§3相似矩陣

1、例1 求一可逆矩陣P,把,化成對角矩陣.,解 ①由|A－λE|=0,求A的全部特征值.,②,～,～,③,例2 設(shè)矩陣A與B相似,其中,（1）求x和y的值,,解 (1)因?yàn)锳∽B,所以B的主對角線元素是A的特征值.因此有,(2) 由于A∽B,所以A的特征值為,～,得基礎(chǔ)解系:,～,得基礎(chǔ)解系:,～,得基礎(chǔ)解系:,當(dāng)λ2 ＝2時(shí)，,令可逆矩陣,即為所求.,例3 設(shè)矩陣,問當(dāng)k為何值時(shí),存在可逆矩陣P,使得P-1AP為對角陣，并求出

2、 P和相應(yīng)的對角陣。,解 由,～,當(dāng)k = 0 時(shí),上式變?yōu)?～,對應(yīng)特征向量可取為:,～,～,對應(yīng)特征向量可取為:,因此,當(dāng) k = 0 時(shí),令,從上面的討論和例題可知, A沒有重特征值,則A必可對角化,而當(dāng) A有重特征值時(shí),就不一定有n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ,從而不一定能對角化 .上次課講的二重特征值不能對應(yīng)兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ,所以該方陣不能對角化 .而在本節(jié)例1中A也有二重特征值,但卻能找到 3個(gè)線性無關(guān)特征向量.所以例