù)學的發(fā)展具有漸進和“累積式”的特性；從一種娛樂和自我炫耀性的需要或者某種宗教情結(jié)的角度來看，數(shù)學知識和思想表現(xiàn)為個體性創(chuàng)造（尤其是大膽猜想和假設），具有“超實用性”。數(shù)學的發(fā)展

2、表現(xiàn)為“躍遷”或者“突現(xiàn)式”的特征。整個數(shù)學發(fā)展都是這兩種發(fā)展特性的交替彰顯。 </p><p>　　【關鍵詞】實用性；超實用性；累積；突現(xiàn) </p><p>　　數(shù)學作為一門獨立的理性學科，是在古希臘數(shù)學的全面發(fā)展基礎上確立起來的。但早期的古代文明社會已經(jīng)累積出現(xiàn)數(shù)學的開端和萌芽，其中不乏天才性的數(shù)學思想和知識。 </p><p>　　一、數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展過程的累

3、積性 </p><p>　　公元前3000年左右的古巴比倫和古代埃及出現(xiàn)了簡單的數(shù)學思想。此時的數(shù)學思想主要產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐活動：對生活必須品的物物交換逐漸催生了簡單的計數(shù)與計算，如有些原始文明知道且能運算較大的整數(shù)，產(chǎn)生了一些數(shù)的特殊記號，甚至還發(fā)明了簡單的運算法則及用文字表述的分數(shù)的運算規(guī)律。對物質(zhì)實體的長期觀察慢慢形成了最初始的幾何概念，如直線，圓和角。在這些原始文明中，數(shù)學的運用僅僅限于田地面積的粗略測算，

4、織在布上的花格和記時等。 </p><p>　　以古巴比倫為代表的算術和以古埃及為代表的幾何共同構(gòu)鑄了數(shù)學的雛形。古埃及數(shù)學以“林德數(shù)學書卷”最為著名，其內(nèi)容大致如下： </p><p>　　表1 林德數(shù)學手卷算題內(nèi)容綜述 </p><p>　　算題編號 算題內(nèi)容 附注 </p><p>　　7—23 單分數(shù)相加，結(jié)果成1的問題 </p

5、><p>　　單分數(shù)加倍表 將單分數(shù)1/n加倍即2/n表為單分數(shù)之和 n=5，7，9 </p><p>　　24—38；47；80—81 一元一次方程 系數(shù)為整數(shù)加單分數(shù) </p><p>　　1—6；39—40；61；63—65；67—68 面包之平均與多項不均分配 分數(shù)與負比例問題 </p><p>　　62；66；69—78；82—84 價

6、值、交換、供食 簡易比例問題 </p><p>　　41—43；48；50 圓柱體積，相當于用圓面積A=（8d/9）2 相當于π=256/81≈3.16 </p><p>　　44—46；49；51—60 長方、三角及梯形面積；斜率 </p><p>　　79 求特殊幾何級數(shù)之和：r=U（0）；U（n）=rU（n-1）；S（n）=r[1+S（n-1）] </p

7、><p>　　手卷內(nèi)容可分為簡單分數(shù)運算、比例問題、一元一次方程和幾何形球體求面積、體積等。后續(xù)的如莫斯科手卷等大都記載日常生產(chǎn)中的幾何問題。希臘歷史學家希羅多德（Herodotus）談到，古埃及是因為尼羅河每年洪水過后需要重新劃定農(nóng)民土地的邊界，而這一邊界的劃定會直接影響農(nóng)民的上稅，因此才產(chǎn)生了受重視的幾何學，可以說，幾何學是“尼羅河的恩賜”。生產(chǎn)勞作使得人們需要知道洪水的汛期與季節(jié)變化的規(guī)律，這就需要知道洪水到來

8、前的天文現(xiàn)象，數(shù)學就被拓展到天文和土地測量方面。 </p><p>　　蘇美爾時期，巴比倫就摸索出了六十進制的記數(shù)法和簡單算術，這套系統(tǒng)至今仍被用于角度與時間的計量上；在算術上，古巴比倫人對整數(shù)和分數(shù)提出了較系統(tǒng)的記法，使得算術被推進到相當高的程度，并利用實踐獲知的知識來解決眾多實際問題，特別是天文學上的問題。雖然兩個文明擁有如此輝煌的數(shù)學成就，但卻無傳世的數(shù)學家與哲學家，這是因為此間的數(shù)學與其他知識一樣，都來自

9、于豐富的實際生產(chǎn)活動，作為經(jīng)驗知識一部分的數(shù)學知識，在解決日常問題的過程中逐漸累積形成的，與其他知識相比并沒有本質(zhì)的區(qū)別，因此也就不需要專門的抽象的、理論化的數(shù)學家和哲學家出現(xiàn)，這一時期的數(shù)學觀也就不是很明顯，數(shù)學也就自然不是一門獨立的學科而存在。 </p><p>　　亞歷山大時期，被尊奉為數(shù)學圭臬的《幾何原本》涉及平面幾何知識、比例的理論知識、立體幾何計算、算術和數(shù)論知識、無理數(shù)知識、幾何代數(shù)學等知識，其中以

10、研究拋物線之面積、球體與圓柱體、圓的測量等內(nèi)容的阿基米德，被稱為“度量幾何學專家”，這些研究內(nèi)容具有高度的一致性和繼承性。此間還形成的強大機械傳統(tǒng)，包括氣體力學、流體力學、彈道學、發(fā)石機等一系列制造等工藝，都出自數(shù)學家和機械師之手。 </p><p>　　中世紀后期，數(shù)學開始復蘇，數(shù)學的實用性和累積式的發(fā)展特征依舊明顯，歐幾里得幾何學最重要的應用仍然是土地測量，除此之外還有天文學和光學領域，學習幾何學的目的也往往

11、被局限在它的應用方面。 </p><p>　　從大航海一直到工業(yè)革命，技術科學的急速發(fā)展催生了大量新的應用性數(shù)學。在航海方面，為了確定船只位置，要求更加精密的天文觀測；軍事方面，彈道學成為研究的中心課題；準確時計的制造；運河的開鑿；堤壩的修筑；行星的橢圓軌道理論等，都以復雜的實用性數(shù)學知識為基礎。英國實用科學傳統(tǒng)對數(shù)學的發(fā)展起到了推波助瀾的作用，“和西班牙一樣，英國開頭依靠的是熱那亞人的領港員，突出的有卡波特父子

12、和外國的數(shù)學家，如法國人詹·羅茲（Jean Rotz）就在公元1524年被任命為亨利八世的御用水文學家。但是當航海和貿(mào)易發(fā)展起來時，本國的領港員和數(shù)學家不久就出現(xiàn)了。” </p><p>　　站在科學發(fā)展的角度來講，從古代天文學再到近代以定量研究為標志的物理學的輝煌，也是以數(shù)學研究為基礎。數(shù)學在這些學科當中的應用推動數(shù)學自身的發(fā)展和進步。應用數(shù)學的出現(xiàn)加快了數(shù)學社會化進程，不僅有自然科學數(shù)學化，連整個社

13、會科學也越來越多的應用到數(shù)學。生物學研究將統(tǒng)計學知識應用于遺傳和生物進化，嘗試著使用微分方程模擬生物遺傳和進化的過程；電子計算機的使用則完全建立在數(shù)學編碼程序基礎之上；社會管理、文化樣態(tài)分析等都離不開數(shù)學知識，這些新的社會需求和實踐為數(shù)學的發(fā)展提出了新要求，基于實用要求而產(chǎn)生的數(shù)學更具實用性的特征。 </p><p>　　小結(jié)：數(shù)學肇端于實物記錄和簡單測量等日常經(jīng)驗活動，天文觀測、航海定位、地圖測繪、彈道研究、水

14、利勘測這些領域的研究都已數(shù)學為基礎，這些常規(guī)性的實踐活動推動著數(shù)學漸進式的發(fā)展。數(shù)學是“充滿凝聚力的團體的力量和眾多個人貢獻共同決定事業(yè)的成就?，F(xiàn)代科學中定量研究方法的創(chuàng)立，并不是伽利略單槍匹馬完成的。微積分是牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造的，也同樣是歐多克斯、阿基米德和許多17世紀數(shù)學家的創(chuàng)造……數(shù)學中的各個分支的發(fā)展是由匯集不同方面的成果，點滴累積而成的，常常需要幾十年，甚至幾百年的努力才能邁出有意義的幾步”。因此可以說，數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展因為實

15、用性的需求而體現(xiàn)出強烈歷史“累積”性特點。 　　二、數(shù)學形成過程中的“突現(xiàn)” </p><p>　　強調(diào)數(shù)學產(chǎn)生的經(jīng)驗積累性并不等于忽視其超實用性。隨著數(shù)學自身抽象化和復雜化，它的發(fā)展和突破要依賴于“超實用”的興趣與動機，或者說依賴純粹的好奇或者某種炫耀，這些動機和活動是數(shù)學長久發(fā)展必不可少的構(gòu)件。超實用的數(shù)學科學始于希臘，希臘人對數(shù)學的貢獻在于他們提出了數(shù)學的演繹特征，用非經(jīng)驗化的、純理性的方法來研究數(shù)學，把

16、對數(shù)學的研究變成一種純粹依靠邏輯推理的活動。 </p><p>　　從純粹好奇、炫耀性的或者宗教性的研究來看數(shù)學，首當其沖的是畢達哥拉斯及其學派。畢達哥拉斯學派提出了數(shù)本原思想，把數(shù)學研究看作是一種純化靈魂、純化身體的宗教的行為，追求人生的完美與和諧。柏拉圖在《理想國》中談到，數(shù)學是“一切技術的、思想的和科學的知識都要用到的，它使大家都必需學習的最重要的東西之一”；它是“把靈魂拖著離開變化世界進入實在世界的學問”

17、。在柏拉圖看來，數(shù)學是從可變世界通向?qū)嵲谑澜绲拈T徑，這很大程度上繼承了畢氏學派 “萬物皆數(shù)”的觀點，并將其與他的理念論相結(jié)合，使其具有了形而上的成分。 </p><p>　　柏拉圖的數(shù)學哲學思考的研究為數(shù)學發(fā)展開辟了一條新的途徑，數(shù)學研究成為接近和解釋上帝的最終途徑。研究上帝的宗教情感推動數(shù)學演繹自身的發(fā)展，這種超實用性的數(shù)學研究使得累積式發(fā)展的數(shù)學發(fā)展呈現(xiàn)跳躍性和突現(xiàn)性，數(shù)學在數(shù)學家這種出于宗教目的的研究過程中

18、出現(xiàn)“躍遷”。 </p><p>　　近代是科學與數(shù)學興起和發(fā)展的時代，韋達、開普勒、伽利略、笛卡兒、帕斯卡、牛頓、萊布尼茨等數(shù)學先驅(qū)都懷有強烈的宗教情感。近代數(shù)學的奠基者之一的伽利略曾說：“哲學（自然）是寫在那本永遠在我們眼前的偉大的書本里的——我指的是宇宙——但是，我們?nèi)绻幌葘W會書里所用的語言，掌握書里的符號，就不能了解它，這本書是用數(shù)學語言寫出的，符號是三角形、圓形和別的幾何圖形。沒有它們的幫助，是連一個

19、字也不會認識的；沒有它們，就像在一個黑暗的迷宮里勞而無功地游蕩著。開普勒在《宇宙的神秘》中因襲了畢達哥拉斯和柏拉圖用數(shù)來解釋宇宙構(gòu)造的神秘主義理論，“我企圖去證明上帝在創(chuàng)造宇宙并且調(diào)節(jié)宇宙的次序時，看到了從畢達哥拉斯和柏拉圖時代起就為人們所熟知的五種正多面體，上帝按照這形體安排了天體的數(shù)目、它們的比例和它們運動間的關系?！奔僭O盡管荒唐，但卻促使他用數(shù)學構(gòu)造去探尋宇宙構(gòu)造，他甚至覺得這是上帝對自己的青睞，上帝的榮耀使他感受到了純粹數(shù)學的偉

20、大。 </p><p>　　數(shù)學發(fā)展出一種嶄新的研究樣態(tài)，數(shù)學研究以超實用性學術團體為平臺，數(shù)學似乎成了一門純粹的理論事業(yè)。古希臘時代以Plato學園為代表，17世紀英國皇家學會又是一個典型的事例。英國皇家學會的早期創(chuàng)始人之一約翰·沃利斯（John Wallis）在他的自傳中記載了皇家學會的早期活動情況，“大約在1645年，當我住在倫敦時，與一群有名的神學學者為鄰……探求自然哲學及其它一些高雅的學問……

21、我們的主要議題是討論和思索哲學問題及有關的方面，諸為物理、解剖學、幾何、天文、航海、統(tǒng)計學、磁學、化學、力學和自然實驗，并結(jié)合了當時國內(nèi)外對它們的研究水平來討論?！背擞幕始覍W會以外，像法國的以尼古拉·布爾巴基（Nicolas Bourbaki）為筆名的年輕的數(shù)學家群體，國際的數(shù)學家大會等，也都是推動數(shù)學發(fā)展的重要力量。這些學術團體非實用的理論探討和哲學反思是數(shù)學發(fā)展的重要推動力。 </p><p>

22、;　　數(shù)學的發(fā)展得益于數(shù)學難題的迎刃而解，但更具突破性的進展在于數(shù)學猜想的提出，因為提出問題比解決問題更重要。純粹數(shù)學的發(fā)展少不了猜測和個人好奇，數(shù)學猜想貫穿于數(shù)學發(fā)展的始終。非歐幾何的出現(xiàn)源自于人們對歐幾里得《幾何原本》第五條公設的懷疑和猜測，由此產(chǎn)生的羅氏幾何成為宇宙空間或者原子世界遵循的空間原則，黎曼幾何成為地球表面研究、航海航空問題研究的理論依據(jù)。業(yè)余數(shù)學家的費馬憑借豐富的想象力和洞察力提出了著名的“費馬猜想（Xn+Yn=Zn，

23、當n>2時，此方程式無整數(shù)解）”，后人用300多年時間解答這個猜想，對代數(shù)數(shù)論和算術代數(shù)幾何的發(fā)展產(chǎn)生了極其重要的影響。笛卡爾的解析幾何以及牛頓和萊布尼茨的微積分的發(fā)明都是個人大膽的、跳躍性的猜測和研究實現(xiàn)的?！皵?shù)學和科學中的巨大進展……需要有一個人來走那最高的和最后的一步，這個人要能足夠地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的說法，有足夠的想象力把這些碎片重新組織起來，并且能夠大膽的制定一個宏偉的計劃。在微積分中，這個人就是艾

24、薩克·牛頓。” 17世紀可以稱得上是數(shù)學發(fā)展的時代，與同時代的英國和法國相比，天才性的數(shù)學家以法國居多，何也？這其實是實用主義經(jīng)驗數(shù)</p><p>　　數(shù)學發(fā)展到一定程度，自然就會出現(xiàn)自身理論性的問題，對自身存在問題的理論探討也是一種創(chuàng)造性的發(fā)展。數(shù)學自產(chǎn)生以來出現(xiàn)過三次嚴重的數(shù)學危機。數(shù)學危機的探討涉及諸多創(chuàng)造性的數(shù)學假設，對這些數(shù)學假設的回答是數(shù)學跳躍式發(fā)展的集中體現(xiàn)?？梢钥闯?，這樣一種研究樣態(tài)，

25、必然使得數(shù)學的發(fā)展在一定時期內(nèi)走向“超實用性”，也必然導致數(shù)學“突現(xiàn)式”發(fā)展。 </p><p>　　小結(jié)：畢達哥拉斯學派認為數(shù)學是追求凈化心靈的虔誠的宗教行為，是世界秩序、萬物之源；柏拉圖學派堅持數(shù)學是通向絕對真理的必由之路，因此數(shù)學尤其是作為理念的數(shù)更具有神性。這些認識表現(xiàn)出了一致性，即數(shù)學發(fā)展并非是為了實用目的，而僅僅是一種神圣的宗教行為。這種觀點既是對古希臘輝煌的哲學抽象思想的借鑒和響應，將哲學思辨和思維

26、抽象深入數(shù)學發(fā)展的骨髓之中去；同時這種觀點的出現(xiàn)也符合數(shù)學自身的發(fā)展特性，作為一門逐漸成熟的理論性學科，只有自身理論的超前性，才有可能更好地指導現(xiàn)實生活，這種自身要求導致數(shù)學的發(fā)展必須要具有“超實用性”，近代數(shù)學是在柏拉圖式的數(shù)學演繹觀念下發(fā)展起來的，其發(fā)展離不開數(shù)學家發(fā)散性和創(chuàng)造性的突破，大數(shù)學家出于個人興趣的滿足、自我的炫耀或者濃厚的宗教情感，提出一系列大膽的數(shù)學假設和合理性的猜想，使得數(shù)學發(fā)展呈現(xiàn)出“突現(xiàn)”性。 　　三、累積與突

27、現(xiàn)的交替出現(xiàn) </p><p>　　上古時期，生產(chǎn)力低下，人們對事物的認識依賴于感觀和簡單思維。人們感覺到事物的數(shù)量關系以及變化可能具有某種“規(guī)律性”，經(jīng)過實踐驗證后，便認定該事物具有此種“數(shù)學”性質(zhì)。這種直觀驗證方法是早期人類實踐活動的性質(zhì)和在實踐中產(chǎn)生的對客觀世界的空間形式及數(shù)量關系的認識的初級方法，在此基礎上產(chǎn)生的數(shù)學往往具有實用性質(zhì)，其自身發(fā)展呈現(xiàn)出漸進的、經(jīng)驗的積累式發(fā)展。數(shù)學曾被應用于計算天文歷法和航

28、海，數(shù)學創(chuàng)造靠大量的實際問題的激發(fā)和推動。這種以實用為目的的數(shù)學觀念曾經(jīng)使古埃及、巴比倫、中國數(shù)學在世界上處于領先地位，但這樣的數(shù)學觀念會導致數(shù)學的“短命”，數(shù)學的累積漸進式發(fā)展往往會萎縮為獨立的幾個歷史階段，一旦數(shù)學知識滿足社會問題的需要，對數(shù)學的探求也就停止了?？巳R因批評道：“那些堅信數(shù)學僅僅具有實用價值的學者，經(jīng)常自以為是地認為，歷史上的數(shù)學活動靠實際需要的推動，不可能存在什么來自邏輯的推動（理論的推動）。”這樣的認識完全不符合數(shù)

29、學發(fā)展的歷史進程，其結(jié)果往往是葬送了數(shù)學的前程。 </p><p>　　數(shù)學的發(fā)展和人們對世界認識水平的提高使得數(shù)學家們不滿足于靠直觀驗證得來的數(shù)學結(jié)論，開始運用抽象的演繹推理，從已經(jīng)掌握的知識中推演出新的極富創(chuàng)造性的結(jié)論或者某種猜想。個人的興趣愛好或者個人宗教心理的滿足等超實用目的越得到體現(xiàn)，數(shù)學發(fā)展呈現(xiàn)出跳躍式的“突現(xiàn)性”。歐洲文明的淵源之一——基督教，在近代數(shù)學興起過程中的重要作用發(fā)揮了重要作用?！皩ふ掖笞?/p>

30、然的數(shù)學規(guī)律是為了研究上帝的本性和行為，以及上帝安排宇宙的方案”是近代數(shù)學家們從事數(shù)學研究的強烈動機。牛頓規(guī)劃的世界圖景使世人折服：自然界是依數(shù)學設計的，自然界的真正定律是數(shù)學。牛頓之所以提倡他的自然哲學的數(shù)學原理，而且確信數(shù)學是他所描述的現(xiàn)象的真正解釋，其基礎也是與他那個時代的所有數(shù)學家和科學家同樣的信念：上帝創(chuàng)造的世界與數(shù)學原理吻合。牛頓多次表明對上帝的信仰是他進行數(shù)學和科學研究的真正動力。他認為科學也是崇拜上帝的一種形式，科學將揭

31、開上帝輝煌設計的秘密。他為自己的工作揭示了無所不在的上帝的秘密而備感欣慰。 </p><p>　　純粹數(shù)學和應用數(shù)學兩者的分野，恰恰在一定程度上可以表明數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的兩種模式和運行邏輯，歷史也表明，進入19世紀以后，從事純粹數(shù)學的越來越具規(guī)模，20世紀初出現(xiàn)純粹數(shù)學家貶低應用數(shù)學家現(xiàn)象。這也就表明，數(shù)學的超實用性在那個時代展現(xiàn)出了絕對的優(yōu)勢。 </p><p>　　借用庫恩的科學范式理論

32、來看數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展，以實用為目的數(shù)學發(fā)展實則是常規(guī)數(shù)學向科學革命的“經(jīng)驗累積”過程，以“超實用性”為目的的數(shù)學發(fā)展則是數(shù)學革命或者新范式的“突現(xiàn)”過程，數(shù)學發(fā)展是這兩種過程的交替轉(zhuǎn)換，這兩種邏輯和發(fā)展路徑所彰顯的“累積”和“突現(xiàn)”特點也全面表征了數(shù)學發(fā)展的歷史過程。 </p><p><b>　　參考文獻 </b></p><p>　　[1] [美]M·克

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