數(shù)列、函數(shù)上下極限的性質(zhì)及其應(yīng)用【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開題報(bào)告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　數(shù)列、函數(shù)上下極限的性質(zhì)及其應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)

2、學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：極限是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，也是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)

3、重要內(nèi)容，極限思想在數(shù)學(xué)中也起著非常重要的作用。上、下極限的概念是極限概念的延伸，在極限概念中占有重要的位置。本文首先介紹了數(shù)列、函數(shù)的上下極限的定義，并給出了幾個(gè)等價(jià)定義的證明過程；然后介紹了數(shù)列、函數(shù)的上下極限的性質(zhì)定理并給出了相應(yīng)的證明過程；最后通過實(shí)例給出了數(shù)列、函數(shù)上下極限的相關(guān)理論在證明數(shù)列和函數(shù)極限存在性等方面的應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：上極限；下極限；數(shù)列；函數(shù)。</p>

4、<p>　　Applying and properties of upper and lower</p><p>　　limits in sequences and functions</p><p>　　Abstract: Limits is one of the most important basic mathematical concepts, is also an im

5、portant tool of mathematical research. The concepts of upper and lower limits are the extension of the concept of limits, possesses the very important position in the concept of limits. This manuscript deals with the def

6、initions of upper and lower limits in sequences and functions and the process of the proof for some equivalent definitions at first; secondly, we introduce the theorems on properties of upper </p><p>　　Key w

7、ords: upper limits ; lower limits ; sequence ; function .</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的定義3</p><p>　

8、　2.1 數(shù)列的上、下極限的定義3</p><p>　　2.1.1 數(shù)列的上、下極限的定義3</p><p>　　2.1.2 數(shù)列的上、下極限的幾個(gè)定義的等價(jià)性4</p><p>　　2.2 函數(shù)的上、下極限的定義5</p><p>　　2.2.1 函數(shù)的上、下極限的定義5</p><

9、;p>　　2.2.2 函數(shù)的上、下極限的幾個(gè)定義的等價(jià)性6</p><p>　　3 數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)8</p><p>　　3.1 數(shù)列的上、下極限的性質(zhì)8</p><p>　　3.1.1 數(shù)列的上、下極限的性質(zhì)8</p><p>　　3.1.2 性質(zhì)的證明9</p>&

10、lt;p>　　3.2 函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)10</p><p>　　3.2.1 函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)10</p><p>　　3.2.2 性質(zhì)的證明12</p><p>　　4 數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的應(yīng)用14</p><p>　　4.1 上、下極限性質(zhì)的應(yīng)用舉例14</p>&

11、lt;p>　　4.2 上、下極限的應(yīng)用在極限運(yùn)算及證明中的作用15</p><p>　　4.3 上、下極限來刻畫數(shù)列收斂的充要條件17</p><p>　　4.4 上、下極限概念在數(shù)列與級(jí)數(shù)論中的作用18</p><p>　　5 結(jié)束語20</p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p&g

12、t;<p><b>　　主要參考文獻(xiàn)21</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　眾所周知，極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其地位的重要性毋庸多言。極限思想在數(shù)學(xué)中起著非常重要的作用。極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終?？梢哉f數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中，

13、都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法，然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)家拉夫倫捷夫曾說：“數(shù)學(xué)極限法的創(chuàng)造是對(duì)那些不能夠用算術(shù)、代數(shù)和初等幾何的簡單方法來求解的問題進(jìn)行了許多世紀(jì)的頑強(qiáng)探索的結(jié)果?！?</p><p&

14、gt;　　極限思想的萌芽階段以希臘的芝諾，中國古代的惠施、劉徽、祖沖之等為代表。提到極限思想，就不得不提到由古希臘的著名哲學(xué)家芝諾提出的著名的阿基里斯悖論——一個(gè)困擾了數(shù)學(xué)界十幾個(gè)世紀(jì)的問題。無獨(dú)有偶，我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的哲學(xué)名著《莊子》記載著惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭?！?這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。我國古代的劉徽和祖沖之計(jì)算圓周率時(shí)所采用的“割圓術(shù)”則是極限思想的一種基本應(yīng)用。以上諸多內(nèi)容可以上溯到2000多年前，

15、都是極限思想萌芽階段的一些表現(xiàn)，盡管在這一階段人們沒有明確提出極限這一概念，但大致在16、17世紀(jì)真正意義上的極限得以產(chǎn)生。從這一時(shí)期開始，極限與微積分開始形成密不可分的關(guān)系，并且最終成為微積分的直接基礎(chǔ)。盡管極限概念被明確提出，可是它仍然過于直觀，與數(shù)學(xué)上追求嚴(yán)密的原則相抵觸。到18世紀(jì)時(shí)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅伊里艾等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)，并且都對(duì)極限做出了定義。然而他們?nèi)匀粵]有擺脫對(duì)幾何直觀的依賴。</p

16、><p>　　直至19世紀(jì)，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)定義。在這一靜態(tài)定義中，“無限”“接近”等字眼消失了，取而代之的是數(shù)字及其大小關(guān)系。它的“”定義遠(yuǎn)沒有建立在運(yùn)動(dòng)和直觀基礎(chǔ)上的描述性定義易于理解。這也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)概念的抽象性，越抽象越遠(yuǎn)離原型，然而越能精確地反映原型的本質(zhì)。</p><p>　　而上、下極限的概念是極限概念的延伸，由于它們?cè)谡?xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法的重要作用，成為數(shù)學(xué)分析中

17、重要的理論部分。已有文獻(xiàn)就上下極限的定義及性質(zhì)的相關(guān)理論的研究已經(jīng)取得了較為豐富的結(jié)果（詳見文獻(xiàn)[1-13]）；其中文獻(xiàn)[1-4]給出了數(shù)列、函數(shù)上下極限的定義以及等價(jià)定義的證明，文獻(xiàn)[5-9] 給出了數(shù)列、函數(shù)上下極限的性質(zhì)以及證明，文獻(xiàn)[10-13]給出了數(shù)列、函數(shù)上下極限的相關(guān)理論在證明數(shù)列和函數(shù)極限存在性的一些推廣應(yīng)用。從這些文獻(xiàn)的研究可以看出正確地理解和認(rèn)識(shí)數(shù)列、函數(shù)的上下極限，有利于更好地認(rèn)清數(shù)列、函數(shù)尤其是非收斂數(shù)列、函數(shù)

18、的內(nèi)部結(jié)構(gòu)形態(tài)。本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究總結(jié)數(shù)列、函數(shù)的上下極限的定義、性質(zhì)及相關(guān)理論和應(yīng)用，借以加深對(duì)數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)等所學(xué)課程內(nèi)容的理解，培養(yǎng)自己的學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的能力。</p><p>　　2 數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的定義</p><p>　　2.1 數(shù)列的上、下極限的定義</p><p>　　2.1.1 數(shù)列的上、下極限的定義

19、</p><p>　　對(duì)于收斂數(shù)列，如果粗略地把作為“充分大時(shí)，大小”的量度。那么，對(duì)于一般數(shù)列，可以提這樣的問題“當(dāng)充分大的時(shí)候，能有多大（小）？這就是上、下極限概念的樸素思想。</p><p>　　本文對(duì)數(shù)列的聚點(diǎn)的概念，是在如下意義之上的：對(duì)任意數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則認(rèn)為和是有序集的不同元素，如果的任何鄰域中都含有無窮多個(gè)，則稱為為的聚點(diǎn)。</p><p>　　定義1

20、 設(shè)數(shù)列的聚點(diǎn)組成的集合為，則稱為的上極限，且為的下極限。</p><p><b>　　不難知道，，。</b></p><p>　　定義2 設(shè)為數(shù)列，稱為的上極限，且為的下極限，例如或者，則或者。</p><p>　　定義 3 設(shè)為數(shù)列，如果無上界，則稱為的上極限；如果無下界，則稱為的下極限；如果有界，當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，稱分別為的上極

21、限和下極限；當(dāng)為非常數(shù)有界數(shù)列時(shí)，設(shè)，，取，，設(shè)，；如果是無窮集，則令，，否則令，；如果是無窮集，則令，，否則令，；再分別取和的中點(diǎn)……這樣，得到兩個(gè)閉區(qū)間套和，且，，對(duì)任意，和中最多只有有限個(gè)，稱：</p><p>　　為的上極限，為的下極限。</p><p>　　2.1.2 數(shù)列的上、下極限的幾個(gè)定義的等價(jià)性</p><p>　　上節(jié)中的定義 1、定義 2

22、、定義3是等價(jià)的。下面給出證明：</p><p>　?。?。定義 １與定義 2 等價(jià) </p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　如果，據(jù)式，存在使，即。因，故存在使。取，則由于（對(duì)任意），此與是聚點(diǎn)矛盾。所以必有。</p><p><b>　?。?）</b></p>

23、<p>　　任取，設(shè)，因。即對(duì)任意，。所以，對(duì)任意，。易知，。由的任意性，可得。</p><p>　　由（1）和（2）可得。同理可得。</p><p>　　2。定義 3與定義 1 等價(jià)</p><p>　　不妨只在，且和都有限的情況下來證明。</p><p>　　為定義 1所設(shè)，顯然，。</p><p>

24、　　任取，由的構(gòu)造特點(diǎn)可知存在，當(dāng)時(shí)，，且在中最多只有有限個(gè)，所以，，由，式，，即。</p><p><b>　　同理可證，。</b></p><p>　　2.2 函數(shù)的上、下極限的定義</p><p>　　2.2.1 函數(shù)的上、下極限的定義</p><p>　　設(shè)是區(qū)間，，函數(shù)是對(duì)所有，有定義的實(shí)值函數(shù)，為

25、了方便只討論在的某空心鄰域有上（下）界的函數(shù)。，記：</p><p><b>　　；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　；</b></p><p>&

26、lt;b>　　；</b></p><p>　　定義 4 數(shù)，稱為函數(shù)在的上極限，記作：</p><p><b>　　；</b></p><p>　　數(shù)，稱為函數(shù)在的下極限，記作：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　定義 5

27、若數(shù)滿足：，</p><p><b>　　（1），，有：；</b></p><p><b>　?。?），，有：；</b></p><p>　　則稱數(shù)為函數(shù)在的上極限，記作：。</p><p><b>　　若數(shù)滿足：，</b></p><p><b&

28、gt;　　（1），，有：；</b></p><p><b>　　（2），，有：；</b></p><p>　　則稱數(shù)為函數(shù)在的下極限，記作：。</p><p>　　定義 6 數(shù)稱為函數(shù)在的上極限，記作：；</p><p>　　數(shù)稱為函數(shù)在的下極限，記作：。</p><p>　　定義

29、 7 數(shù)稱為函數(shù)在的上極限，記作：；</p><p>　　數(shù)稱為函數(shù)在的下極限，記作：。</p><p>　　2.2.2 函數(shù)的上、下極限的幾個(gè)定義的等價(jià)性</p><p>　　上節(jié)中的定義 4、定義 5、定義6、定義7是等價(jià)的。下面給出證明：</p><p>　?。薄６x 4與定義 5 等價(jià) </p><p&g

30、t;　　（1）定義4定義5，只須證明定義4之中的數(shù)能使定義5中的條件（1,2）成立即可。</p><p>　　用反證法：若定義4中的數(shù)使條件（1）不成立，則，，，有：。</p><p>　　因此，故，這與相矛盾。</p><p>　　若定義4中的數(shù)使條件（2）不成立，則，有：。</p><p>　　從而，又因當(dāng)時(shí)，有，故：，這也與相矛盾。因此

31、定義4中數(shù)可使定義2中的條件（1，2）成立。</p><p>　?。?）定義5定義4，只須證明定義5之中的數(shù)，，由條件(1)可知：，，有： ，從而。</p><p>　　又因當(dāng)時(shí)，有：，從而，有。由條件（2）知：，，有：；從而，因此，，有：；故：；由的任意性可知：。</p><p>　　綜上所述可知，定義4和定義5是等價(jià)的。</p><p>

32、　　2。定義 5與定義 6 等價(jià)</p><p>　?。?）定義5定義6，只須證明定義5中的。</p><p>　　，由條件（1）可知，，，有：；，則且，，使。</p><p>　　因?yàn)?，所以?duì)上述，，當(dāng)時(shí)，有：，從而當(dāng)時(shí)，有，所以有：，且，所以有：。</p><p>　　綜上所述有：，有：，由的任意性可知：。</p><

33、p>　　（2）定義6定義5，只須證明定義6中的數(shù)能使定義2中的條件（1,2）成立，用反證法：若定義6中的數(shù)不能使定義5中的條件（1）成立，則：</p><p><b>　　，，，有：。</b></p><p>　　從而數(shù)列有界，故數(shù)列有收斂子列，記作：。</p><p>　　則因，所以有，且，從而有，這與相矛盾。</p>&

34、lt;p>　　若定義6中的數(shù)不能使定義5中的條件（2）成立，則，，，有：。</p><p><b>　　，則：且，，使。</b></p><p>　　因，故對(duì)上述。，時(shí)，有：。</p><p>　　從而時(shí)，有：，所以：，由此得：，這也與相矛盾。</p><p>　　因此定義6中數(shù)能使定義5中的條件（1，2）成立。由

35、此證明知：定義5與定義6等價(jià)。</p><p>　　3。定義 6與定義 7 等價(jià)</p><p>　　事實(shí)上：，所以，，則定義6與定義7等價(jià)。</p><p>　　綜上所述，定義 4、定義5、定義6、定義7是等價(jià)的。</p><p>　　3 數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)</p><p>　　3.1 數(shù)列的上

36、、下極限的性質(zhì)</p><p>　　3.1.1 數(shù)列的上、下極限的性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)1 設(shè)有界數(shù)列，滿足：存在，當(dāng)時(shí)有，則取上(下)極限后，原來的不等號(hào)方向保持不變：</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　特別地，若、為常數(shù)，又存在，當(dāng)時(shí)有，則：</p><

37、;p><b>　　。</b></p><p>　　性質(zhì) 2 設(shè) 為有界數(shù)列，則有：</p><p>　　（1） 是 的上極限的充要條件是：</p><p><b>　??；</b></p><p>　　（2） 是 的下極限的充要條件是：</p><p><b

38、>　　。</b></p><p>　　性質(zhì) 3 設(shè)是有界數(shù)列，則有：</p><p><b>　?。?） ；</b></p><p><b>　?。?） 。</b></p><p>　　性質(zhì) 4 設(shè)，是兩列數(shù)列，則有：</p><p><b&g

39、t;　?。?） ；</b></p><p><b>　　（2） 。</b></p><p>　　性質(zhì) 5 設(shè)，則有：</p><p><b>　?。?） ；</b></p><p><b>　　（2） 。</b></p><p>　　3.

40、1.2 性質(zhì)的證明</p><p>　　1.性質(zhì) 1的證明：，，現(xiàn)證。</p><p>　　假定，則對(duì)，根據(jù)知，中能滿足的項(xiàng)必有無限多個(gè)。又因?yàn)闀r(shí)，故中能滿足的項(xiàng)也有無限多個(gè)。這與相矛盾。因此。</p><p><b>　　同理可證。</b></p><p>　　特別地，若時(shí)有，由已證結(jié)論以及對(duì)任何有界數(shù)列有得：。

41、</p><p>　　2.性質(zhì) 2的證明：</p><p>　?。?）必要性 因 有界，所以為有限值，設(shè)其值為。因?yàn)閷?duì)任給的，中能滿足的至多有有限多個(gè)。設(shè)這有限個(gè)項(xiàng)中的下標(biāo)的最大者為，則時(shí)有，從而。</p><p>　　又由于對(duì)上述，中能滿足的項(xiàng)必有無限多個(gè)，故對(duì)一切，總有。于是，當(dāng)時(shí)有。所以。</p><p>　　（2）充分性 設(shè)（

42、為有限值）。記，則遞減且。</p><p>　　于是，對(duì)任給的，存在，使得當(dāng)時(shí)有的項(xiàng)有無限多個(gè)，故。</p><p>　　由已證結(jié)論和，得：。</p><p><b>　　所以。</b></p><p>　　3.性質(zhì) 3的證明：由上下確界的定義知：，。</p><p><b>　　令取極

43、限即是：</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　4.性質(zhì) 4的證明：（1）設(shè)，，因?yàn)槿谓o的，存在，使得當(dāng)時(shí)，有：，，即。</p><p><b>　　再由性質(zhì)1，得：。</b></p>

44、<p>　　故由的任意性，得：，即。</p><p>　?。?）設(shè)，，因?yàn)槿谓o的，存在，使得當(dāng)時(shí)，有：</p><p><b>　　，，即：。</b></p><p>　　再由性質(zhì) 1，得：。</p><p>　　故由的任意性，得：，即。</p><p>　　5. 性質(zhì) 5 的證明：

45、（1）設(shè)，因?yàn)閷?duì)于任意給的，使，令，，則存在，使得當(dāng)時(shí)，有：，即：，且存在，使得：（=1,2，…），即：。</p><p><b>　　綜上，得：，故。</b></p><p>　　同理，可證得（2）。</p><p>　　3.2 函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)</p><p>　　3.2.1 函數(shù)的上、下極限的性質(zhì)

46、</p><p>　　引理 1 若是在上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意數(shù)列，都有：</p><p><b>　?。?） ；</b></p><p><b>　?。?） 。</b></p><p>　　性質(zhì) 6 若是在上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意數(shù)列，都有：</p><p>

47、;<b>　　（1） ；</b></p><p><b>　?。?） 。</b></p><p>　　引理 2 若是在上單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意數(shù)列，都有：</p><p><b>　　（1） ；</b></p><p><b>　?。?） 。</b>

48、;</p><p>　　性質(zhì) 7 若是在上單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意數(shù)列，都有：</p><p><b>　?。?） ；</b></p><p><b>　?。?） 。</b></p><p>　　性質(zhì) 8 設(shè)為一實(shí)數(shù)列，且，，則：</p><p>　　（1） 當(dāng)在上單

49、調(diào)遞增，且，時(shí)，有：</p><p><b>　　，。</b></p><p>　?。?） 當(dāng)在上單調(diào)遞減，且，時(shí)，有：</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　注意：定理中函數(shù)的單調(diào)性、連續(xù)性兩個(gè)條件缺一不可，否則將產(chǎn)生矛盾。</p><p><

50、b>　　例如：</b></p><p>　　1.函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，在點(diǎn)處不連續(xù)，而數(shù)列、2、）的上極限為1。若利用定理 6的結(jié)論計(jì)算，則有：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　同時(shí)、2、)，所以有，從而產(chǎn)生矛盾。</p><p>　　2.函數(shù)在內(nèi)不嚴(yán)格單調(diào)。取數(shù)列，其中，，

51、分別表示，的最大整數(shù)部分，它有聚點(diǎn)、0、。故，。若按定理 6計(jì)算，則有，而事實(shí)上，這也產(chǎn)生了矛盾。</p><p>　　3.2.2 性質(zhì)的證明</p><p>　　1.引理 1的證明：當(dāng)時(shí)（因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以有意義），對(duì)任意，都有。由引理?xiàng)l件有。根據(jù)確界定理，可得：。（當(dāng)時(shí)，上述仍成立。）</p><p>　　只要證明，就得（1）。</p>&l

52、t;p>　　首先考慮集合}。若集合，那么由在上連續(xù)可令=，其中（因?yàn)?，并且在上連續(xù)，所以有意義）。由于對(duì)任意，都有，根據(jù)確界定理，，這說明。若集合，再令，那么對(duì)任意的，都有。根據(jù)確界定理，有。由已知樣件可知。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，必有數(shù)列的單調(diào)上升子列，使得，所以有：</p><p><b>　??；</b></p><p>　　或者

53、上述同樣成立。總之，（1）成立。</p><p><b>　　同理可證（2）。</b></p><p>　　2.性質(zhì) 6的證明：由，可得：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　同理可證（2）。</b></p><p>　　

54、3.引理 2的證明：證明方法與引理 1的證明方法一樣。</p><p>　　4.性質(zhì) 7的證明：證明方法與性質(zhì) 6的證明方法一樣。</p><p>　　5.性質(zhì) 8的證明：（1）由條件可知，對(duì)任意的，存在，使得當(dāng)時(shí)，有。又因?yàn)?，所以在中有無窮多項(xiàng)大于，從而由單調(diào)遞增可知， 在中有無窮多項(xiàng)大于或等于。故有：</p><p><b>　　。</b>

55、</p><p><b>　　類似可證：</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　?。?）由已知條件可知，對(duì)任意的，存在，使得當(dāng)時(shí)，有。取，則。又因?yàn)?，所以在{}中有無窮多項(xiàng)小于。再由單調(diào)遞減可知，在{}中有無窮多項(xiàng)大于或等于（），故有：</p><p><b>

56、　　。</b></p><p><b>　　類似可證：</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　4 數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的應(yīng)用</p><p>　　4.1 上、下極限性質(zhì)的應(yīng)用舉例</p><p>　　例1 求數(shù)列的上、

57、下極限</p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　　（3）；</b></p><p><b>　　（4）。</b></p><p><b>　　解

58、 令，則有：</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　而函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增且連續(xù)；在上嚴(yán)格單調(diào)遞減且連續(xù)；由性質(zhì)6、性質(zhì)7得：</p><p><b>　?。?）；</b></p>

59、<p><b>　　。</b></p><p><b>　　（2）；</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　又令，則，。而函數(shù)在上連續(xù)地單調(diào)遞增，且；函數(shù)在上連續(xù)地單調(diào)遞減，且，得：</p><p><b>　　（3）；<

60、;/b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　例2 若和為正數(shù)列，則：</p><p><b>　?。?）；</b>

61、;</p><p><b>　?。?） 。</b></p><p>　　試證：只要不出現(xiàn)型式，，0，上式成立。</p><p>　　證 當(dāng)，時(shí)，由于函數(shù)和函數(shù)單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，所以由性質(zhì)6可得：。</p><p>　　當(dāng)或者時(shí)，有所有（2）式成立。</p><p>　　當(dāng)，時(shí)，（1）式的證明方

62、法同（2）式。</p><p>　　當(dāng)或時(shí)，只要證明不等式（1）的左邊等于，就得證對(duì)數(shù)列的任意子列，都有（）。</p><p>　　所以能找到滿足條件子數(shù)列使，故（1）式成立。</p><p>　　4.2 上、下極限的應(yīng)用在極限運(yùn)算及證明中的作用</p><p>　　例 3 已知，求證：。</p><p>　　

63、常見的錯(cuò)誤證明：因，所以對(duì)任意的，存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，有：，所以：</p><p>　　； （1）令，得到：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　再由的任意性得到：</b></p><p><b>　??；</b></p><

64、p>　　錯(cuò)誤是預(yù)先認(rèn)定了極限的存在。</p><p>　　這里若應(yīng)用上、下極限,就可繞開極限是否存在這個(gè)問題。正確的做法是：</p><p>　　由（1）式，令，得到：</p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　再由的任意性得到：</b></p><

65、;p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　于是推得：</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　類似上述過程，不少書中直接寫為：“令，（1）式的左右兩邊分別趨于和。</p><p>　　由于的任意性，可得：</p>

66、<p><b>　　。</b></p><p>　　例 4 設(shè)數(shù)列滿足條件：</p><p><b>　　，，；</b></p><p><b>　　則數(shù)列有極限。</b></p><p>　　證 對(duì)于任意取定的，可以通過表示為（其中，，=0,1，…，）記，那么。

67、</p><p><b>　　于是有。</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，有，因此利用性質(zhì)1可得：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　上式對(duì)任意固定的成立，再讓，對(duì)上式取下極限，便得：</p><p><b>　　。</b>&l

68、t;/p><p>　　所以，可知數(shù)列有極限。</p><p>　　4.3 上、下極限來刻畫數(shù)列收斂的充要條件</p><p>　　充要條件1：數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列都有。</p><p>　　證 （必要性）由上章給出的性質(zhì)知：，下證：。</p><p>　　對(duì)于：存在一個(gè)收斂子列使，</p>

69、<p>　　又收斂，所以也是收斂的且。</p><p><b>　　故。</b></p><p>　?。ǔ浞中裕┯梅醋C法，假設(shè)不收斂，記，，則。</p><p>　　因，故存在收斂子列，使。</p><p><b>　　令，則，從而：</b></p><p>　　。

70、 （2）</p><p>　　而實(shí)際上存在兩收斂子列、，使得=，又由得結(jié)構(gòu)知：的收斂子列只存在兩種可能性的情況：</p><p>　　i）存在，使時(shí)，，此時(shí)，。</p><p>　　ii）存在，使得時(shí)，，此時(shí)，。</p><p>　　如果是情況ii）：存在，使時(shí)，，所以，此時(shí)，。</p>

71、<p>　　如果是情況i）：存在，使得時(shí)，，則。</p><p>　　不論i）還是ii）都有：。 （3）</p><p>　　故（3）與（2）矛盾，因此收斂。</p><p>　　充要條件2：數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列都有（若）。</p><p>　　證 （必要性）：先證，</p&g

72、t;<p>　　對(duì)：存在收斂子列，使得，由于收斂，且，故收斂且。故存在，當(dāng)時(shí)，有，又（），所以收斂。</p><p><b>　　所以，。</b></p><p>　　下證：，對(duì)于，存在子列也收斂，且，故。</p><p>　?。ǔ浞中裕和湟獥l件1的充分性證明一樣，只需把（2）式變?yōu)?，把?）式變?yōu)榕c上矛盾，所以數(shù)列收斂。&l

73、t;/p><p>　　4.4 上、下極限概念在數(shù)列與級(jí)數(shù)論中的作用</p><p>　　一個(gè)數(shù)列收斂，說明數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)充分大時(shí)有大致相差不多的大小。一個(gè)發(fā)散數(shù)列是沒有這個(gè)性質(zhì)的。上、下極限正好用來補(bǔ)充說明一個(gè)發(fā)散數(shù)列，當(dāng)充分大時(shí)，數(shù)列中的項(xiàng)有大致的變化幅度。這一點(diǎn)在不少問題中很有用處。例如,一般分析教科書中均提到當(dāng)極限</p><p><b>　　（4

74、）</b></p><p><b>　　存在時(shí)，冪級(jí)數(shù)</b></p><p><b>　　（5）</b></p><p><b>　　的收斂半徑就是。</b></p><p>　　這反映了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是由其系數(shù)的絕對(duì)值大小來決定的。而實(shí)際上，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑只

75、由其絕對(duì)值最大的那一部分系數(shù)決定，即冪級(jí)數(shù)（5）式的收斂半徑等于</p><p>　　。 </p><p>　　事實(shí)上，設(shè)（5）式收斂，則當(dāng) n 充分大時(shí)可有：</p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　亦即</b></p><p

76、><b>　　。</b></p><p>　　令，就得到，所以收斂半徑不超過。</p><p>　　另一方面，由下極限定義，對(duì)充分大的可有：</p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　亦即</b></p><p><

77、b>　　。</b></p><p>　　于是冪級(jí)數(shù)（5）式當(dāng)時(shí)收斂，所以（5）式的收斂半徑是。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　本文主要是對(duì)數(shù)列、函數(shù)上下極限的定義及性質(zhì)的相關(guān)理論知識(shí)的總結(jié)，并給出了數(shù)列、函數(shù)上下極限的定義及性質(zhì)的相關(guān)證明，提高了對(duì)數(shù)列、函數(shù)上下極限以及相關(guān)理論知識(shí)的認(rèn)識(shí)，也領(lǐng)

78、會(huì)到了上下極限在極限理論中起著非常重要的作用，在今后的工作和學(xué)習(xí)中我將進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)列、函數(shù)上下極限理論知識(shí)的研究和學(xué)習(xí)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn) </b></p><p>　　[1] 芮紹平，張杰．上、下極限三種定義的等價(jià)證明[J]．山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，25（6）：910．</p><p>　　[2] 隋廷芳．上下極

79、限的七個(gè)等價(jià)定義[J]．內(nèi)蒙古電大學(xué)刊，1994，（4）：47．</p><p>　　[3] 許萬銀． 函數(shù)上、下極限的5種定義及其等價(jià)性[J]．甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，（14）：13．</p><p>　　[4] Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis[M]．機(jī)械工業(yè)出版社，2004．</p><

80、p>　　[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．北京：高等教育出版社，2001．</p><p>　　[6] Zorich．Mathematical Analysis [M]．Springer，2004．</p><p>　　[7] 王振福，張建軍．?dāng)?shù)列的上極限與下極限探析[J]．包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，9（1）：2728．</p><p>

81、;　　[8] 錢佩玲．?dāng)?shù)列與上、下極限[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2000．</p><p>　　[9] 艾斯卡爾·阿布力米提．?dāng)?shù)列上、下極限性質(zhì)的推廣應(yīng)用[J]．新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，20（4）：9294．</p><p>　　[10] 沈波．?dāng)?shù)列與相應(yīng)函數(shù)列的上、下極限間關(guān)系探討[J]．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（4）：100102．</p>

82、;<p>　　[11] 盧志康．上下極限的概念在極限教學(xué)中的作用[J]．杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，18（6）：2124．</p><p>　　[12] 楊　輝，宛金龍．?dāng)?shù)列上、下極限的注記[J]．安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，10（3）：7273．</p><p>　　[13] 霍東華．?dāng)?shù)列的非正常上、下極限的一點(diǎn)應(yīng)用[J]．牡丹江師范學(xué)院報(bào)，2006，（2）：34．&

83、lt;/p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　數(shù)列、函數(shù)上下極限的性質(zhì)及其應(yīng)用 </p><p><b>　　一、前言部分</b></p><p>　　極限的概念是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念之一,也是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)最重要的理論部分.極限思想在數(shù)學(xué)中起著非常重要的作用.數(shù)學(xué)家拉

84、夫綸捷夫曾說：“數(shù)學(xué)極限法的創(chuàng)造是對(duì)那些不能夠用算術(shù)、代數(shù)和初等幾何的簡單方法來求解的問題進(jìn)行了許多世紀(jì)的頑強(qiáng)探索的結(jié)果.” 極限思想 揭示了變量與常量、無限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系,是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想,人們可以從有限認(rèn)識(shí)無限,從直線形認(rèn)識(shí)曲線形從不變認(rèn)識(shí)變,從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變,從近似認(rèn)識(shí)精確. </p><p>　　極限思想是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物.極限的思想可以追溯到古代,在我國春秋

85、戰(zhàn)國時(shí)期雖已有極限思想的萌芽.但從現(xiàn)在的史料來看,這種思想主要局限于哲學(xué)領(lǐng)域,還沒有應(yīng)用到數(shù) 學(xué)上,當(dāng)然更談不上應(yīng)用極限方法來解決數(shù)學(xué)問題.直到公元3世紀(jì)，我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué) 家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)創(chuàng)立了有名的“割圓術(shù)”．由于他所采用的圓的半徑為1,這樣 圓的面積在數(shù)值上即等于圓周率,所說劉徽成功地創(chuàng)立了科學(xué)的求圓周率的方法.劉徽采用的具體做法是:在半徑為一尺的圓內(nèi),作圓的內(nèi)接正六邊形,然后逐漸倍增邊數(shù),依次算出內(nèi)接正6邊形、正12

86、邊形、… 、直至(192)邊形的面積。他利用公式(為內(nèi)接正n邊形的邊長，為內(nèi)接2n邊形的面積)來求正多邊形的面積.他的極限思想是“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失”.第一個(gè)創(chuàng)造性地將極限思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域.這種無限接近的思想就是后來建立極限概念的基礎(chǔ). </p><p>　　劉徽的割圓術(shù)是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用:古希臘人的窮竭 法也蘊(yùn)含了極限思想,但由于希臘人“

87、對(duì)無限的恐懼”,他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法——?dú)w謬法來完成了有關(guān)的證明．到了16世紀(jì),荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考查三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法,他借助幾何直觀運(yùn)用極限思想思考問題 ，放棄 了歸謬法的證明.如此,他在無意中將極限發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念．從這一時(shí)期開始，極限與微積分開始形成密不可分的關(guān)系，并且最終成為微積分的直接基礎(chǔ)。盡管極限概念被明確提出，可是它仍然過于直觀，與數(shù)學(xué)上追求嚴(yán)密的原則相抵觸.到18世紀(jì)時(shí)

88、，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅伊里艾等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)，并且都對(duì)極限做出了定義.其中達(dá)朗貝爾的定義是:“一個(gè)量是另一個(gè)量的極限,假如第二個(gè)量比任意給定的值更為接近第一個(gè)量.”它接近于極限的正確定義.然而,這些人的定義都無法擺脫對(duì)幾何直觀的依賴.事情也只能如此,因?yàn)?9世紀(jì)以前的算術(shù)和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上的.然而他們?nèi)匀粵]有擺脫對(duì)幾何直觀的依賴.</p><p>　　直至19世紀(jì)

89、，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)定義.在這一靜態(tài)定義中，“無限”“接近”等字眼消失了，取而代之的是數(shù)字及其大小關(guān)系.它的“ε－N”定義遠(yuǎn)沒有建立在運(yùn)動(dòng)和直觀基礎(chǔ)上的描述性定義易于理解.這也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)概念的抽象性，越抽象越遠(yuǎn)離原型，然而越能精確地反映原型的本質(zhì).</p><p>　　回顧國內(nèi)外學(xué)者的討論，結(jié)合理論分析本文認(rèn)為：極限概念及性質(zhì)由直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳蓺v史是漫長的，這說明概念及性質(zhì)本身具有高度抽象性；概念及性

90、質(zhì)具備復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)；概念及性質(zhì)蘊(yùn)涵的豐富辯證思想加劇概念的抽象程度；概念及性質(zhì)的多級(jí)抽象關(guān)系包含眾多不易掌握的抽象概念，并需要用到原來認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的許多固著點(diǎn)，要求學(xué)生原概念及性質(zhì)的結(jié)構(gòu)掌握應(yīng)非常優(yōu)良.極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物，最終應(yīng)用到社會(huì)實(shí)踐也是其發(fā)展的必然.但毋庸諱言，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題教育本質(zhì)上的徘徊局面依然存在，學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的狀況并無多大改善，教學(xué)效果仍不盡人意。</p><p>　　上、下極限的概

91、念是極限概念的延伸，由于它們?cè)谡?xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法的重要作用，成為數(shù)學(xué)分析中重要的理論部分.此外，由于上下極限的引入，使得極限多了一條判別定理，對(duì)于某些定理和題目的證明開通了一條全新的思路，都有著重要的意義.上、下極限的應(yīng)用能使對(duì)極限問題的分析更加細(xì)致深入.正確地理解和認(rèn)識(shí)數(shù)列、函數(shù)的上、下極限，有利于更好地認(rèn)清數(shù)列、函數(shù)尤其是非收斂數(shù)列、函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)形態(tài).上、下極限的概念在許多后繼數(shù)學(xué)課程和研究領(lǐng)域里都有重要的應(yīng)用.因此，我們有必

92、要對(duì)已有文獻(xiàn)關(guān)于數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的定義及相關(guān)理論的研究結(jié)果做一個(gè)綜述總結(jié)，借此加深我們對(duì)數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)等所學(xué)課程內(nèi)容的理解，深刻掌握其理論的應(yīng)用，更好地培養(yǎng)自己的的創(chuàng)新思維.</p><p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　數(shù)列、函數(shù)的上、下極限與數(shù)列、函數(shù)的極限是密切相關(guān)的概念，許多學(xué)者進(jìn)行了較為深入的研究，并已取得大量的較為豐富的結(jié)

93、果，現(xiàn)將已有文獻(xiàn)的研究結(jié)果綜述如下：</p><p>　　文獻(xiàn)[1-2]中給出了數(shù)列的上、下極限的基本定義以及幾個(gè)等價(jià)定義和一些性質(zhì)。其主要定義如下：</p><p>　　定義1 有界數(shù)列｛｝的最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn)分別稱為有界數(shù)列｛｝的上極限與下極限，記作：， .</p><p>　　定義 2 對(duì)于有界數(shù)列｛｝，它的所有子列的極限所組成的數(shù)集的最大值稱為此數(shù)列的上

94、極限，最小值稱為此數(shù)列的下極限.</p><p>　　定義 3 對(duì)于有界數(shù)列｛｝，去掉它的最初k項(xiàng)以后，剩下來的仍舊是一個(gè)有界數(shù)列，記這個(gè)數(shù)列的上確界為,下確界為,亦即</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　,于是得到數(shù)列｛｝和數(shù)列｛｝

95、，顯然數(shù)列｛｝是單調(diào)減少的，｛｝是單調(diào)增加的，所以這兩個(gè)數(shù)列極限都存在，稱｛｝的極限是｛｝的上極限，記作，稱｛｝的極限是｛｝的下極限，記作.也就是:</p><p><b>　　,</b></p><p>　　對(duì)于無界數(shù)列, 文獻(xiàn)[1-2]獲得如下結(jié)論：</p><p>　　（1）數(shù)列｛｝無上界而有下界.</p><p>

96、;　　按定義 1,擴(kuò)充聚點(diǎn)也可為.顯然，數(shù)列｛｝的最大聚點(diǎn)為,而最小聚點(diǎn)可能為有限數(shù)，可能為.</p><p>　　按定義 2，擴(kuò)充可為極限點(diǎn) 顯然，數(shù)列｛｝所有收斂子列的極限組成的數(shù)集的上確界為,而其下確界可能為有限數(shù)，可能為.</p><p>　　按定義 3，顯然,而單調(diào)增加，但可能沒有上界，故可能為有限數(shù),可能為.</p><p>　　(2) 數(shù)列｛｝有上界而

97、無下界，同上.</p><p>　　(3) 數(shù)列｛｝既無上界又無下界 此時(shí)按定義 1，定義 2，定義 3，都有,.</p><p>　　據(jù)上，對(duì)于無界數(shù)列情形，以上三種定義也等價(jià).</p><p>　　由于上 下極限的概念適用于所有數(shù)列，而極限存在的充要條件是上、下極限相等 ，因此，在遇到證明極限存在性問題時(shí)，通過考察上、下極限的值去探討極限的存在性經(jīng)常是很有效的.

98、此外,也常遇到這樣的問題,需要估計(jì)充分大，數(shù)列｛｝中的能有多大（小）？或者通過對(duì)上、下極限值的估計(jì)解決所提出的問題.文獻(xiàn)[1-2]進(jìn)一步給出如下結(jié)論：</p><p>　　定理 1 對(duì)任何有界數(shù)列｛｝有.</p><p>　　定理 2 的充要條件是==A.</p><p>　　定理 3 設(shè)｛｝為有界數(shù)列, 則有：</p><p

99、>　?。?）為｛｝上極限的充要條件是：對(duì)于任意的，</p><p>　　(i) 存在 ，使得當(dāng) 時(shí),有 ；</p><p>　　(ii) 存在子列，，.</p><p>　　(2) 為｛｝下極限的沖要條件是: 對(duì)于任意的，</p><p>　　(i) 存在 ，使得當(dāng) 時(shí),有 ；</p><p>　　(ii)

100、存在子列，，.</p><p>　　定理 3的另一種形式如下:</p><p>　　定理 4 設(shè)為有界數(shù)列,</p><p>　　（1） 為上極限的充要條件是:對(duì)任何>,中大于的項(xiàng)至多有限個(gè);對(duì)任何,中大于的項(xiàng)有無限多個(gè)</p><p>　?。?）為下極限的充要條件是: 對(duì)任何, 中小于的項(xiàng)至多有限個(gè);對(duì)任何,中小于的項(xiàng)有無限多個(gè).

101、</p><p>　　文獻(xiàn)[3-5]中給出了函數(shù)的上、下極限的基本定義和一些數(shù)列與相應(yīng)函數(shù)列的上、下極限間關(guān)系的性質(zhì)定理.其主要結(jié)論如下：</p><p>　　定義 4 數(shù)稱為函數(shù)在的上極限，記作；</p><p>　　數(shù) 稱為函數(shù)在的下極限，記作；</p><p><b>　　其中，</b></p>

102、<p><b>　　.</b></p><p>　　定理 5 設(shè)為一實(shí)數(shù)列，且,(、為有限數(shù)),又設(shè)函數(shù)在包含、的區(qū)間上單調(diào)，在點(diǎn)、初連續(xù)，則：</p><p>　　1 ) 當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，有：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</

103、b></p><p>　?。玻┊?dāng)單調(diào)遞減時(shí)，有：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　定理 6 設(shè)為一實(shí)數(shù)列，且,如果是定義在上的實(shí)函數(shù),且,(均為有限數(shù)),則:</p><p>　　1)當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)

104、,有:</p><p><b>　　,.</b></p><p>　　2) 當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí),有:</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　定理 7 若在上單調(diào)上升函數(shù)，則對(duì)任何數(shù)列，都有：</p><p><b>　　.</b>

105、;</p><p>　　文獻(xiàn)[6-7]給出了幾個(gè)描述數(shù)列上、下極限的方法,也就是給出了幾個(gè)等價(jià)定義,并對(duì)這幾個(gè)定義的等價(jià)性加以證明.</p><p>　　文獻(xiàn)[8]探討了上、下極限的應(yīng)用在極限運(yùn)算以及極限問題中的作用和上、下極限概念在數(shù)列與級(jí)數(shù)論、后續(xù)課程中的作用.</p><p>　　文獻(xiàn)[9]給出了有界數(shù)列上、下極限的作用以及他們判斷數(shù)列收斂的兩個(gè)充要條件.&l

106、t;/p><p>　　文獻(xiàn)[10]給出了數(shù)列的非正常上、下極限在具體問題中的一點(diǎn)應(yīng)用.</p><p>　　文獻(xiàn)[11]討論了隨機(jī)變量列的上極限的概率性質(zhì),并且給出了兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例.</p><p>　　文獻(xiàn)[12]通過數(shù)列上極限和下極限的概念,討論了數(shù)列上極限與下極限存在的充分必要條件及其一些性質(zhì)與推論,從而補(bǔ)充了一些數(shù)列極限的知識(shí).</p><p&

107、gt;　　文獻(xiàn)[13-15]給出了實(shí)數(shù)序列以及特殊序列上、下極限的定義、性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上介紹了它在如下方面的應(yīng)用：</p><p>　?。?） 數(shù)列上、下極限在極限運(yùn)算以及極限問題中的應(yīng)用;</p><p>　?。?） 數(shù)列上、下極限在判斷數(shù)列收斂中的應(yīng)用;</p><p>　　（3） 上、下極限在極限教學(xué)中的應(yīng)用.</p><p><

108、b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　本文主要闡述了以下內(nèi)容：（1）數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的歷史背景及現(xiàn)階段各自研究的重點(diǎn)和主要成果；（2）數(shù)列上、下極限的基本定義以及幾個(gè)等價(jià)定義和函數(shù)的上、下極限的基本定義以及幾個(gè)等價(jià)定義；（3）數(shù)列上、下極限的一些重要性質(zhì)和數(shù)列與相應(yīng)函數(shù)列的上、下極限間關(guān)系的性質(zhì)定理；（4）數(shù)列、函數(shù)的上、下極限在求數(shù)列、函數(shù)的極限中的應(yīng)用；（5）數(shù)列、函數(shù)的上

109、、下極限在生活實(shí)例的應(yīng)用.</p><p>　　極限思想是數(shù)學(xué)分析中的重要思想，極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終 。利用極限 的思 想方法可得 出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、廣義積分的斂散性、級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、重積分和曲線積分與曲面積分的概念.在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)極限的思想方法，有利于培養(yǎng)他們從宏觀和微觀的不同角度分析問題的能力. 對(duì)于極限概念的理解直接影響學(xué)生對(duì)極限思想的掌握 運(yùn)用各種手段和方法

110、講好上 下極限概念及其等價(jià)關(guān)系是非常重要的.</p><p><b>　　四、參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 數(shù)學(xué)分析[M] 北京: 高等教育出版社,2001. [2] 芮紹平、張杰,  上、下極限三種定義的等價(jià)證明[J] 山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)，2009.</p><

111、;p>　　[3] 許萬銀, 函數(shù)上_下極限的5種定義及其等價(jià)性[J] 甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2002.[4] 沈波, 數(shù)列與相應(yīng)函數(shù)列的上、下極限間關(guān)系探討[J] 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào),2005.</p><p>　　[5] 艾斯卡爾阿布力米提, 數(shù)列上、下極限性質(zhì)的推廣應(yīng)用[J] 新疆教育學(xué)院學(xué)報(bào),2003.</p><p>　　[6] 隋廷

112、芳, 上下極限的七個(gè)等價(jià)定義[J] 內(nèi)蒙古電大學(xué)刊 ,1994. </p><p>　　[7] 黃世團(tuán), 關(guān)于上（下）極限幾種定義的等價(jià)證明[J] 桂林市教育學(xué)院學(xué)報(bào),1997. </p><p>　　[8] 盧志康, 上下極限的概念在極限教學(xué)中的作用[J] 杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2001. [9] 楊　輝, 宛金龍,數(shù)列上_下極限的注記[J

113、] 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004.</p><p>　　[10] 霍東華, 數(shù)列的非正常上、下極限的一點(diǎn)應(yīng)用 [J] 牡丹江師范學(xué)院報(bào)，2006.</p><p>　　[11] 孟銀鳳, 關(guān)于隨機(jī)變量列的上極限[J] 太原科技大學(xué)學(xué)報(bào),2008.</p><p>　　[12] 王振福,張建軍,數(shù)列的上極限與下極限探析[J] 包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2

114、008.</p><p>　　[13] 錢珮玲,數(shù)列與上、下極限[J] 數(shù)學(xué)通報(bào);1990.</p><p>　　[14] J.K.Hale,Ordinary Differential Equations[M] Krieger,Malabar,Florida,1980． [15] Principles of Mathematical Analysis[M] 機(jī)械工業(yè)出

115、版社,2004.</p><p><b>　　開題報(bào)告</b></p><p>　　數(shù)列、函數(shù)上下極限的性質(zhì)及其應(yīng)用 </p><p>　　一、選題的背景、意義</p><p>　　眾所周知，極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其地位的重要性毋庸多言.極限思想在數(shù)學(xué)中起著非常重要的作用.數(shù)學(xué)家拉夫綸捷夫曾說：“數(shù)學(xué)極限法的創(chuàng)

116、造是對(duì)那些不能夠用算術(shù)、代數(shù)和初等幾何的簡單方法來求解的問題進(jìn)行了許多世紀(jì)的頑強(qiáng)探索的結(jié)果.” </p><p>　　極限思想的萌芽階段以希臘的芝諾，中國古代的惠施、劉徽、祖沖之等為代表。提到極限思想，就不得不提到由古希臘的著名哲學(xué)家芝諾提出的著名的阿基里斯悖論——一個(gè)困擾了數(shù)學(xué)界十幾個(gè)世紀(jì)的問題。無獨(dú)有偶，我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的哲學(xué)名著《莊子》記載著惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭.” 這更是從直觀上體

117、現(xiàn)了極限思想。我國古代的劉徽和祖沖之計(jì)算圓周率時(shí)所采用的“割圓術(shù)”則是極限思想的一種基本應(yīng)用.以上諸多內(nèi)容可以上溯到2000多年前，都是極限思想萌芽階段的一些表現(xiàn)，盡管在這一階段人們沒有明確提出極限這一概念，但大致在16、17世紀(jì)真正意義上的極限得以產(chǎn)生.從這一時(shí)期開始，極限與微積分開始形成密不可分的關(guān)系，并且最終成為微積分的直接基礎(chǔ)。盡管極限概念被明確提出，可是它仍然過于直觀，與數(shù)學(xué)上追求嚴(yán)密的原則相抵觸.到18世紀(jì)時(shí)，羅賓斯、達(dá)朗貝

118、爾與羅伊里艾等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)，并且都對(duì)極限做出了定義.然而他們?nèi)匀粵]有擺脫對(duì)幾何直觀的依賴.</p><p>　　直至19世紀(jì)，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)定義.在這一靜態(tài)定義中，“無限”“接近”等字眼消失了，取而代之的是數(shù)字及其大小關(guān)系.它的“ε－N”定義遠(yuǎn)沒有建立在運(yùn)動(dòng)和直觀基礎(chǔ)上的描述性定義易于理解.這也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)概念的抽象性，越抽象越遠(yuǎn)離原型，然而越能精確地反映原型的本質(zhì).&

119、lt;/p><p>　　而上、下極限的概念是極限概念的延伸，由于它們?cè)谡?xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法的重要作用，成為數(shù)學(xué)分析中重要的理論部分.此外，由于上下極限的引入，使得極限多了一條判別定理，對(duì)于某些定理和題目的證明開通了一條全新的思路，都有著重要的意義.正確地理解和認(rèn)識(shí)數(shù)列、函數(shù)的上、下極限，有利于更好地認(rèn)清數(shù)列、函數(shù)尤其是非收斂數(shù)列、函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)形態(tài).上、下極限的概念在許多后繼數(shù)學(xué)課程和研究領(lǐng)域里都有重要的應(yīng)用。本文

120、主要研究數(shù)列、函數(shù)的上、下極限的定義以及等價(jià)定義、性質(zhì)以及應(yīng)用.對(duì)這一課題的研究，不但可以加深我們對(duì)數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)等所學(xué)課程內(nèi)容的理解，而且能幫助我們深刻掌握其理論的應(yīng)用，更好地培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維.</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　本文研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題為：</p><p>　?。ㄒ唬?、總結(jié)數(shù)列、函數(shù)的

121、上、下極限的基本定義及其等價(jià)定義，并給出等價(jià)性證明；</p><p>　　（二）、總結(jié)數(shù)列、函數(shù)上、下極限的一些性質(zhì)及證明過程，具體探討如下性質(zhì)：</p><p>　　性質(zhì)1 設(shè)有界數(shù)列, 滿足:存在當(dāng)時(shí)有,則取上(下)極限后, 原來的不等號(hào)方向保持不變: </p><p><b>　　, .</b></p><p>

122、;　　特別地,若、為常數(shù),又存在,當(dāng)時(shí)有,則:</p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質(zhì) 2 設(shè) 為有界數(shù)列. 則有:</p><p>　　(i) 是 的上極限的充要條件是</p><p><b>　　;</b></p><p>　　(ii)

123、 是 的下極限的充要條件是</p><p><b>　　.</b></p><p>　　性質(zhì) 3 設(shè)是有界數(shù)列,則:</p><p><b>　　（1） ；</b></p><p><b>　?。?） </b></p><p>　　性質(zhì)4 設(shè)，是兩

124、列數(shù)列，則：</p><p><b>　?。?） ；</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　性質(zhì) 5 設(shè)，則：</p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?）</b&g

125、t;</p><p>　　性質(zhì) 6 數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列都有</p><p>　　性質(zhì) 7 數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任何數(shù)列都有</p><p><b>　?。ㄈ簦?lt;/b></p><p>　　性質(zhì) 8 若在上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意數(shù)列，都有</p><p><b&g