控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1、Wednesday, March 6, 2024,1,第二節(jié) 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),Wednesday, March 6, 2024,2,傳遞函數(shù)的基本概念,傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，在系統(tǒng)的分析和綜合中可解決如下問題：,不必求解微分方程就可以研究初始條件為零的系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的動(dòng)態(tài)過程。,可以研究系統(tǒng)參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的影響，因而使分析系統(tǒng)的問題大為簡(jiǎn)化。,可以把對(duì)系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化

2、為對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的要求，使綜合問題易于實(shí)現(xiàn)。,Wednesday, March 6, 2024,3,系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的微分方程為：式中：x（t）—輸入，y（t） —輸出 為常系數(shù),一、傳遞函數(shù)的基本概念,將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）,稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，即：環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是它的微分方程在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。也可寫成：Y(s)=G(s) X(s)。通過拉氏反變換可求出時(shí)域表達(dá)式

3、y(t)。,傳遞函數(shù)的基本概念,Wednesday, March 6, 2024,4,傳遞函數(shù)的基本概念,[總結(jié)]: 傳遞函數(shù)是由線性微分方程（線性系統(tǒng)）當(dāng)初始值為零時(shí)進(jìn)行拉氏變化得到的。,已知傳遞函數(shù)G(s)和輸入函數(shù)X(s)，可得出輸出Y(s)。通過反變換可求出時(shí)域表達(dá)式y(tǒng)(t)。,可以由環(huán)節(jié)的微分方程直接得出傳遞函數(shù)，只要將各階導(dǎo)數(shù)用各階s代替即可。即：,Wednesday, March 6, 2024,5,傳遞函數(shù)的基本

4、概念||例2-8,運(yùn)放Ⅰ：,運(yùn)放Ⅱ：,功放：,[例2-8]求速度控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。[解]各環(huán)節(jié)的微分方程和傳遞函數(shù)分別為：,直流電動(dòng)機(jī)：,Wednesday, March 6, 2024,6,傳遞函數(shù)的基本概念||例2-8,上式有兩個(gè)輸入量，而傳遞函數(shù)只能處理單輸入-單輸出系統(tǒng)。對(duì)于線性系統(tǒng)，可以將多個(gè)輸入分別獨(dú)立處理，然后疊加起來。下面分別討論兩個(gè)輸入單獨(dú)作用時(shí)的傳遞函數(shù)。,令 ，得轉(zhuǎn)速對(duì)電樞電壓的

5、傳遞函數(shù)：,令 ，得轉(zhuǎn)速對(duì)負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：,最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：,反饋環(huán)節(jié)：,Wednesday, March 6, 2024,7,,,方法1：見例2-1 求上式的拉氏變換，得：,傳遞函數(shù)為：,傳遞函數(shù)的基本概念||例2-8a,方法2：復(fù)阻抗（電阻、電容和電感）分別為 。則：,Wednesday, March 6, 2024,8,傳遞函數(shù)的基本概念|

6、|例2-9,B為虛地點(diǎn)，所以,所以：,Wednesday, March 6, 2024,9,傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對(duì)應(yīng)。且與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性一一對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，

7、不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，分母的階次n大于分子的階次m，此時(shí)稱為n階系統(tǒng)。,傳遞函數(shù)的基本概念,[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明],Wednesday, March 6, 2024,10,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,[傳遞函數(shù)的幾種表現(xiàn)形式]：,

8、表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：,Wednesday, March 6, 2024,11,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,寫成時(shí)間常數(shù)形式：,Wednesday, March 6, 2024,12,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,Wednesday, March 6, 2024,13,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,若再考慮有n個(gè)零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：,從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡(jiǎn)單、最基本的一些形

9、式。,式中：,或：,,,,,,,Wednesday, March 6, 2024,14,比例環(huán)節(jié),二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時(shí)域特征和復(fù)域（s域）特征。時(shí)域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布。,比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動(dòng)等。,Wednesday, March 6, 2

10、024,15,積分環(huán)節(jié),Wednesday, March 6, 2024,16,積分環(huán)節(jié)實(shí)例,Wednesday, March 6, 2024,17,（三）慣性環(huán)節(jié),當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),有 ，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。,慣性環(huán)節(jié),當(dāng)k=

11、1時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),時(shí)域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布圖如下：,通過原點(diǎn)的 斜率為1/T。只有一個(gè)極點(diǎn)（-1/T）。,Wednesday, March 6, 2024,18,慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng),Wednesday, March 6, 2024,19,兩個(gè)實(shí)例：,慣性環(huán)節(jié)實(shí)例,Wednesday, March 6, 2024,20,振蕩環(huán)節(jié),（四）振蕩環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：,傳遞函數(shù)：,上述傳遞函數(shù)有兩種情況：,Wednesday, Mar

12、ch 6, 2024,21,振蕩環(huán)節(jié)分析,[分析]：y(t)的響應(yīng)過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運(yùn)動(dòng)。與 有關(guān)。 反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)， 稱為無阻尼振蕩圓頻率。當(dāng) 時(shí)，曲線單調(diào)上升,無振蕩。當(dāng) 時(shí)，曲線衰減振蕩。 越小，振蕩越厲害。,若 ，傳遞函數(shù)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。傳函可寫成：,對(duì)階躍輸入：,Wednesday, March 6,

13、 2024,22,解：當(dāng) 時(shí)，有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。所以：,解得：,[例]：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的 和 。（見例2-2，p11）,振蕩環(huán)節(jié)例子,Wednesday, March 6, 2024,23,微分環(huán)節(jié),,（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時(shí)域形式有三種形式：①②③,相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③,分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、

14、實(shí)數(shù)和一對(duì)共軛零點(diǎn)（若 ）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,Wednesday, March 6, 2024,24,式中：,微分環(huán)節(jié)實(shí)例,Wednesday, March 6, 2024,25,延遲環(huán)節(jié),（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時(shí)滯，時(shí)延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。 如右圖

15、所示。其傳遞函數(shù)為：,Wednesday, March 6, 2024,26,（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如 等，它們的極點(diǎn)在s平面的右半平面，我們以后會(huì)看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。,其他環(huán)節(jié),Wednesday, March 6, 2024,27,小結(jié),傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的列寫（由微分方程和系統(tǒng)原理圖出發(fā)）傳遞函數(shù)的適用范圍和局限性典型環(huán)節(jié)及其傳遞