數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展過程中的“累積”與“突現(xiàn)”

1、<p>　　數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展過程中的“累積”與“突現(xiàn)”</p><p>　　【摘 要】數(shù)學(xué)作為人類社會實踐的產(chǎn)物，在其萌芽和發(fā)展過程中體現(xiàn)出雙重特性。從社會發(fā)展需要角度來看，數(shù)學(xué)思想和知識是人們?nèi)粘Ｉ畹慕?jīng)驗積累，具有“實用性”。數(shù)學(xué)的發(fā)展具有漸進和“累積式”的特性；從一種娛樂和自我炫耀性的需要或者某種宗教情結(jié)的角度來看，數(shù)學(xué)知識和思想表現(xiàn)為個體性創(chuàng)造（尤其是大膽猜想和假設(shè)），具有“超實用性”。數(shù)學(xué)的發(fā)展

2、表現(xiàn)為“躍遷”或者“突現(xiàn)式”的特征。整個數(shù)學(xué)發(fā)展都是這兩種發(fā)展特性的交替彰顯。 </p><p>　　【關(guān)鍵詞】實用性；超實用性；累積；突現(xiàn) </p><p>　　數(shù)學(xué)作為一門獨立的理性學(xué)科，是在古希臘數(shù)學(xué)的全面發(fā)展基礎(chǔ)上確立起來的。但早期的古代文明社會已經(jīng)累積出現(xiàn)數(shù)學(xué)的開端和萌芽，其中不乏天才性的數(shù)學(xué)思想和知識。 </p><p>　　一、數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展過程的累

3、積性 </p><p>　　公元前3000年左右的古巴比倫和古代埃及出現(xiàn)了簡單的數(shù)學(xué)思想。此時的數(shù)學(xué)思想主要產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐活動：對生活必須品的物物交換逐漸催生了簡單的計數(shù)與計算，如有些原始文明知道且能運算較大的整數(shù)，產(chǎn)生了一些數(shù)的特殊記號，甚至還發(fā)明了簡單的運算法則及用文字表述的分?jǐn)?shù)的運算規(guī)律。對物質(zhì)實體的長期觀察慢慢形成了最初始的幾何概念，如直線，圓和角。在這些原始文明中，數(shù)學(xué)的運用僅僅限于田地面積的粗略測算，

4、織在布上的花格和記時等。 </p><p>　　以古巴比倫為代表的算術(shù)和以古埃及為代表的幾何共同構(gòu)鑄了數(shù)學(xué)的雛形。古埃及數(shù)學(xué)以“林德數(shù)學(xué)書卷”最為著名，其內(nèi)容大致如下： </p><p>　　表1 林德數(shù)學(xué)手卷算題內(nèi)容綜述 </p><p>　　算題編號 算題內(nèi)容 附注 </p><p>　　7—23 單分?jǐn)?shù)相加，結(jié)果成1的問題 </p

5、><p>　　單分?jǐn)?shù)加倍表 將單分?jǐn)?shù)1/n加倍即2/n表為單分?jǐn)?shù)之和 n=5，7，9 </p><p>　　24—38；47；80—81 一元一次方程 系數(shù)為整數(shù)加單分?jǐn)?shù) </p><p>　　1—6；39—40；61；63—65；67—68 面包之平均與多項不均分配 分?jǐn)?shù)與負(fù)比例問題 </p><p>　　62；66；69—78；82—84 價

6、值、交換、供食 簡易比例問題 </p><p>　　41—43；48；50 圓柱體積，相當(dāng)于用圓面積A=（8d/9）2 相當(dāng)于π=256/81≈3.16 </p><p>　　44—46；49；51—60 長方、三角及梯形面積；斜率 </p><p>　　79 求特殊幾何級數(shù)之和：r=U（0）；U（n）=rU（n-1）；S（n）=r[1+S（n-1）] </p

7、><p>　　手卷內(nèi)容可分為簡單分?jǐn)?shù)運算、比例問題、一元一次方程和幾何形球體求面積、體積等。后續(xù)的如莫斯科手卷等大都記載日常生產(chǎn)中的幾何問題。希臘歷史學(xué)家希羅多德（Herodotus）談到，古埃及是因為尼羅河每年洪水過后需要重新劃定農(nóng)民土地的邊界，而這一邊界的劃定會直接影響農(nóng)民的上稅，因此才產(chǎn)生了受重視的幾何學(xué)，可以說，幾何學(xué)是“尼羅河的恩賜”。生產(chǎn)勞作使得人們需要知道洪水的汛期與季節(jié)變化的規(guī)律，這就需要知道洪水到來

8、前的天文現(xiàn)象，數(shù)學(xué)就被拓展到天文和土地測量方面。 </p><p>　　蘇美爾時期，巴比倫就摸索出了六十進制的記數(shù)法和簡單算術(shù)，這套系統(tǒng)至今仍被用于角度與時間的計量上；在算術(shù)上，古巴比倫人對整數(shù)和分?jǐn)?shù)提出了較系統(tǒng)的記法，使得算術(shù)被推進到相當(dāng)高的程度，并利用實踐獲知的知識來解決眾多實際問題，特別是天文學(xué)上的問題。雖然兩個文明擁有如此輝煌的數(shù)學(xué)成就，但卻無傳世的數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家，這是因為此間的數(shù)學(xué)與其他知識一樣，都來自

9、于豐富的實際生產(chǎn)活動，作為經(jīng)驗知識一部分的數(shù)學(xué)知識，在解決日常問題的過程中逐漸累積形成的，與其他知識相比并沒有本質(zhì)的區(qū)別，因此也就不需要專門的抽象的、理論化的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家出現(xiàn)，這一時期的數(shù)學(xué)觀也就不是很明顯，數(shù)學(xué)也就自然不是一門獨立的學(xué)科而存在。 </p><p>　　亞歷山大時期，被尊奉為數(shù)學(xué)圭臬的《幾何原本》涉及平面幾何知識、比例的理論知識、立體幾何計算、算術(shù)和數(shù)論知識、無理數(shù)知識、幾何代數(shù)學(xué)等知識，其中以

10、研究拋物線之面積、球體與圓柱體、圓的測量等內(nèi)容的阿基米德，被稱為“度量幾何學(xué)專家”，這些研究內(nèi)容具有高度的一致性和繼承性。此間還形成的強大機械傳統(tǒng)，包括氣體力學(xué)、流體力學(xué)、彈道學(xué)、發(fā)石機等一系列制造等工藝，都出自數(shù)學(xué)家和機械師之手。 </p><p>　　中世紀(jì)后期，數(shù)學(xué)開始復(fù)蘇，數(shù)學(xué)的實用性和累積式的發(fā)展特征依舊明顯，歐幾里得幾何學(xué)最重要的應(yīng)用仍然是土地測量，除此之外還有天文學(xué)和光學(xué)領(lǐng)域，學(xué)習(xí)幾何學(xué)的目的也往往

11、被局限在它的應(yīng)用方面。 </p><p>　　從大航海一直到工業(yè)革命，技術(shù)科學(xué)的急速發(fā)展催生了大量新的應(yīng)用性數(shù)學(xué)。在航海方面，為了確定船只位置，要求更加精密的天文觀測；軍事方面，彈道學(xué)成為研究的中心課題；準(zhǔn)確時計的制造；運河的開鑿；堤壩的修筑；行星的橢圓軌道理論等，都以復(fù)雜的實用性數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)。英國實用科學(xué)傳統(tǒng)對數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了推波助瀾的作用，“和西班牙一樣，英國開頭依靠的是熱那亞人的領(lǐng)港員，突出的有卡波特父子

12、和外國的數(shù)學(xué)家，如法國人詹·羅茲（Jean Rotz）就在公元1524年被任命為亨利八世的御用水文學(xué)家。但是當(dāng)航海和貿(mào)易發(fā)展起來時，本國的領(lǐng)港員和數(shù)學(xué)家不久就出現(xiàn)了?！?</p><p>　　站在科學(xué)發(fā)展的角度來講，從古代天文學(xué)再到近代以定量研究為標(biāo)志的物理學(xué)的輝煌，也是以數(shù)學(xué)研究為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)在這些學(xué)科當(dāng)中的應(yīng)用推動數(shù)學(xué)自身的發(fā)展和進步。應(yīng)用數(shù)學(xué)的出現(xiàn)加快了數(shù)學(xué)社會化進程，不僅有自然科學(xué)數(shù)學(xué)化，連整個社

13、會科學(xué)也越來越多的應(yīng)用到數(shù)學(xué)。生物學(xué)研究將統(tǒng)計學(xué)知識應(yīng)用于遺傳和生物進化，嘗試著使用微分方程模擬生物遺傳和進化的過程；電子計算機的使用則完全建立在數(shù)學(xué)編碼程序基礎(chǔ)之上；社會管理、文化樣態(tài)分析等都離不開數(shù)學(xué)知識，這些新的社會需求和實踐為數(shù)學(xué)的發(fā)展提出了新要求，基于實用要求而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)更具實用性的特征。 </p><p>　　小結(jié)：數(shù)學(xué)肇端于實物記錄和簡單測量等日常經(jīng)驗活動，天文觀測、航海定位、地圖測繪、彈道研究、水

14、利勘測這些領(lǐng)域的研究都已數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，這些常規(guī)性的實踐活動推動著數(shù)學(xué)漸進式的發(fā)展。數(shù)學(xué)是“充滿凝聚力的團體的力量和眾多個人貢獻共同決定事業(yè)的成就?，F(xiàn)代科學(xué)中定量研究方法的創(chuàng)立，并不是伽利略單槍匹馬完成的。微積分是牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造的，也同樣是歐多克斯、阿基米德和許多17世紀(jì)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造……數(shù)學(xué)中的各個分支的發(fā)展是由匯集不同方面的成果，點滴累積而成的，常常需要幾十年，甚至幾百年的努力才能邁出有意義的幾步”。因此可以說，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展因為實

15、用性的需求而體現(xiàn)出強烈歷史“累積”性特點。 　　二、數(shù)學(xué)形成過程中的“突現(xiàn)” </p><p>　　強調(diào)數(shù)學(xué)產(chǎn)生的經(jīng)驗積累性并不等于忽視其超實用性。隨著數(shù)學(xué)自身抽象化和復(fù)雜化，它的發(fā)展和突破要依賴于“超實用”的興趣與動機，或者說依賴純粹的好奇或者某種炫耀，這些動機和活動是數(shù)學(xué)長久發(fā)展必不可少的構(gòu)件。超實用的數(shù)學(xué)科學(xué)始于希臘，希臘人對數(shù)學(xué)的貢獻在于他們提出了數(shù)學(xué)的演繹特征，用非經(jīng)驗化的、純理性的方法來研究數(shù)學(xué)，把

16、對數(shù)學(xué)的研究變成一種純粹依靠邏輯推理的活動。 </p><p>　　從純粹好奇、炫耀性的或者宗教性的研究來看數(shù)學(xué)，首當(dāng)其沖的是畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了數(shù)本原思想，把數(shù)學(xué)研究看作是一種純化靈魂、純化身體的宗教的行為，追求人生的完美與和諧。柏拉圖在《理想國》中談到，數(shù)學(xué)是“一切技術(shù)的、思想的和科學(xué)的知識都要用到的，它使大家都必需學(xué)習(xí)的最重要的東西之一”；它是“把靈魂拖著離開變化世界進入實在世界的學(xué)問”

17、。在柏拉圖看來，數(shù)學(xué)是從可變世界通向?qū)嵲谑澜绲拈T徑，這很大程度上繼承了畢氏學(xué)派 “萬物皆數(shù)”的觀點，并將其與他的理念論相結(jié)合，使其具有了形而上的成分。 </p><p>　　柏拉圖的數(shù)學(xué)哲學(xué)思考的研究為數(shù)學(xué)發(fā)展開辟了一條新的途徑，數(shù)學(xué)研究成為接近和解釋上帝的最終途徑。研究上帝的宗教情感推動數(shù)學(xué)演繹自身的發(fā)展，這種超實用性的數(shù)學(xué)研究使得累積式發(fā)展的數(shù)學(xué)發(fā)展呈現(xiàn)跳躍性和突現(xiàn)性，數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)家這種出于宗教目的的研究過程中

18、出現(xiàn)“躍遷”。 </p><p>　　近代是科學(xué)與數(shù)學(xué)興起和發(fā)展的時代，韋達(dá)、開普勒、伽利略、笛卡兒、帕斯卡、牛頓、萊布尼茨等數(shù)學(xué)先驅(qū)都懷有強烈的宗教情感。近代數(shù)學(xué)的奠基者之一的伽利略曾說：“哲學(xué)（自然）是寫在那本永遠(yuǎn)在我們眼前的偉大的書本里的——我指的是宇宙——但是，我們?nèi)绻幌葘W(xué)會書里所用的語言，掌握書里的符號，就不能了解它，這本書是用數(shù)學(xué)語言寫出的，符號是三角形、圓形和別的幾何圖形。沒有它們的幫助，是連一個

19、字也不會認(rèn)識的；沒有它們，就像在一個黑暗的迷宮里勞而無功地游蕩著。開普勒在《宇宙的神秘》中因襲了畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖用數(shù)來解釋宇宙構(gòu)造的神秘主義理論，“我企圖去證明上帝在創(chuàng)造宇宙并且調(diào)節(jié)宇宙的次序時，看到了從畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖時代起就為人們所熟知的五種正多面體，上帝按照這形體安排了天體的數(shù)目、它們的比例和它們運動間的關(guān)系?！奔僭O(shè)盡管荒唐，但卻促使他用數(shù)學(xué)構(gòu)造去探尋宇宙構(gòu)造，他甚至覺得這是上帝對自己的青睞，上帝的榮耀使他感受到了純粹數(shù)學(xué)的偉

20、大。 </p><p>　　數(shù)學(xué)發(fā)展出一種嶄新的研究樣態(tài)，數(shù)學(xué)研究以超實用性學(xué)術(shù)團體為平臺，數(shù)學(xué)似乎成了一門純粹的理論事業(yè)。古希臘時代以Plato學(xué)園為代表，17世紀(jì)英國皇家學(xué)會又是一個典型的事例。英國皇家學(xué)會的早期創(chuàng)始人之一約翰·沃利斯（John Wallis）在他的自傳中記載了皇家學(xué)會的早期活動情況，“大約在1645年，當(dāng)我住在倫敦時，與一群有名的神學(xué)學(xué)者為鄰……探求自然哲學(xué)及其它一些高雅的學(xué)問……

21、我們的主要議題是討論和思索哲學(xué)問題及有關(guān)的方面，諸為物理、解剖學(xué)、幾何、天文、航海、統(tǒng)計學(xué)、磁學(xué)、化學(xué)、力學(xué)和自然實驗，并結(jié)合了當(dāng)時國內(nèi)外對它們的研究水平來討論?！背擞幕始覍W(xué)會以外，像法國的以尼古拉·布爾巴基（Nicolas Bourbaki）為筆名的年輕的數(shù)學(xué)家群體，國際的數(shù)學(xué)家大會等，也都是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的重要力量。這些學(xué)術(shù)團體非實用的理論探討和哲學(xué)反思是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動力。 </p><p>

22、;　　數(shù)學(xué)的發(fā)展得益于數(shù)學(xué)難題的迎刃而解，但更具突破性的進展在于數(shù)學(xué)猜想的提出，因為提出問題比解決問題更重要。純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展少不了猜測和個人好奇，數(shù)學(xué)猜想貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展的始終。非歐幾何的出現(xiàn)源自于人們對歐幾里得《幾何原本》第五條公設(shè)的懷疑和猜測，由此產(chǎn)生的羅氏幾何成為宇宙空間或者原子世界遵循的空間原則，黎曼幾何成為地球表面研究、航海航空問題研究的理論依據(jù)。業(yè)余數(shù)學(xué)家的費馬憑借豐富的想象力和洞察力提出了著名的“費馬猜想（Xn+Yn=Zn，

23、當(dāng)n>2時，此方程式無整數(shù)解）”，后人用300多年時間解答這個猜想，對代數(shù)數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何的發(fā)展產(chǎn)生了極其重要的影響。笛卡爾的解析幾何以及牛頓和萊布尼茨的微積分的發(fā)明都是個人大膽的、跳躍性的猜測和研究實現(xiàn)的。“數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進展……需要有一個人來走那最高的和最后的一步，這個人要能足夠地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的說法，有足夠的想象力把這些碎片重新組織起來，并且能夠大膽的制定一個宏偉的計劃。在微積分中，這個人就是艾

24、薩克·牛頓?！?17世紀(jì)可以稱得上是數(shù)學(xué)發(fā)展的時代，與同時代的英國和法國相比，天才性的數(shù)學(xué)家以法國居多，何也？這其實是實用主義經(jīng)驗數(shù)</p><p>　　數(shù)學(xué)發(fā)展到一定程度，自然就會出現(xiàn)自身理論性的問題，對自身存在問題的理論探討也是一種創(chuàng)造性的發(fā)展。數(shù)學(xué)自產(chǎn)生以來出現(xiàn)過三次嚴(yán)重的數(shù)學(xué)危機。數(shù)學(xué)危機的探討涉及諸多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)假設(shè)，對這些數(shù)學(xué)假設(shè)的回答是數(shù)學(xué)跳躍式發(fā)展的集中體現(xiàn)?？梢钥闯?，這樣一種研究樣態(tài)，

25、必然使得數(shù)學(xué)的發(fā)展在一定時期內(nèi)走向“超實用性”，也必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)“突現(xiàn)式”發(fā)展。 </p><p>　　小結(jié)：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)是追求凈化心靈的虔誠的宗教行為，是世界秩序、萬物之源；柏拉圖學(xué)派堅持?jǐn)?shù)學(xué)是通向絕對真理的必由之路，因此數(shù)學(xué)尤其是作為理念的數(shù)更具有神性。這些認(rèn)識表現(xiàn)出了一致性，即數(shù)學(xué)發(fā)展并非是為了實用目的，而僅僅是一種神圣的宗教行為。這種觀點既是對古希臘輝煌的哲學(xué)抽象思想的借鑒和響應(yīng)，將哲學(xué)思辨和思維

26、抽象深入數(shù)學(xué)發(fā)展的骨髓之中去；同時這種觀點的出現(xiàn)也符合數(shù)學(xué)自身的發(fā)展特性，作為一門逐漸成熟的理論性學(xué)科，只有自身理論的超前性，才有可能更好地指導(dǎo)現(xiàn)實生活，這種自身要求導(dǎo)致數(shù)學(xué)的發(fā)展必須要具有“超實用性”，近代數(shù)學(xué)是在柏拉圖式的數(shù)學(xué)演繹觀念下發(fā)展起來的，其發(fā)展離不開數(shù)學(xué)家發(fā)散性和創(chuàng)造性的突破，大數(shù)學(xué)家出于個人興趣的滿足、自我的炫耀或者濃厚的宗教情感，提出一系列大膽的數(shù)學(xué)假設(shè)和合理性的猜想，使得數(shù)學(xué)發(fā)展呈現(xiàn)出“突現(xiàn)”性。 　　三、累積與突

27、現(xiàn)的交替出現(xiàn) </p><p>　　上古時期，生產(chǎn)力低下，人們對事物的認(rèn)識依賴于感觀和簡單思維。人們感覺到事物的數(shù)量關(guān)系以及變化可能具有某種“規(guī)律性”，經(jīng)過實踐驗證后，便認(rèn)定該事物具有此種“數(shù)學(xué)”性質(zhì)。這種直觀驗證方法是早期人類實踐活動的性質(zhì)和在實踐中產(chǎn)生的對客觀世界的空間形式及數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識的初級方法，在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生的數(shù)學(xué)往往具有實用性質(zhì)，其自身發(fā)展呈現(xiàn)出漸進的、經(jīng)驗的積累式發(fā)展。數(shù)學(xué)曾被應(yīng)用于計算天文歷法和航

28、海，數(shù)學(xué)創(chuàng)造靠大量的實際問題的激發(fā)和推動。這種以實用為目的的數(shù)學(xué)觀念曾經(jīng)使古埃及、巴比倫、中國數(shù)學(xué)在世界上處于領(lǐng)先地位，但這樣的數(shù)學(xué)觀念會導(dǎo)致數(shù)學(xué)的“短命”，數(shù)學(xué)的累積漸進式發(fā)展往往會萎縮為獨立的幾個歷史階段，一旦數(shù)學(xué)知識滿足社會問題的需要，對數(shù)學(xué)的探求也就停止了?？巳R因批評道：“那些堅信數(shù)學(xué)僅僅具有實用價值的學(xué)者，經(jīng)常自以為是地認(rèn)為，歷史上的數(shù)學(xué)活動靠實際需要的推動，不可能存在什么來自邏輯的推動（理論的推動）?！边@樣的認(rèn)識完全不符合數(shù)

29、學(xué)發(fā)展的歷史進程，其結(jié)果往往是葬送了數(shù)學(xué)的前程。 </p><p>　　數(shù)學(xué)的發(fā)展和人們對世界認(rèn)識水平的提高使得數(shù)學(xué)家們不滿足于靠直觀驗證得來的數(shù)學(xué)結(jié)論，開始運用抽象的演繹推理，從已經(jīng)掌握的知識中推演出新的極富創(chuàng)造性的結(jié)論或者某種猜想。個人的興趣愛好或者個人宗教心理的滿足等超實用目的越得到體現(xiàn)，數(shù)學(xué)發(fā)展呈現(xiàn)出跳躍式的“突現(xiàn)性”。歐洲文明的淵源之一——基督教，在近代數(shù)學(xué)興起過程中的重要作用發(fā)揮了重要作用?！皩ふ掖笞?/p>

30、然的數(shù)學(xué)規(guī)律是為了研究上帝的本性和行為，以及上帝安排宇宙的方案”是近代數(shù)學(xué)家們從事數(shù)學(xué)研究的強烈動機。牛頓規(guī)劃的世界圖景使世人折服：自然界是依數(shù)學(xué)設(shè)計的，自然界的真正定律是數(shù)學(xué)。牛頓之所以提倡他的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，而且確信數(shù)學(xué)是他所描述的現(xiàn)象的真正解釋，其基礎(chǔ)也是與他那個時代的所有數(shù)學(xué)家和科學(xué)家同樣的信念：上帝創(chuàng)造的世界與數(shù)學(xué)原理吻合。牛頓多次表明對上帝的信仰是他進行數(shù)學(xué)和科學(xué)研究的真正動力。他認(rèn)為科學(xué)也是崇拜上帝的一種形式，科學(xué)將揭

31、開上帝輝煌設(shè)計的秘密。他為自己的工作揭示了無所不在的上帝的秘密而備感欣慰。 </p><p>　　純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)兩者的分野，恰恰在一定程度上可以表明數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的兩種模式和運行邏輯，歷史也表明，進入19世紀(jì)以后，從事純粹數(shù)學(xué)的越來越具規(guī)模，20世紀(jì)初出現(xiàn)純粹數(shù)學(xué)家貶低應(yīng)用數(shù)學(xué)家現(xiàn)象。這也就表明，數(shù)學(xué)的超實用性在那個時代展現(xiàn)出了絕對的優(yōu)勢。 </p><p>　　借用庫恩的科學(xué)范式理論

32、來看數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，以實用為目的數(shù)學(xué)發(fā)展實則是常規(guī)數(shù)學(xué)向科學(xué)革命的“經(jīng)驗累積”過程，以“超實用性”為目的的數(shù)學(xué)發(fā)展則是數(shù)學(xué)革命或者新范式的“突現(xiàn)”過程，數(shù)學(xué)發(fā)展是這兩種過程的交替轉(zhuǎn)換，這兩種邏輯和發(fā)展路徑所彰顯的“累積”和“突現(xiàn)”特點也全面表征了數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過程。 </p><p><b>　　參考文獻 </b></p><p>　　[1] [美]M·克

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