第2章 隨機(jī)過(guò)程習(xí)題及答案

1、第二章第二章隨機(jī)過(guò)程分析隨機(jī)過(guò)程分析1.1學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.1.1要點(diǎn)要點(diǎn)隨機(jī)過(guò)程分析的要點(diǎn)主要包括隨機(jī)過(guò)程的概念、分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、數(shù)字特征、通信系統(tǒng)中常見(jiàn)的幾種重要隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。1.隨機(jī)過(guò)程的概念隨機(jī)過(guò)程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過(guò)程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度理解：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過(guò)程的集合，隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量概念的延伸。2.隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)如果ξ(t)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則其在

2、時(shí)刻t1取值ξ(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量。ξ(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率為P[ξ(t1)≤x1]，隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的一維分布函數(shù)為F1(x1t1)=P[ξ(t1)≤x1](21)如果F1(x1t1)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則ξ(t)的一維概率密度函數(shù)為1111111()()(22)???Fxtfxtx對(duì)于任意時(shí)刻t1和t2，把ξ(t1)≤x1和ξ(t2)≤x2同時(shí)成立的概率??212121122()()()(23)FxxttPtxtx????

3、?稱為隨機(jī)過(guò)程?(t)的二維分布函數(shù)。如果2212122121212()()(24)Fxxttfxxttxx?????存在，則稱f2(x1x2t1t2)為隨機(jī)過(guò)程?(t)的二維概率密度函數(shù)。對(duì)于任意時(shí)刻t1，t2，…，tn，把??n12n12n1122nn()()()()(25)???????FxxxtttPtxtxtx???，，，；，，，稱為隨機(jī)過(guò)程?(t)的n維分布函數(shù)。如果nn12n12nn12n12n12n(x)()(26)??

4、????????Fxxtttfxxxtttxxx，，，；，，，，，，；，，，存在，則稱fn(x1x2…xnt1t2…tn)為隨機(jī)過(guò)程?(t)的n維概率密度函數(shù)。3.隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征主要包括均值、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。隨機(jī)過(guò)程?(t)在任意給定時(shí)刻t的取值?(t)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值為只與時(shí)間間隔有關(guān)。把對(duì)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的要求降低到僅僅均值與時(shí)間無(wú)關(guān)和自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)的隨機(jī)過(guò)程定義為廣義

5、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均時(shí)，無(wú)需無(wú)限多次的樣本，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算大為簡(jiǎn)化。平穩(wěn)過(guò)程?(t)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一付立葉變換對(duì)。據(jù)此，可以得到兩條結(jié)論：平穩(wěn)過(guò)程?(t)的功率等于其自相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)的取值R(0)；各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于

6、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度。5.高斯過(guò)程高斯過(guò)程又被稱為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。如果隨機(jī)過(guò)程?(t)的任意n維（n=12...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程，其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為??n12n12n2jjkkjk11jki1(......)2π1exp||(215)2||||nnnnjkifxxxtttxaxaBBB????????????????????????????????????其中，數(shù)學(xué)期望ak=E[ξ(tk)]；方

7、差σ2k=E[ξ(tk)ak]2；歸一化協(xié)方差矩陣行列式????121njjkk212njkjkn1n21()()1||1bbEtatabbBbbb???????????????????如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后，其系統(tǒng)輸出也是高斯過(guò)程。6.窄帶隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程?(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍?f內(nèi)，即滿足?ffc的條件，且fc遠(yuǎn)離零頻率，則稱其為窄帶隨機(jī)過(guò)程。隨

8、機(jī)過(guò)程?(t)可以表示為ξcξξ()()cos[()]()0(216)tatttat??????其中，a?(t)為隨機(jī)包絡(luò)；??(t)為隨機(jī)相位；?c為中心角頻率。顯然，a?(t)和??(t)的變化相對(duì)于載波產(chǎn)生的相移(?ct)的變化要緩慢得多。將窄帶隨機(jī)過(guò)程表示式展開(kāi)為ccsc()()cos()()sin()(217)ttttt???????其中，ξc(t)=aξ(t)cos[φξ(t)]；ξs(t)=aξ(t)sin[φξ(t)]。