大型線性方程組的迭代解法.pdf

1、隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，從偏微分方程、線性規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)分析、結(jié)構(gòu)和非結(jié)構(gòu)問題的有限元分析等領(lǐng)域中提出了求解大型稀疏線性方程組的問題。 本文就是針對(duì)大型線性代數(shù)方程組的求解問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。 首先針對(duì)兩種特定線性方程組—正實(shí)線性系統(tǒng)和廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)線性系統(tǒng)進(jìn)行了分析和討論。針對(duì)正實(shí)線性系統(tǒng)給出了一種新的迭代解法。該迭代法的構(gòu)成是基于系數(shù)矩陣的混合形式的分解。迭代法需要選擇一個(gè)對(duì)稱正定矩陣D，通過適當(dāng)選取矩陣D，新迭代法是收

2、斂的，并且以定理的形式給出了兩種選擇D的方法，又通過例題給出了迭代法的計(jì)算過程?？梢钥闯?，對(duì)于用迭代法求解正實(shí)線性系統(tǒng)，新迭代方法要比其它的迭代方法如SOR法更容易實(shí)現(xiàn)。 其次利用階梯矩陣及其一般性的定義和性質(zhì)構(gòu)造出一種新的迭代法。基于此新矩陣類的迭代方法的顯著特征是它對(duì)于并行計(jì)算很容易被實(shí)現(xiàn)。特別地，關(guān)于AOR方法的一些性質(zhì)都被延伸到該新方法中，并針對(duì)Hermitian正定矩陣進(jìn)行了新方法收斂性的分析。最后，給出了一些例子來表

3、明新方法的優(yōu)越性。 文中以Navier-Stokes方程和Stokes方程作為模型問題，介紹了帶穩(wěn)定化的混合有限元離散方法和M．A．C格式的有限差分離散方法，由此引出了鞍點(diǎn)形式的方程組。利用模型分析給出了鞍點(diǎn)問題的類型及特點(diǎn)，分析了常規(guī)的迭代解法失效于求解鞍點(diǎn)問題的原因。尋找具有更簡(jiǎn)單的計(jì)算格式或收斂更快的迭代格式，成為熱門的研究課題。 針對(duì)鞍點(diǎn)問題給出了新的有效求解方法。新方法是通過對(duì)近年來發(fā)展起來的廣義SOR方法，S

4、OR-Like方法及廣義AOR方法進(jìn)行了分析和總結(jié)，并針對(duì)對(duì)稱鞍點(diǎn)線性系統(tǒng)的特有的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)而得到的含有兩個(gè)迭代參數(shù)的迭代方法，稱之為廣義SOR-Like方法，并對(duì)廣義SOR-like方法進(jìn)行了收斂性分析，最后又通過數(shù)值算例的分析指出廣義SOR-like方法同SOR-like方法相比，收斂速度大大提高。在SOR-Like方法，廣義AOR方法及廣義SOR-like方法的基礎(chǔ)上，又給出了一種求解鞍點(diǎn)問題新的迭代方法。通過分析指出新方法實(shí)際上是