[學(xué)習(xí)]通信原理第2章隨機(jī)過程

1、2.1 隨機(jī)過程的基本概念2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程2.3 高斯隨機(jī)過程2.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.5 窄帶隨機(jī)過程2.6 正弦波加窄帶高斯噪聲2.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲,第2章 隨 機(jī) 過 程,返回主目錄,通 信 原 理,2.1 隨機(jī)過程的基本概念,? 什么是隨機(jī)過程? 隨機(jī)過程的分布函數(shù)? 隨機(jī)過程的數(shù)字特征,一、什么是隨機(jī)過程 1、隨機(jī)過程：是一類隨時間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時

2、間函數(shù)描述。 可從兩種不同角度看：角度1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時間過程的集合-----時間函數(shù)。,例：設(shè)有n臺性能完全相同的接收機(jī)。我們在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄各臺接收機(jī)的輸出噪聲波形（這也可以理解為對一臺接收機(jī)在一段時間內(nèi)持續(xù)地進(jìn)行n次觀測）。測試結(jié)果將表明，盡管設(shè)備和測試條件相同，記錄的n條曲線中找不到兩個完全相同的波形。 這就是說，接收機(jī)輸出的噪聲電壓隨時間的變化是不可預(yù)知的，因而它是一個隨機(jī)過

3、程。,角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸---隨機(jī)變量在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數(shù)?i (t)都是一個確定的數(shù)值?i (t1)，但是每個?i (t1)都是不可預(yù)知的。在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值{?i (t1), i = 1, 2, …, n}是一個隨機(jī)變量，記為? (t1)。換句話說，隨機(jī)過程在任意時刻的值是一個隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。這個角度更適

4、合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。,2、隨機(jī)過程的基本特征（屬性） （1）隨機(jī)過程是一個時間函數(shù)； （2）在給定的任一時刻t1，全體樣本在t1時刻的取值ξ(t1)是一個不含t變化的隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看成依賴時間參數(shù)的一族隨機(jī)變量。 可見，隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時間函數(shù)的特點(diǎn)。,二、隨機(jī)過程的分布函數(shù)（統(tǒng)計(jì)特性） 1、一維分布函數(shù)： 設(shè)ξ(t)表示

5、一個隨機(jī)過程，在任意給定的時刻t1∈T， 其取值ξ(t1)是一個一維隨機(jī)變量，把隨機(jī)變量ξ(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率稱為隨機(jī)過程ξ(t)的一維分布函數(shù)，簡記為F1(x1, t1)， 即 F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］ (2.1 - 1)2、一維概率密度函數(shù)： 如果一維分布函數(shù)F1(x1, t1)對x1的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱f1(x1, t1

6、)為ξ(t)的一維概率密度函數(shù)。即有,顯然，隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計(jì)特性，而沒有說明隨機(jī)過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要進(jìn)一步引入二維分布函數(shù)。  3、二維分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù) 任給兩個時刻t1, t2∈T，則隨機(jī)變量ξ(t1)和ξ(t2)構(gòu)成一個二元隨機(jī)變量{ξ(t1), ξ(t2)}，稱F2(x1,x2; t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1,

7、 ξ(t2)≤x2｝ 為隨機(jī)過程ξ(t)的二維分布函數(shù)。 如果存在,則稱f2(x1,x2; t1,t2)為ξ(t)的二維概率密度函數(shù)。, 4、 n維分布函數(shù)和n維概率密度函數(shù) 任給t1, t2, …, tn∈T, 則ξ(t)的n維分布函數(shù)被定義為 Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…, ξ(tn)≤xn｝

8、 如果存在 則稱fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)為ξ(t)的n維概率密度函數(shù)。 顯然，n越大，對隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。,三、隨機(jī)過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性, 但在實(shí)際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，

9、更簡單直觀。  1. 數(shù)學(xué)期望（又名均值或統(tǒng)計(jì)平均） 設(shè)隨機(jī)過程ξ(t)在任意給定時刻t1的取值ξ(t1)是一個隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f1(x1, t1)，則ξ(t1)的數(shù)學(xué)期望為,注意，這里t1是任取的，所以可以把t1直接寫為t, x1改為x, 這時上式就變?yōu)殡S機(jī)過程在任意時刻的數(shù)學(xué)期望，記作a(t)， 于是,a(t)是時間t的函數(shù)，它表示隨機(jī)過程的（n個樣本函數(shù)曲線的）擺動中心。  均值

10、的性質(zhì)： （1）設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C ; (2) 設(shè)X是一個隨機(jī)變量， C是常數(shù)，則有E(CX)=C E(X); (3) 設(shè)X和Y是任意二個隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+ E(Y); (4) 設(shè)X和Y是任意二個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 E(XY)=E(X) E(Y)

11、 此性質(zhì)可推廣到任意有限個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況。,2. 方差----其定義為：,D［ξ(t)］常記為σ2(t)?？梢姺讲畹扔诰街蹬c數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度. 均值和方差都只與隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，因而它們描述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻的特征。為了描述隨機(jī)過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的聯(lián)系， 還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征。,B(t1,t2)=

12、E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝ = f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2, 式中，t1與t2是任取的兩個時刻；a(t1)與a(t2)為在t1及t2時刻得到的數(shù)學(xué)期望；f2(x1,x2; t1,t2)為二維概率密度函數(shù)。 （2）（自）相關(guān)函數(shù)：定義為,3.

13、相關(guān)函數(shù) 衡量隨機(jī)過程在任意兩個時刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。 （1）（自） 協(xié)方差函數(shù)：定義為,（3） （自） 協(xié)方差函數(shù)和（自）相關(guān)函數(shù)的關(guān)系B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) (2.1 - 10) 若a(t1)=0或a(t2)=0，則B(

14、t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2＞t1，并令t2=t1+τ，則R(t1, t2)可表示為R(t1, t1+τ)。這說明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時刻t1及t2與t1之間的時間間隔τ,即相關(guān)函數(shù)是t1和τ的函數(shù)。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一過程的相關(guān)程度的， 因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。,,（4）互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù) 對于兩個或更多個隨機(jī)過程，可引入互

15、協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。 設(shè)ξ(t)和η(t)分別表示兩個隨機(jī)過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為 Bξη(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-aξ(t1)］［η(t2)-aη(t2)］｝ (2.1 - 11)而互相關(guān)函數(shù)定義為 Rξη(t1, t2)=E［ξ(t1)η(t2)］ (2.1 - 12),作 業(yè)思考題（自作）： P61 3-1，3

16、-2習(xí) 題 ： P61 3-2,2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程,★ 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義★ 各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）★ 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)★ 平穩(wěn)過程的功率譜密度,一、平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義 1、狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程（嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程） 指隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性（n維分布函數(shù)和n維概率密度函數(shù)）不隨時間的推移而變化。即：對于任意正整數(shù)n和任意實(shí)數(shù)t1，t2，…，tn,

17、 τ，，隨機(jī)過程{ξ(t)，t∈T}的n維概率密度函數(shù)滿足如下關(guān)系：fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)=fn(x1, x2, …, xn; t1+ τ, t2+ τ, …, tn+ τ)則稱ξ(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。 該定義說明，當(dāng)取樣點(diǎn)在時間軸上作任意平移時，隨機(jī)過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的， 具體到它的一維分布, 則與時間t無關(guān)， 而二維分布只與時間間隔τ有關(guān)，即有,(2.2 -

18、 1),f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2) f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; τ) (2.2 - 3)（以上兩式可由式（2.2 - 1）分別令n=1和n=2, 并取τ =-t1得證。 ） 2、廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程（

19、寬平穩(wěn)隨機(jī)過程）,隨機(jī)過程ξ(t)的均值和方差與時間t無關(guān)， 而其相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ有關(guān)；即： 則稱隨機(jī)過程ξ(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程或?qū)捚椒€(wěn)隨機(jī)過程。,σ2(t)=σ2,R(t1, t1+ τ)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=R(τ),3、狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程和廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的關(guān)系 狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，但反過來一般不成立。 （因?yàn)閺V義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義只涉及與一維、

20、二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征，所以一個嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程只要它的均方值E［ξ2(t)］有界，則它必定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，但反過來一般不成立。）  通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。以后討論的隨機(jī)過程除特殊說明外，均假定是平穩(wěn)的， 且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程， 簡稱平穩(wěn)過程。 ,二、各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性） 平穩(wěn)隨機(jī)過程在滿足一定條件下有一個有趣而又非常有用的特性， 稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。這種平

21、穩(wěn)隨機(jī)過程，它的數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征（均為時間平均）來替代。即： 假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的任意一個實(shí)現(xiàn)， ξ(t)的數(shù)字特征（統(tǒng)計(jì)平均）可由x(t)的時間平均替代，即：,如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立：,,則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。  “各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)（樣本函數(shù)）都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此， 我們無需（實(shí)

22、際中也不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征， 從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時間平均”，使實(shí)際測量和計(jì)算的問題大為簡化。  注意： 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲， 一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。,三、平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù) 對于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言， 它的自相關(guān)

23、函數(shù)是特別重要的一個函數(shù)。（其一，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，如數(shù)字特征等， 可通過自相關(guān)函數(shù)來描述；其二，自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過程的譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系）。因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。  設(shè)ξ(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程， 則它的自相關(guān)函數(shù) R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］ (2.2 - 8)具有下列主要性質(zhì)：  （1）R(0)=E［ξ2(t)］=S

24、 ［ξ(t)的平均功率］ (2.2 - 9） （2） R(∞)=E2［ξ(t)］ ［ξ(t)的直流功率］ (2.2 – 10),這里利用了當(dāng)τ→∞時， ξ(t)與ξ(t+τ)沒有依賴關(guān)系， 即統(tǒng)計(jì)獨(dú)立， 且認(rèn)為ξ(t)中不含周期分量。  （3） R(τ)=R(-τ) ［τ的偶函數(shù)］ (2.2 - 11)這一點(diǎn)可由定義式（2.2 -

25、 8）得證。  （4） |R(τ)|≤R(0) ［R(τ)的上界］ (2.2 - 12)考慮一個非負(fù)式即可得證。  （5） R(0)-R(∞)=σ2 ［方差，ξ(t)的交流功率］ (2.2 - 13) 當(dāng)均值為0時，有R(0)=σ2。,四、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度 1、維納-辛欽關(guān)系 隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度

26、來表述的。我們知道，隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)是一個確定的功率型信號。而對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為 式中，F(xiàn)T(ω)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)（見圖 2 - 2）所對應(yīng)的頻譜函數(shù)。,(2.2-14),圖 2-2 功率信號f(t) 及其截短函數(shù),假設(shè)ξ(t)的功率譜密度為P ξ(w)， ξ(t)的某一實(shí)現(xiàn)之截?cái)嗪瘮?shù)為ξT(t)，且,我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)

27、中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用式（2.2 - 14）來表示。 由于ξ(t)是無窮多個實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即,(2.2-15),ξ(t)的平均功率S則可表示成,因?yàn)椋?(2.2-16),利用二重積分換元法，即：,——此式為“雅可比式”,故：,,所以，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度Pξ(ω)與

28、其自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對傅里葉變換關(guān)系, 即,上式稱為維納-辛欽關(guān)系，在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。,2、功率譜密度的性質(zhì) 根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù)R(τ)的性質(zhì)，不難推演功率譜密度Pξ(ω)有如下性質(zhì)：  （1） Pξ(ω)≥0，非負(fù)性； （2.2 - 20） （2） Pξ(-ω)=Pξ(ω

29、)，偶函數(shù)。 （2.2 - 21） 因此， 可定義單邊譜密度Pξ(ω)為 Pξ1(ω)=,,0,W 0,W < 0,(3) 對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。 (4) 各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，

30、每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。 【證】 因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換：,從而得證。,即,[例2.2-1] 某隨機(jī)相位余弦波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，其中A和ωc均為常數(shù)，θ是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。  （1） 求ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度；  （2） 討論ξ(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 ,解 (

31、1) 先考察ξ(t)是否廣義平穩(wěn) ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為,ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)為,,,見ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)， 而自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ有關(guān)， 所以ξ(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 ,根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即 ，則因?yàn)?cosωcτ π［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］所以，功率譜密度為

32、 Pξ(ω)= ［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］平均功率為,(2) 現(xiàn)在來求ξ(t)的時間平均。 根據(jù)式時間平均定義式可得,,,比較統(tǒng)計(jì)平均與時間平均，得  ， 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。,[注意：此題中周期 ],作 業(yè)思考題（自作）： P61 3-3，3-4習(xí)

33、 題 ： P61 3-4 , *3-5,2.3 高 斯 過 程,◆ 高斯過程的定義及性質(zhì)◆ 高斯過程的一維概率密度函數(shù)◆ 高斯過程的一維分布函數(shù),一、高斯過程的定義及性質(zhì) 1、定義 若隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維（n=1, 2, …）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程（或正態(tài)過程）。 其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：,fn(x1,x2,…,xn; t1,

34、t2,…,tn),（2.3 - 1）,b12 … b1nb21 1 … b2nbn1 bn2 … 1,,,…,…,…,…,,,|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且,式中, ak=E［ξ(tk)］，σ2k=E［ξ(tk)-ak］2， |B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即,2、高斯過程的重要性質(zhì)

35、 （1）高斯過程的n維分布完全由n個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、 方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。 (2) 廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。 因?yàn)椋?如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布與時間起點(diǎn)無關(guān)。 （3）若干個高斯過程之和的過程仍是高斯過程。,

36、（4）如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的——如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 即對所有j≠k有bjk=0，這時式（2.3 - 1）變?yōu)?=f(x1, t1)·f(x2, t2)…f(xn, tn),(2.3 - 2),fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)=,也就是說，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 （5）高斯過程經(jīng)過線性變

37、換（或線性系統(tǒng)）后的過程仍是高斯過程。,二、高斯過程的一維概率密度函數(shù) 1、高斯過程中的一維概率密度函數(shù)表達(dá)式 可表示為：,式中，a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，σ2為方差。,f(x)的曲線如圖 2 - 3所示,圖2-3 正態(tài)分布的概率密度,,2、高斯過程中的一維概率密度函數(shù)f(x)特性： (1) f(x)對稱于x=a這條直線。  (2) ,且有,（

38、3） a表示分布中心，σ表示集中程度；f(x)是非單調(diào)函數(shù)，圖形將隨著σ的減小而變高和變窄。 （4）當(dāng)a=0，σ=1時，稱f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。,三、高斯過程的一維分布函數(shù) 1、定義 當(dāng)我們需要求高斯隨機(jī)變量ξ小于或等于任意取值x的概率P(ξ≤x)時，還要用到正態(tài)分布函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即,這個積分無法用閉合形式計(jì)算，我們要設(shè)法把這個積分式和可以在數(shù)

39、學(xué)手冊上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來。,2、 誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù) （1）誤差函數(shù)：定義式為,性質(zhì)：1o 它是自變量的遞增函數(shù); 2o 具有極值：erf(0)=0，erf(∞)=1； 3o 奇函數(shù)：erf(-x)=-erf(x)。,性質(zhì)：1o 它是自變量的遞減函數(shù)； 2o 極值：erfc

40、(0)=1，erfc(∞)=0， 3o 非奇非偶函數(shù)：erfc(-x)=2-erfc(x)； 4o近似公式：當(dāng)x>>1時（實(shí)際應(yīng)用中只要x＞2)即可近似有,（2）互補(bǔ)誤差函數(shù) ：1-erf(x)稱為互補(bǔ)誤差函數(shù)，記為erfc(x), 即,erfc(x)=1-erf(x)=,3、概率積分函數(shù)和Q函數(shù) （1） 概率積分函數(shù)： 概率積分函數(shù)定義為,極值： Φ(-∞)

41、=0 ；Φ(∞)=1； Φ(0)=1/2； Φ(-x)=1- Φ(x) 其中：f(t)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù),(2.3 - 10),性質(zhì)：1o Q(0)=1/2; 2o Q(∞)=0 3o Q(- ∞)=1 4o Q(-x)=1- Q(x) x>0

42、 5o 當(dāng)x>>1時（實(shí)際應(yīng)用中只要x＞2即可)近似有,（2） Q函數(shù): Q函數(shù)是一種經(jīng)常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數(shù)，其定義為,5、正態(tài)分布函數(shù)F(x)的表示  （1）用概率積分函數(shù)表示：若令新積分變量t=(z-a)/σ 就有dz=σdt，則有,4、概率積分函數(shù)、Q函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)的關(guān)系,(2.3 - 15),用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示F(x)的好處

43、是，它簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。 ,F(x)=,,（2）用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示F(x) 若進(jìn)行變量代換， 令新積分變量t=(z-a)/ σ，就有 dz= σdt，則不難得到,作 業(yè)思考題（自作）： P61 3-5，3-6習(xí) 題 ： P61 3-3,2.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),? 隨機(jī)過程通過

44、系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后的輸出? 線性系統(tǒng)輸出過程的平穩(wěn)性? 系統(tǒng)輸入和輸出功率譜密度的關(guān)系? 線性系統(tǒng)輸出過程的概率分布,一、隨機(jī)過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后的輸出 通信的目的在于傳輸信號，信號和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機(jī)的，因此在以后的討論中我們必然會遇到這樣的問題：隨機(jī)過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡(luò)）后，輸出過程將是什么樣的過程？ 這里，我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。

45、隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。 我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即,vo(t)=vi(t)*h(t)=,(2.4 - 1),若 vo(t) Vo(ω), vi(t) Vi(ω), h(t) H(ω)，則有 Vo(ω)=H(ω)Vi(ω)

46、 (2.4 - 2)若線性系統(tǒng)輸入有界且系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則 vo(t)= (2.4- 3),或,如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過程的一個樣本。顯然，輸入過程ξi(t)的每個樣本與輸出過程ξo(t)的相應(yīng)樣本之間都

47、滿足式（2.4 - 4）的關(guān)系。這樣，就整個過程而言，便有,(2.4 - 4),(2.4 - 5),二、線性系統(tǒng)輸出過程的平穩(wěn)性-----若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，則輸出過程也是平穩(wěn)的  假定輸入ξi(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程， 現(xiàn)在來分析系統(tǒng)的輸出過程ξo(t)的統(tǒng)計(jì)特性。證明：（1）、輸出過程ξo(t)的數(shù)學(xué)期望 對式（2.4 - 15）兩邊取統(tǒng)計(jì)平均，有 E［ξ

48、o(t)］= E[ h( τ ) ξi(t-τ)dτ ]=,式中利用了平穩(wěn)性假設(shè)E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常數(shù))。,又因?yàn)?H(W)=,求得 H(0)=,所以 E［ξo(t)］=a·H(0) 由此可見, 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且E［ξo(t)］與t無關(guān)。 （ 2）. 輸出過程ξo(t

49、)的自相關(guān)函數(shù),Ro(t1, t1+τ)=E［ξo(t1)ξo(t1+τ)］ =E[,根據(jù)平穩(wěn)性 E［ξi(t1-α)ξi(t1+τ-β)］=Ri(τ+α-β) 有Ro(t1, t1+τ)= h(α)h(β)Ri(τ+α-β) dαdβ=Ro (τ)

50、 (2.4 - 7) 可見, ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔τ而與時間起點(diǎn)t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。,三. 系統(tǒng)輸入和輸出功率譜密度的關(guān)系----系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi(ω)與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H(ω)|2的乘積 對ξo(t

51、)的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換, 有,令,則有,Po(ω)=,即 Po(ω)=,可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi(ω)與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H(ω)|2的乘積。 這是十分有用的一個重要公式。 當(dāng)我們想得到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)Ro(τ)時，比較簡單的方法是先計(jì)算出功率譜密度Po(ω)，然后求其反變換，這比直接計(jì)算Ro(τ)要簡便得多。 四、 輸出過程ξo(t)的概率分布 從原理上看

52、，在已知輸入過程分布的情況下，通過式（2.4 - 5），即,（2.4 - 5）,總可以確定輸出過程的分布。其中一個十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。  因?yàn)閺姆e分原理來看， 上式可表示為一個和式的極限，即,由于ξi(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時刻的每項(xiàng)ξi(t-τk)h(τk)Δτk都是一個高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時刻得到的每一隨機(jī)變量，都是無限多個高斯隨機(jī)

53、變量之和。由概率論得知，這個“和”的隨機(jī)變量也是高斯隨機(jī)變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程 仍為高斯過程。 更一般地說，高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。 ,作 業(yè)思考題（自作）： P61 3-7習(xí) 題 ： P61 3-7，,2.5 窄帶隨機(jī)過程,? 窄帶

54、隨機(jī)過程的定義及表達(dá)式? 窄帶隨機(jī)過程同相分量和正交分量的的統(tǒng)計(jì)特性? 窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性,一、窄帶隨機(jī)過程的定義及表達(dá)式 1、窄帶隨機(jī)過程的定義 所謂窄帶系統(tǒng)，是指其頻帶寬度Δf遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于中心頻率fc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。 實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。

55、 如用示波器上觀察一個實(shí)現(xiàn)的波形，則如圖2.5-1(b)所示，它是一個頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。 ,圖2.5-1 窄帶過程的頻譜和波形示意,2、窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式 （1）包絡(luò)相位形式: ξ(t)=aξ(t) cos［ωct+φξ(t)］, aξ(t)≥0 (2.5 - 1) 式中, aξ(t)及φξ(t)

56、分別是窄帶隨機(jī)過程ξ(t)的隨機(jī)包絡(luò)函數(shù)和隨機(jī)相位函數(shù)。wc 是正弦波的中心角頻率。顯然，這里的aξ(t)及φξ(t)變化一定比載波coswct的變化要緩慢的多。,（2）正交形式: ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct (2.5 - 2) 其中ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)

57、 (2.5 - 3) ξs(t)=aξ(t) sinφξ(t) (2.5 - 4) ξc(t)及ξs(t)分別稱為ξ(t)的同相分量和正交分量。,二、窄帶隨機(jī)過程同相分量和正交分量的的統(tǒng)計(jì)特性 由窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式可以看出，ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性可由aξ(t)、φξ(t)或ξc(t)、ξ

58、s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性。,同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性 一個均值為零、方差為σ2ξ的窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程ξ(t)，它的同相分量 ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平穩(wěn)高斯過程， 而且均值都為零，方差也相同。此外， 在同一時刻上得到的ξc和ξs是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。即有下式成立： E［ξ(t)］= E［ξc(t)］

59、=E［ξs(t)］=0 σ2ξ= σ2ξc= σ2ξs R ξc ξs(0)=R ξs ξc (0)=0 (簡記為Rcs(0) = Rsc(0) =0 ）,證明: （1）. 數(shù)學(xué)期望 ξ(t) =ξc(t) cosωct-ξs(t) sinωct  求數(shù)學(xué)期望:E［ξ(t)］=E［ξc(t)］cosωct-E［ξs(

60、t)］sinωct (2.5 - 5) 因?yàn)棣?t)是平穩(wěn)的，且已假定其均值為零，也就是說，對于任意的時間t，有E［ξ(t)］=0，故： E［ξc(t)］=0 E［ξs(t)］=0 (2.5 - 6),（2）. 自相關(guān)函數(shù) Rξ(t, t+τ)=E［ξ(t)ξ(

61、t+τ)］ =E｛［ξc(t)cosωct-ξs(t) sinωct］ ·［ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)］｝ =Rc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-Rcs(t,t+τ) cosωctsinωc(t+τ) -Rsc(t, t+τ) sinωctcosωc(t+τ)+Rs(t, t

62、+τ) sinωctsinωc(t+τ) 式中: Rc(t, t+τ)=E［ξc(t)ξc(t+τ)］ (2.5 - 7) Rcs(t, t+τ)=E［ξc(t)ξs(t+τ)］ Rsc(t, t+τ)=E［ξs(t)ξc(t+τ)］

63、 Rs(t, t+τ)=E［ξs(t)ξs(t+τ)］ 因?yàn)棣?t)是平穩(wěn)的，故有 Rξ(t, t+τ)=Rξ(τ),這就要求式（2.5 - 7）的右邊也應(yīng)該與t無關(guān)， 而僅與時間間隔τ有關(guān)。 若令t=0 ，則式（2.5 - 7）應(yīng)變?yōu)?Rξ(τ)=Rc(t, t+τ) cosωcτ-Rcs(t, t+τ)sinωcτ (2

64、.5 - 8) 這時，顯然應(yīng)有 Rc(t, t+τ)=Rc(τ) Rcs(t, t+τ)=Rcs(τ) 所以，式（2.4 - 8）變?yōu)楠И?Rξ(τ)=Rc(τ)cosωcτ-Rcs(τ) sinωcτ (2.5 - 9) 再令 t= π/(2wc) (或wct= π/ 2)，同理有

65、 Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (2.5 - 10),其中應(yīng)有 Rs(t, t+τ)=Rs(τ) Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ)由以上的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分析可知， 如果窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn)的，則ξc(t)與ξs(t)也必將是平穩(wěn)的。  進(jìn)一步分析， 式（2.5 - 9）和式（2.5 - 10）要同

66、時成立， 應(yīng)有 Rc(τ)=Rs(τ) (2.5 - 11) Rcs(τ)= - Rsc(τ) (2.5 - 12)可見，同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)，而且根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)

67、有,Rcs(τ)=Rsc(-τ) （偶函數(shù)）將上式代入式（2.5 - 12），可得 Rsc(τ)=-Rsc(-τ) (2.5 - 13)同理可推得Rcs(τ)=-Rcs(-τ) (2.5 - 14) 式（2.5 - 13）、（2.5 - 14）說明，ξc(t)、ξs(t

68、)的互相關(guān)函數(shù)Rsc(τ)、Rcs(τ)都是τ的奇函數(shù)，在τ=0時 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15), 于是，由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到 Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0) (2.5 - 16)