大型線性方程組的迭代解法.pdf

1、隨著計算技術的發(fā)展，從偏微分方程、線性規(guī)劃、網(wǎng)絡分析、結構和非結構問題的有限元分析等領域中提出了求解大型稀疏線性方程組的問題。 本文就是針對大型線性代數(shù)方程組的求解問題進行了系統(tǒng)的研究。 首先針對兩種特定線性方程組—正實線性系統(tǒng)和廣義嚴格對角占優(yōu)線性系統(tǒng)進行了分析和討論。針對正實線性系統(tǒng)給出了一種新的迭代解法。該迭代法的構成是基于系數(shù)矩陣的混合形式的分解。迭代法需要選擇一個對稱正定矩陣D，通過適當選取矩陣D，新迭代法是收

2、斂的，并且以定理的形式給出了兩種選擇D的方法，又通過例題給出了迭代法的計算過程。可以看出，對于用迭代法求解正實線性系統(tǒng)，新迭代方法要比其它的迭代方法如SOR法更容易實現(xiàn)。 其次利用階梯矩陣及其一般性的定義和性質構造出一種新的迭代法?；诖诵戮仃囶惖牡椒ǖ娘@著特征是它對于并行計算很容易被實現(xiàn)。特別地，關于AOR方法的一些性質都被延伸到該新方法中，并針對Hermitian正定矩陣進行了新方法收斂性的分析。最后，給出了一些例子來表

3、明新方法的優(yōu)越性。 文中以Navier-Stokes方程和Stokes方程作為模型問題，介紹了帶穩(wěn)定化的混合有限元離散方法和M．A．C格式的有限差分離散方法，由此引出了鞍點形式的方程組。利用模型分析給出了鞍點問題的類型及特點，分析了常規(guī)的迭代解法失效于求解鞍點問題的原因。尋找具有更簡單的計算格式或收斂更快的迭代格式，成為熱門的研究課題。 針對鞍點問題給出了新的有效求解方法。新方法是通過對近年來發(fā)展起來的廣義SOR方法，S

4、OR-Like方法及廣義AOR方法進行了分析和總結，并針對對稱鞍點線性系統(tǒng)的特有的結構特點而得到的含有兩個迭代參數(shù)的迭代方法，稱之為廣義SOR-Like方法，并對廣義SOR-like方法進行了收斂性分析，最后又通過數(shù)值算例的分析指出廣義SOR-like方法同SOR-like方法相比，收斂速度大大提高。在SOR-Like方法，廣義AOR方法及廣義SOR-like方法的基礎上，又給出了一種求解鞍點問題新的迭代方法。通過分析指出新方法實際上是