線性方程組

1、第3講 線性方程組的高斯求解方法,主要內(nèi)容：1. 線性方程組的高斯求解方法2. 將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣,1.3 線性方程組的高斯求解方法,求解線性方程組: 先判斷是否有解; 在有解時, 再求出所有解(通解).1.3.1 將增廣矩陣化為行階梯形矩陣例1.7 求解下列線性方程組,SolutionR(A) = R(B) = 3,1.3.2 將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣一個矩陣的行最簡形矩陣(rref:

2、reduced row echelon form of a matrix), 必須滿足以下3個條件:(1) 是該矩陣的行階梯形矩陣.(2) 行階梯形矩陣非零行的首元為1.(3) 首非零元1所在列的其他元素全為0.行最簡形矩陣=約化行梯陣=簡化行梯陣.,“向上消元”?,,,,,,,,,,,一般來說,將非零行的首非零元素對應(yīng)的未知量x1、x2和x3作為先導(dǎo)未知量(leading unknown, 而其余未知量x4是自由未知量(fr

3、ee unknown). 先導(dǎo)未知量就是哪些不作為自由變量!!},先導(dǎo)未知量的個數(shù)就是矩陣的秩R(A) = R(B) = r = 3, 進而自由未知量的個數(shù)為 n – r = 4 – 3 = 1.,令x4 = k(其中k為任意常數(shù)) 將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣的目的: 方便求解.,在MATLAB命令窗口輸入矩陣B以及rref(B)就可以得到B的行最簡形矩陣,使用rrefmovie(B)還可以看到B的行最簡形矩陣

4、的計算過程,再通過選取自由未知量可得出線性方程組的通解. 例如,為了得出的行最簡形矩陣,可以鍵入以下兩個命令并回車.,>>B=[2, -1, 0, 2, -1; -4, 5, -8, 3, 5; 3, -2, 1, 2, -2];format rat %用有理分數(shù)格式，否則是小數(shù)格式 >>rref(B)>>rrefmovie(B),定理1.2 若n元線性方程組有解, 其系

5、數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為A和B，則(1) 當R(A) = R(B) = r = n時, 該線性方程組有唯一解. ( n – r = 0!)(2) 當R(A) = R(B) = r < n時, 該線性方程組存在n – r個自由未知量, 進而有無限多個解.注意 當R(A) ? R(B)時, 該線性方程組無解.,下面舉一個求解齊次線性方程組的例子.例1.8 用高斯消元法求解齊次線性方程組,,,Solution,其對應(yīng)的同解齊次

6、線性方程組為,這時取x3和x4為自由未知量，令x3= k1， x4= k2，得原方程組的所有解為其中k1, k2為任意常數(shù).,上面介紹的是使用高斯消元法求解線性方程組的一般步驟,可以自己總結(jié)一下.但可以靈活運用,例如在例1.8中，若取x2和x3為自由未知量,則將A的行梯形矩陣化為,其對應(yīng)的同解齊次線性方程組為,取x2和x3為自由未知量,令x2= k1, x3= k2,得原方程組的所有解為其中k1, k2為任

7、意常數(shù).,對于一般的線性方程組,已經(jīng)解決了(1)解的存在性問題.(2)求出其所有解的問題.還需要研究的是線性方程組的解之間的關(guān)系問題,如上例中線性方程組(1.24)的兩種解形式(1.25)和(1.26)本質(zhì)上是相同的,在第3章將借助于向量理論討論線性方程組的結(jié)構(gòu)解問題.,下列線性方程組無解：但有些實際問題,需要得出x1和x2的值,使得各個方程左右兩邊差的平方和最小, 這就是線性方程組(1.27)的最小二乘解問題