第2章 隨機過程習題及答案

1、第二章第二章隨機過程分析隨機過程分析1.1學習指導學習指導1.1.1要點要點隨機過程分析的要點主要包括隨機過程的概念、分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、數(shù)字特征、通信系統(tǒng)中常見的幾種重要隨機過程的統(tǒng)計特性。1.隨機過程的概念隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度理解：對應不同隨機試驗結(jié)果的時間過程的集合，隨機過程是隨機變量概念的延伸。2.隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)如果ξ(t)是一個隨機過程，則其在

2、時刻t1取值ξ(t1)是一個隨機變量。ξ(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率為P[ξ(t1)≤x1]，隨機過程ξ(t)的一維分布函數(shù)為F1(x1t1)=P[ξ(t1)≤x1](21)如果F1(x1t1)的偏導數(shù)存在，則ξ(t)的一維概率密度函數(shù)為1111111()()(22)???Fxtfxtx對于任意時刻t1和t2，把ξ(t1)≤x1和ξ(t2)≤x2同時成立的概率??212121122()()()(23)FxxttPtxtx????

3、?稱為隨機過程?(t)的二維分布函數(shù)。如果2212122121212()()(24)Fxxttfxxttxx?????存在，則稱f2(x1x2t1t2)為隨機過程?(t)的二維概率密度函數(shù)。對于任意時刻t1，t2，…，tn，把??n12n12n1122nn()()()()(25)???????FxxxtttPtxtxtx???，，，；，，，稱為隨機過程?(t)的n維分布函數(shù)。如果nn12n12nn12n12n12n(x)()(26)??

4、????????Fxxtttfxxxtttxxx，，，；，，，，，，；，，，存在，則稱fn(x1x2…xnt1t2…tn)為隨機過程?(t)的n維概率密度函數(shù)。3.隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征主要包括均值、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。隨機過程?(t)在任意給定時刻t的取值?(t)是一個隨機變量，其均值為只與時間間隔有關(guān)。把對嚴平穩(wěn)隨機過程的要求降低到僅僅均值與時間無關(guān)和自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)的隨機過程定義為廣義

5、平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性)。因此，在求解各種統(tǒng)計平均時，無需無限多次的樣本，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的“時間平均”值代替平穩(wěn)隨機過程的“統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算大為簡化。平穩(wěn)過程?(t)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一付立葉變換對。據(jù)此，可以得到兩條結(jié)論：平穩(wěn)過程?(t)的功率等于其自相關(guān)函數(shù)在零點的取值R(0)；各態(tài)歷經(jīng)過程任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于

6、平穩(wěn)過程的功率譜密度。5.高斯過程高斯過程又被稱為正態(tài)隨機過程。如果隨機過程?(t)的任意n維（n=12...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程，其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為??n12n12n2jjkkjk11jki1(......)2π1exp||(215)2||||nnnnjkifxxxtttxaxaBBB????????????????????????????????????其中，數(shù)學期望ak=E[ξ(tk)]；方

7、差σ2k=E[ξ(tk)ak]2；歸一化協(xié)方差矩陣行列式????121njjkk212njkjkn1n21()()1||1bbEtatabbBbbb???????????????????如果高斯過程在不同時刻不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計獨立的。高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后，其系統(tǒng)輸出也是高斯過程。6.窄帶隨機過程如果隨機過程?(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍?f內(nèi)，即滿足?ffc的條件，且fc遠離零頻率，則稱其為窄帶隨機過程。隨

8、機過程?(t)可以表示為ξcξξ()()cos[()]()0(216)tatttat??????其中，a?(t)為隨機包絡(luò)；??(t)為隨機相位；?c為中心角頻率。顯然，a?(t)和??(t)的變化相對于載波產(chǎn)生的相移(?ct)的變化要緩慢得多。將窄帶隨機過程表示式展開為ccsc()()cos()()sin()(217)ttttt???????其中，ξc(t)=aξ(t)cos[φξ(t)]；ξs(t)=aξ(t)sin[φξ(t)]。