微分與導數(shù)應用

1、學習任務四 微分,函數(shù)的微分雖然本質上就是求導, 但函數(shù)微分的計算同樣要求熟練掌握, 因為函數(shù)的微分對于第三部分學習函數(shù)的不定積分和定積分都是非常重要的. 而對于微分的概念, 只需要大家了解即可.,1. 微分的定義設函數(shù)y = f(x)在x0及近旁有定義, 當自變量x在x0處有一個改變量?x時, 相應的函數(shù)值的改變量為?y = f(x0 + ?x) - f(x0). 有時侯, 計算?y比較困難, 就需要考慮其近似計算. 這種近

2、似計算, 在?x很小時就是函數(shù)y = f(x) 在x0點的微分, 見下例.,設正方形的邊長為x，其面積為y = x2. 假定x有一個改變量?x，這時正方形的邊長為x+ ?x，其面積為(x + ?x)2. 考慮面積的改變量?y = (x + ?x)2 - x2 = 2x?x + (?x)2. 當然，這個改變量?y的計算還是比較簡單的.,,,,,,當在?x很小時，(?x)2就更小，圖中青色區(qū)域的面積. 換句話說，改變量?y主要取決于2x?x

3、，圖中紫色區(qū)域的面積. 或者說，?y ? 2x?x. 我們將2x?x稱為函數(shù)y = x2在x點的微分，記為dy. (d是微分英文單詞的第一個字母，應編輯為“正體”)函數(shù)y = f(x) = x2在x點的微分dy = 2x?x. 由于 ，所以. 下面給出微分的一般定義.,微分的定義 假定函數(shù)y = f(x)在x點可導，當自變量x有一個改變量?x時，將 稱為函數(shù)

4、y = f(x)在x點的微分dy，即特別地，當y = x時，顯然dy = dx. 由于dy = 1· ?x ，所以dx = ?x. 也就是說，自變量x的微分dx與自變量的改變量?x相等. 因此，函數(shù)y = f(x)在x點的微分,2. 微分的計算由于 , 所以計算函數(shù)y = f(x)的微分dy, 只需要計算 , 再乘以dx即可. 例(微分的計算) 求f(x) = 2

5、x3 + lnx 的微分. Solution 因為f(x) = 2x3 + lnx ，所以于是,要求大家要熟練計算函數(shù)的微分，最好能記住常見函數(shù)的微分公式，見下表. 此表類似于函數(shù)的導數(shù)公式，它們在第三部分討論“積分”內容時非常重要.(1)(2)(3)(4)(5)(6),(7)(8)(9)(10)(11),在學習積分內容時，常常將求微分的過程反過來做，見下面的例子.例 填空(1) d(

6、 ) = 2dx. (2) d( ) = sinxdx.(3) d( ) = dx.(4) d( ) = exdx.,Solution (1) 因為 , 所以d(2x + C) = 2dx. (2) 因為 , 所以d(-cosx + C) = si

7、nxdx. (3) 因為 , 所以(4) 因為 , 所以注意 由于 , 所以在每個空里都加一個常數(shù)C. 實際上，這個C在積分時要根據(jù)具體問題而定.,學習任務五 導數(shù)的應用,前面已經(jīng)知道，利用導數(shù)可以得出曲線在某點的切線方程. 利用導數(shù)還可以討論函數(shù)的單調性、函數(shù)的極大值與極小值、曲線的凹凸性等.,1

8、. 函數(shù)的單調性假定函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)內可導. 若y = f(x)在區(qū)間(a, b)內單調遞增，由下圖知道，y = f(x)在區(qū)間(a, b)內每點的導數(shù)均大于0.,,,,,,,同理，若y = f(x)在區(qū)間(a, b)內單調遞減，由下圖知道，y = f(x)在區(qū)間(a, b)內每點的導數(shù)均小于0.,,,,,,,反過來亦成立,即有下述定理.定理 假定函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)內可導.(1) 若在區(qū)間

9、(a, b)內 , 則y = f(x)在區(qū)間(a, b)內單調遞增. (2) 若在區(qū)間(a, b)內 , 則y = f(x)在區(qū)間(a, b)內單調遞減.利用上述結論，很容易知道f(x) = x3在(-?, +?)都是單調遞增的(見下圖)，因為 在(-?, +?)內.,對于函數(shù)f(x) = x2, 由于

10、 , 在(0, +?)內 是單調遞增函數(shù)，在(- ?, 0)內 是單調遞減函數(shù)(見下圖). 再次請大家注意, 函數(shù)的單調性與所討論的區(qū)間有關.,,,,,對于給定的函數(shù)y = f(x)，如何討論它在哪個區(qū)間單調遞增、在哪個區(qū)間單調遞減? 討論步驟如下. (1) 求出y = f(x)的定義域. (2) 求出y = f(x)導數(shù)為0的點和導數(shù)

11、不存在的點，這些點將定義域分成若干個小區(qū)間.(3) 在每個小區(qū)間內，分別考慮 是大于0還是小于0，進而可得出在這個小區(qū)間是單調遞增還是單調遞減. 使得 的x稱為函數(shù)f(x)的駐點.,例(利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性) 討論 的單調性.Solution (1) f(x)的定義域為(-?, +?). (2) 所給函數(shù)f(x)在

12、每個點都可導. 因為 ,令 , 得出x = -2和 x = 2. (3) x = -2和 x = 2將定義域 (-?, +?)分成三個小區(qū)間：(-?, -2), (-2, 2), (2, +?).,(-?, -2): 由于x 2，所以 , 在(2, +?)上單調遞增.,2. 函數(shù)的極大值與極小值若在點x = x0的左邊單調遞增，在點

13、x0的右邊單調遞減，則稱x0為f(x)的極大值點，f(x0)稱為極大值.,,,,,若在點x = x0的左邊單調遞減，在點x0的右邊單調遞增，則稱x0為f(x)的極小值點，f(x0)稱為極小值. 注意 極大值與極小值是函數(shù)值，而極大值點與極小值點是自變量的取值.,,,,,可以證明定理 極值點是駐點或導數(shù)不存在的點.上述定理的逆不成立，如y = x3，在x = 0時導數(shù)為0，但x = 0不是y = x3的極值點,例

14、(利用導數(shù)討論函數(shù)的極值 ) 討論 的極值.Solution (1) f(x)的定義域為(-?, +?). (2) 所給函數(shù)f(x)在每個點都可導. 因為 ,令 , 得出x = -2和 x = 2. (3) x = -2和 x = 2將定義域 (-?, +?)分成三個小區(qū)間：(-?, -2), (-2,

15、2), (2, +?).,(-?, -2): 由于x 2，所以 , 在(2, +?)上單調遞增.由此可見，x = -2是極大值點，極大值為f(-2) = 28/3. x = 2是極小值點，極小值為f(2) = -4/3.由前面的兩個例子知道，討論函數(shù)的單調性和極大(小)值，可以同時進行.,3. 曲線的凹凸性假定函數(shù)y = f(x) 在(a, b)區(qū)間內二階可導. 利用二階導數(shù)可以討論曲線的凹凸性.

16、(1) 在(a, b)區(qū)間內曲線是凹的, 是指如下圖形形狀.在(a, b)區(qū)間內曲線是凹的充要條件 (導函數(shù)是單調遞增函數(shù)).,,,,,,,,,(2) 在(a, b)區(qū)間內曲線是凸的, 是指如下圖形形狀.在(a, b)區(qū)間內曲線是凸的充要條件 (一階導函數(shù)是單調遞減函數(shù)).,,,,,,,,,二階導數(shù)為0的點和二階導數(shù)不存在的點是很關

17、鍵的. 討論步驟如下. (1) 求出y = f(x)的定義域. (2) 求出y = f(x) 二階導數(shù)為0的點和二階導數(shù)不存在的點, 這些點將定義域分成若干個小區(qū)間.(3) 在每個小區(qū)間內，分別考慮 是大于0還是小于0，進而可得出在這個小區(qū)間曲線是凹還是凸. 凹凸性發(fā)生變化的曲線上的點稱為該曲線的的拐點.,例(利用二階導數(shù)討論曲線的凹凸性) 討論曲線f(x) = x4 – 2x3 +1的凹凸性及拐點.Sol

18、ution (1) f(x)的定義域為(-?, +?).(2) 所給函數(shù)f(x)在每個點都二階可導. 因為 , 進而 令 , 得出x = 0和 x = 1. (3) x = 0和 x = 1將定義域 (-?, +?)分成三個小區(qū)間：(-?, 0), (0, 1), (1, +?).,(-?, 0): 由于x