§3向量組的秩

1、知識(shí)點(diǎn)5---向量組的最大無(wú)關(guān)組,,,,向量組秩的定義及求法,2.,,,,最大線性無(wú)關(guān)組的定義,1.,線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān),定義,則稱向量組 A 是線性相關(guān)的，否則,稱它線性無(wú)關(guān)．,給定向量組 A：,如果存在不全為零的數(shù),使,對(duì)于任一向量組，不是線性無(wú)關(guān)就是線性相關(guān).,如果有,一、最大線性無(wú)關(guān)組,驗(yàn)證,解：,向量組的最大無(wú)關(guān)組不是唯一的.,,都是最大無(wú)關(guān)組嗎？,解：,,是線性無(wú)關(guān)的,是線性相關(guān)的，,每組向量加一個(gè)向量后就線性相關(guān)，,它們都

2、是最大無(wú)關(guān)組.,所以不是最大無(wú)關(guān)組.,在向量組,中，,1. 若向量組A本身線性無(wú)關(guān)，則A 就是其一個(gè)最 大無(wú)關(guān)組；,2.全由零向量組成的向量組，沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組；,注,,3.向量組的任一向量能由它的最大無(wú)關(guān)組線性表示.,定義：向量組的最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩,二、向量組的秩及求法,則該向量組的秩為r.,,定理1：向量組與其任何一個(gè)最大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的;,證明 :設(shè)向量組A的秩為r, A的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為,(1) A1中的向

3、量都是A中的向量,所以A1可由A 線性表示；,(2) 任意 ,當(dāng) 時(shí), 可由線性A1表示；,當(dāng) 時(shí), 線性相關(guān), 而,線性無(wú)關(guān), 可由A1線性表示.,故A可由A1線性表示．因此 A與A1等價(jià)．,定理1：向量組與其任何一個(gè)最大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的;,推論1：向量組的任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組間是等價(jià)的;,推論2：向量組的任意兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組含有向量的個(gè)數(shù)相同;,例1 已知,,,求,的

4、最大無(wú)關(guān)組及向量組的秩.,解,,,,,,,,,,,是最大無(wú)關(guān)組.,,,,,,,向量組 的秩,即為矩陣 的秩,性質(zhì)1:,是最大無(wú)關(guān)組.,等于最大無(wú)關(guān)組的向量的個(gè)數(shù)。,向量組的秩是3.,,,,,,,組中任意s+1個(gè)向量（如果有）必線性相關(guān),是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.,是線性相關(guān).,一般取階梯頭所在的列作為一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.,求最大無(wú)關(guān)組的步驟：,將A只用初等行變換化為階梯形矩陣B.,是它的一個(gè)最

5、大無(wú)關(guān)組.,一般取階梯頭所在的列作為一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.,2.求出B的秩，如,,解,例2 已知向量組A：,,,,求A的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組及向量組的秩.,,,是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.,,ｎ個(gè)ｍ維列向量.,三、向量組的秩和對(duì)應(yīng)矩陣秩的關(guān)系,第ｊ個(gè)列向量記作,ｍ個(gè)ｎ維行向量.,按行分塊,按列分塊,第ｉ個(gè)行向量記作,,,,這兩個(gè)向量組都來(lái)源于同一個(gè)矩陣A;不同的是來(lái)自于兩種不同的分塊方法.,,,,,,,定義:矩陣A按行分塊得到行向量組的秩稱為A的行秩，

6、 按列分塊得到列向量組的秩稱為A的列秩。,證明:設(shè),則A的行秩=A的列秩=向量組的秩.,定理2:設(shè),A的列秩,有性質(zhì)知，,則A的行秩=A的列秩=向量組的秩.,AT的列秩,A的行秩=,,An是可逆矩陣,A的行向量組是線性無(wú)關(guān),A的列（行）向量組中有r 個(gè)列（行）向量線性無(wú)關(guān)，,且任意r+1個(gè)（如果有）列（行）向量均線性相關(guān).,推論:,A的列向量組是線性無(wú)關(guān),例3 設(shè)A是5*3的矩陣，且R(A)=3，下述4個(gè)命題中,（A）A的3個(gè)列向量

7、必線性無(wú)關(guān)。（B）A的5個(gè)行向量必線性相關(guān)。（C）A的任意3個(gè)行向量必線性無(wú)關(guān)。（D）A的行向量中有3個(gè)行向量是線性無(wú)關(guān)的。,不正確的是（ ）,解： 由 R(A)=3 知，,而A的列向量只有3個(gè)，,所以，A的3個(gè)列向量必然線性無(wú)關(guān)，,所以，A的列秩=3，,故（A）正確。,例3 設(shè)A是5*3的矩陣，且R(A)=3，下述4個(gè)命題中,（A）A的3個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)。（B）A的5個(gè)行向量必線性相關(guān)。（C）A的任意3個(gè)行向量必線性無(wú)

8、關(guān)。（D）A的行向量中有3個(gè)行向量是線性無(wú)關(guān)的。,不正確的是（ ）,解： 由 R(A)=3 知，,而A的行向量有5個(gè)，,A的5個(gè)行向量必然線性相關(guān)，,所以，A的行秩=3，,故（B）正確。,,例3 設(shè)A是5*3的矩陣，且R(A)=3，下述4個(gè)命題中,（A）A的3個(gè)列向量必線性無(wú)關(guān)。（B）A的5個(gè)行向量必線性相關(guān)。（C）A的任意3個(gè)行向量必線性無(wú)關(guān)。（D）A的行向量中有3個(gè)行向量是線性無(wú)關(guān)的。,不正確的是（ ）,解： 由 R