§6.2定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用(1)

1、1,問(wèn)題的提出,小結(jié) 思考題,定積分的應(yīng)用---元素法,2,一、問(wèn)題的提出,,,,按定義建立積分式有四步曲:,“分割、,有了N--L公式后,,對(duì)應(yīng)用問(wèn)題來(lái)說(shuō)關(guān)鍵就在于如何寫(xiě)出,被積表達(dá)式.,得到,這個(gè)復(fù)雜的極限運(yùn)算問(wèn)題得,到了解決.,是所求量 I 的微分,于是, 稱,為量 I 的,微元或元素.,取近似、,求和、,取極限 ,,3,這種簡(jiǎn)化了的建立積分式的方法稱為,元素法或微元法.,方法,簡(jiǎn)化步驟,4,,,這個(gè)小區(qū)間上所,對(duì)應(yīng)的小曲邊梯

2、形面積,面積元素,得,曲邊梯形面積的積分式也可以用元素法。,地等于長(zhǎng)為f(x)、寬為dx 的,小矩形面積,,故有,近似,,5,平面圖形的面積,體 積,第一節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,6,一、平面圖形的面積,回憶,的幾何意義:,曲邊梯形的面積.,啟示,一般曲線圍成區(qū)域的面積也可以,用定積分來(lái)計(jì)算.,定積分,下面曲線均假定是連續(xù)曲線.,7,,求這兩條曲線,及直線,所圍成的區(qū)域的,面積A.,,的面積元素dA為,它對(duì)應(yīng),(1),即,1.

3、直角坐標(biāo)系中圖形的面積,小區(qū)間,,,8,(2),由曲線,和直線,所圍成的區(qū)域的,面積A.,的面積元素dA為,它對(duì)應(yīng),,,,,,,小區(qū)間,9,,例,解,畫(huà)草圖,,求兩曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)以便,解方程組:,交點(diǎn),面積元素,法一,選 為積分變量,,?,確定積分限,,,,,,,,10,法二,選y為積分變量,,面積元素,,,法三,?,將圖形看成:,上方的三角形減去在,上方的曲邊梯形,,再加上,下方的曲邊梯形:,,,11,,,,,解,曲線的參數(shù)方程為

4、,由對(duì)稱性,,,作變量代換,,例,其中,總面積等于4倍第一象限部分面積．,不易積分.,圓柱,圓錐,圓臺(tái),二、體 積,旋轉(zhuǎn)體,這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．,由一個(gè)平面圖形繞,這平面內(nèi)一條直線,旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．,1. 旋轉(zhuǎn)體的體積,,,,旋轉(zhuǎn)體的體積,采用元素法,如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線,直線,及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞,x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,,體積為多少?,取積分變量為x,,為底的,小曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,成的薄片的,體積元素,(1),

5、,,,如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線,及 y 軸所圍成的曲邊梯形繞,y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,,體積為多少?,(2),直線,體積元素,旋轉(zhuǎn)體的體積,,,,解,體積元素,例,取積分變量為x,,,,,,旋轉(zhuǎn)體的體積：,,,,解,兩曲線的交點(diǎn)為,繞y軸旋轉(zhuǎn),,,,,,,例,例 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h, r)的直線、直線x?h及x軸圍成一個(gè)直角三角形. 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體. 計(jì)算這圓錐體的體積.,,圓錐體的體積公式推導(dǎo)

6、：,解,解（1）,則旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為,,橢球體的體積公式推導(dǎo)：,例 計(jì)算由橢圓 所成的圖形分別繞x, y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。,,,,,,解（2）,三、典型例題選解,1. 用定積分表示圖中陰影部分的面積 A .,提示: 交點(diǎn)為,以 x 為積分變量 , 則要分,兩段積分,,故以 y 為積分變量.,2.,解,,,,,,,,,,,,3. 試用定積分求圓,繞 x 軸,上,半圓為,下,求體積 :,提示: