線性方程組與矩陣秩的若干問題

1、線性方程組與矩陣秩的若干問題,福建師范大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院代數(shù)教研室 肖民卿 2008年10月,引言,矩陣秩的概念是由J.Sylvester于1861年引進(jìn)的，它是矩陣的最重要數(shù)字特征之一。這里，我們結(jié)合“矩陣與線性方程組”的教學(xué)討論以下內(nèi)容：矩陣秩描述的線性方程組解的判定定理在解析幾何中的一個(gè)應(yīng)用；矩陣秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等號(hào)成立的充分必要條件。,一.線

2、性方程組解的判定定理在解析幾何中的一個(gè)應(yīng)用,m個(gè)方程n個(gè)未知元的線性方程組一般表示為：,線性方程組(1)的矩陣表示為：,其中，,線性方程組有解的判定定理,線性方程組(1)有解的充分必要條件是,這里， 表示矩陣 的秩。特別地，,若 ，則線性方程組(1)有唯一解； 若 ，則線性方程組(1)有無窮多解。,利用上述定理，可以簡潔刻畫一般方程表示的幾何空間中直線及平面的位置關(guān)

3、系。,1. 直線與直線的位置關(guān)系,設(shè)幾何空間中兩條直線的方程分別為,這樣， 與 的位置關(guān)系取決于線性方程組,解的情況。記,則有如下結(jié)論：,（i） 與 相交,（ii） 與 重合,（iii） 與 平行,（iv） 與 異面,2. 直線與平面的位置關(guān)系,設(shè)幾何空間中直線和平面的方程分別為,記,則有如下結(jié)論：,（i） 與 相交,（ii） 在 上,（iii） 與 平行,3. 三個(gè)平面的位置關(guān)系,設(shè)幾何空間中三

4、個(gè)平面的方程分別為,記,則有如下結(jié)論：,（i）三個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),（ii）三個(gè)平面有一條公共直線,（iii）三個(gè)平面平行,（iv）三個(gè)平面構(gòu)成三棱柱,二. 矩陣秩不等式中的一些問題,關(guān)于矩陣的秩,有兩個(gè)重要的不等式.,Sylvester不等式：,設(shè) 、 、 分別是 、 、 矩陣.,Frobenius不等式：,問題： 在這兩個(gè)不等式中等號(hào)成立的條件是什么？,即以下等式成立的條件分別是什么？,許多教材以習(xí)題方式給出

5、等式①成立的充分必要條件：,當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組 與齊,次線性方程組 同解.,利用這一結(jié)果，可以得到等式②成立的充分必要條件：,當(dāng)且僅當(dāng)齊次線性方程組 與齊次線性方程組 同解.,對(duì)于等式③和等式④，文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[4]均做了研究，給出等式成立的充分必要條件.,文獻(xiàn)[3]的結(jié)論：,的充分必要條件是存在矩陣,和 ，使得 .,的充分必要條件是存,在矩陣 和

6、 ，使得 . 其中， 是,的任意取定的一個(gè)滿秩分解.,文獻(xiàn)[4]的結(jié)論：,的充分必要條件是,對(duì)于齊次,線性方程組 的任一解 ,都存在 使得 .或,的充分必要條件是,對(duì),于齊次方程組 的任一形如 的解,都存在 ,使,得 .,者說, 的零空間包含于 的象空間,即 .,文獻(xiàn)[5]利用矩陣的廣義逆，分別給出等式①~等式

7、④成立的充分必要條件.,引理1 對(duì)于任意適維矩陣 、 、 ，有,這里列出其主要結(jié)果：,引理2 對(duì)于任意 、 ，有,引理3 設(shè) 有n列， 有n行，則對(duì)任意 、 ， 有,定理1 在Sylvester不等式中，對(duì)任意 、 ， 有,為列滿秩；,為行滿秩；,引理4 對(duì)任意 、 ，有,定理2 在Frobenius不等式中，對(duì)任意

8、 、 ，有,參考文獻(xiàn),[1] 陳志杰. 高等代數(shù)與解析幾何[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.[2] 丘維聲. 高等代數(shù)(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[3] 胡付高. 關(guān)于一類矩陣秩的恒等式注記[J]. 武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 27(3): 322-323.[4] 呂登峰, 劉 瓊等. 矩陣秩的Sylvester與Frobenius等式問題[J]. 孝感學(xué)院學(xué)