高級運籌學中南大學-徐選華

1、1,高級運籌學,商學院管理科學與信息管理系,Advance Operation Research,Tel：13974812313,,主講：徐選華,E-mail：xuxh@mail.csu.edu.cn xuxh@public.cs.hn.cn,2,目 錄,第1章：對策論,第2章：模糊集合,第3章：模糊關系,第4章：模糊綜合評判,第5章：模糊模式識別,,第6章：模糊聚類分析,第8章：數(shù)據(jù)包絡分析,第9章

2、：非線性規(guī)劃（選講）,第7章：層次分析法,3,第 1 章：對策論,1.1 基本概念一、競爭現(xiàn)象 ? 各種比賽：體育、棋類等比賽。 ? 政治方面：外交談判。 ? 經(jīng)濟方面：貿(mào)易談判，爭奪市場，各種經(jīng)營競爭等。 ? 工業(yè)生產(chǎn)方面：多創(chuàng)價值。例1-1.齊王與田忌賽馬：他們各有上等、中等、下等馬各一匹，且同級馬，齊王比田忌強些。雙方 約定：每局比賽三場，每負一場者應付1千金，且每匹馬都應參加比賽。結(jié)

3、果田忌以 O：3 輸了后請教孫臏，則采用如下策略反敗為勝，結(jié)果田忌二勝一負，實得1千金。,4,例1-2.兩小孩玩石頭、剪刀、布的游戲：甲、乙兩小孩出的手勢都有可能是石頭、剪刀、布， 若他們?nèi)纬龅氖謩萑缦聢D，則乙小孩二勝一負。,二、競爭現(xiàn)象的特點 ? 雙方均有理智：為擊敗對手，可隨機應變改變策略(多為保密)。 ? 實力強者：穩(wěn)扎穩(wěn)打以優(yōu)勢取勝。 ? 實力弱者：避開對方優(yōu)勢鋒芒，打擊對方弱點取

4、勝。 ? 在經(jīng)濟管理對策中：把非理智的客觀世界設想為“理智人”，并與之斗爭。三、對策論的概念 研究競爭現(xiàn)象的一種定量分析理論。三、對策論的起源 1· 我國古代圍棋比賽和17世紀歐洲國際象棋比賽 — 形成模擬模型。 2· 1912年，數(shù)學家翟墨羅發(fā)表論文“把集合論應用于象棋的博奕理論”， 把對策從模擬模型抽象為數(shù)學模型。 3· 第一次世界大戰(zhàn)期間，產(chǎn)生了軍事對

5、策(戰(zhàn)役、戰(zhàn)略、軍事裝備等)。 4· 1944年，馮·諾意曼與經(jīng)濟學家摩根斯特恩合寫“對策論與經(jīng)濟行為”,把對策論應用于經(jīng)濟管理。 5· 我國公元前六世紀(春秋)“孫子兵法”13篇。,5,四、對策 參加競爭的各方為了取勝，而研究出一組對付對方的策略。五、對策的三要素 1· 局中人：參加競爭，并有決策權的各方(二人或多人)。 如：齊王和田忌。 2· 策略：在

6、一局競爭中，每一局中人均有供他選擇的實際可行的完整行動方案。 如例1-1，齊王有6個策略：{(上中下)，(上下中), (中上下), (中下上),(下上中), (下中上)} 田忌有6個策略：{(上中下)，(上下中), (中上下), (中下上),(下上中), (下中上)} 如例1-2，甲小孩有3個策略：{石頭，剪刀，布} 乙小孩有3個策略：{石頭，剪刀，布} 3· 一局

7、對策的得失：局中人的得失。叫支付函數(shù)，對有限策略集，叫支付矩陣。 如：齊王出策略(上中下)，田忌出策略(中上下)， 則齊王二勝一負，贏得1千金；田忌損失1千金。六、局勢 每個局中人從各自的策略集合中選取一個策略參加對策，形成的一個處于競爭的策略組。 如：齊王選策略(上中下)，田忌選策略(中上下)，構(gòu)成一個局勢{(上中下)，(中上下)}。 局勢的得失總和為0。七、對策的分類,6,對策,,7

8、,1.2 支付矩陣有鞍點的二人有限零和對策一、特點 1· 策略公開。 2· 得失確定且總和為零：一方所得必為另一方所失，局中人利益沖突(對抗對策)。 3· 單局競爭決定勝負。 二、建模：建立支付函數(shù)，這里是支付矩陣(也叫矩陣對策問題) 設局中人甲有m個純策略 S甲= {?1,?2,…,?m}，局中人乙有n個純策略 S乙= {?1,?2,…,?n}。 純局勢(

9、?i,?j)得失為aij：當aij＞0時，甲贏得aij，乙損失aij； 當aij＜0時，甲損失-aij，乙贏得-aij。 構(gòu)成支付矩陣 A：,對策可寫成 G = {甲，乙，S甲，S乙，A}。,8,如例1-1.齊王與田忌賽馬：,則支付矩陣為：,9,如例1-2.兩小孩玩游戲：,則支付矩陣為：,10,例1-3.某單位秋季要決定冬季取暖用煤的貯量。冬季用煤貯量在較暖、正常和較冷情

10、況下分為 10、15和20噸。設冬季煤價也隨寒冷程度而變，在上述三種情況下分別為340、420和500元/噸， 已知秋季煤價為340元/噸，冬季氣象未能予知，問秋季合理貯煤量為多少？解：建模，設局中人甲為：貯煤量決策者； 局中人乙為：未來冬季氣候。 費用總和=秋季貯煤量費用+冬季補購煤量費用,則支付矩陣為：,11,二、求解 1· 穩(wěn)妥性原則 局中人在公開對策的前提

11、下，都從最壞處著想，在最壞的環(huán)境中爭取最好的結(jié)果。 例1-4 某企業(yè)決定由職工代表大會選舉行政負責人，經(jīng)提名產(chǎn)生候選人甲和乙。他們根據(jù)企業(yè)的 發(fā)展戰(zhàn)略和群眾關心的事業(yè)各自提出了企業(yè)改革的方案。甲提出了四種：?1,?2,?3,?4； 乙提出了三種：?1,?2,?3。他們的參謀人員為使競爭對本方有利，予先作了個民意抽樣 測驗。因各方提供的不同策略對選票吸引力不同。測驗選票經(jīng)比較后差額如下表

12、 (單位:十張)：,問：甲和乙在競選中應采用何種策略？,,,,,,,解：對策時，雙方均理智，且發(fā)揮主動性。最后，甲用?2競選，領先2O票優(yōu)勢； 乙只能用?2競選，縮短票數(shù)差距。雙方均認為只能如此，為雙方妥協(xié)結(jié)果。,支付矩陣中：每行選最小值，這些最小值中選最大值V1；,,每列選最大值，這些最大值中選最小值V2；,,若 V1 = V2 ，則得最優(yōu)解。,12,2· 穩(wěn)妥性原則數(shù)學表達： ①對甲而言是最

13、小最大原則：從支付矩陣每行元素中取最小數(shù)，再從這些最小數(shù)中取最大數(shù)，得,②對乙而言是最大最小原則：從支付矩陣每列元素中取最大數(shù)，再從這些最大數(shù)中取最小數(shù)，得,若V1=V2=VG，則穩(wěn)妥原則實現(xiàn)，VG為支付矩陣的穩(wěn)定值—即鞍點值，對應的純策略?i*,?j*為 甲、乙的最優(yōu)純策略，局勢(?i*,?j*)為對策的最優(yōu)解，即：,如例1-3.,,,甲用策略?3，乙用策略?3， 即 秋季購進煤2O噸，總費用最低為68OO元。,13,例

14、1-5 某廠工程師設計了三個礦石冶煉(或選礦)流程，考慮到它們的所用設備和工藝環(huán)節(jié)等因素， 若付諸實施可會遇上生產(chǎn)正常和生產(chǎn)不正常兩種情況,這兩種情況的出現(xiàn)及其概率未能予知， 但三個流程在這兩種情況下的單位支付費用已算出，如下表，問：選用哪個流程較好?,解：有二個鞍點局勢(?1,?2)和(?3,?2) 甲用?1，乙用?2；甲用?3，乙用?2 最小支付費用為：1.7(百元/噸)。 所以應

15、選“流程1” 或“流程3” 。,,,,,,三、鞍點對策問題兩個性質(zhì) 1· 解的穩(wěn)定性 對策的最終結(jié)局可在支付矩陣中得到雙方均認可的妥協(xié)， 雙方均認識到在原有策略中存在最優(yōu)策略。 2· 對策的公開性 雙方均明確并可公開申明參加對策的最優(yōu)策略，最優(yōu)局勢是雙方妥協(xié)的結(jié)果， 反映雙方策略的實力。,14,1.3 支付矩陣無鞍點的二人有限零和對策一、特點 1· 策略保密性：圖謀

16、出奇制勝。 2· 得失隨機性：某局競爭的勝敗難于予料，強者可敗，弱者可勝。 3· 多局競爭性：多局競爭后決定勝負。 二、建模：建立得失期望值函數(shù) 1· 混合策略 設局中人甲有m個純策略 S甲={?1,?2,…,?m}，局中人乙有n個純策略 S乙={?1,?2,…,?n}。 純局勢(?i,?j)得失為aij，構(gòu)成的支付矩陣A無鞍點。G = {甲，乙，S甲，S乙，A}。

17、 設甲以 x1,x2,…,xm 的概率取純策略 ?1,?2,…,?m ， 則稱概率向量 X = (x1,x2,…,xm)為甲的一個混合策略，xi≥0，x1+x2+…+xm=1， 甲的混合策略集記為 S(m)； 設乙以 y1,y2,…,yn 的概率取純策略 ?1,?2,…,?n ， 則稱概率向量 Y = (y1,y2,…,yn )為乙的一個混合策略，yi≥0，y1

18、+y2+…+yn=1， 乙的混合策略集記為 T(n) 。 2· 混合局勢 (X,Y)稱為混合局勢。 3· 得失期望值,15,如例1-2.兩小孩共玩了10局游戲?qū)Σ?，最后總計誰勝誰負，設這10次游戲中： 甲隨機出了 3次石頭、3次剪刀、4次布，即甲采用混合策略 X = (0.3,0.3,0.4)； 乙隨機出了 0次石頭、5次剪刀、5次布，即乙采用混合策略 Y = (0,

19、0.5,0.5)。,支付矩陣為(無鞍點)：,得失期望值為：,所以，甲平均要輸 0.05。,16,4· 最優(yōu)混合策略 ⑴ 定義:若 ? X*?S(m),Y*?T(n)，使對所有 X?S(m),Y?T(n),都有 E(X,Y*)≤E(X*,Y*)≤E(X*,Y), 則 X*、Y* 分別稱為甲、乙的最優(yōu)混合策略，(X*,Y*)為對策的解，E(X*,Y*)為對策值V。 例1-6 給定一個矩陣對策 G = {甲,乙,

20、S甲,S乙,A}，S甲={?1,?2},S乙={?1,?2} ，,設甲以 x,1-x 的概率取純策略 ?1,?2；乙以 y,1-y 的概率取純策略 ?1, ?2。得失期望值為：,求甲、乙的最優(yōu)混合策略。,解：,,,? G無鞍點，兩局中人無純策略穩(wěn)定解，斗爭轉(zhuǎn)入策略保密， 即求最優(yōu)混合策略。,① 當甲以 x = 2/5 = 0.4 的概率選?1時，其贏利期望值 E(X,Y)=4， 是甲從穩(wěn)妥原則出發(fā)能達到的最大期望贏利值,

21、而{x,1-x}={0.4,0.6}=X*是甲的最優(yōu)混合策略， 當x取一值時，y可取另外一值與其對抗，但當x=2/5時，y無論取何值都無法與其對抗； ② 當乙以 y = 1/2 = 0.5 的概率選?1時，其損失期望值 E(X,Y)=4， 是乙從穩(wěn)妥原則出發(fā)能達到的最小期望損失值,而{y,1-y}={0.5,0.5}=Y*是乙的最優(yōu)混合策略， 當y取一值時，x可取另外一值與其對抗，但當y=1/2時，x無

22、論取何值都無法與其對抗。 故 X*={0.4,0.6}，Y*={0.5,0.5} ，E(X*，Y*)=4 就是雙方都感到只能如此的最好結(jié)果。,17,⑵ 存在性定理：任意一個給定的矩陣對策一定有解，局中人雙方總有一個最優(yōu)混合策略，即：,則 X*、Y* 為甲、乙的最優(yōu)混合策略，(X*,Y*)為對策的解，對策值 V=V1=V2。,⑶ 定理1：若矩陣對策值為V，則下面兩組不等式的解是局中人甲、乙的最優(yōu)混合策略：,⑷ 定理2：若 X*、Y*

23、為甲、乙的最優(yōu)混合策略，則對某一個i或j，有,①,②,③,④,18,5· 支付矩陣的縮減：若存在優(yōu)勢策略，則支付矩陣階數(shù)可降低 ⑴ 對局中人甲，他希望對策的局勢值 aij 越大越好： 若 ? 第 i 行所有元素 ≥ 第 L 行所有元素，即 aij ≥ aLj，j=1,2,…,n， 則甲理智，必采用 i 純策略而舍去 L 純策略，不影響最優(yōu)混合策略和策略鞍點值。 此時稱 i 策略為對 L 策略的

24、優(yōu)勢策略。 ⑵ 對局中人乙，他希望對策的局勢值 aij 越小越好： 若 ? 第 j 列所有元素 ≤ 第 K 列所有元素，即 aij ≤ aiK，i=1,2,…,m， 則乙理智，必采用 j 純策略而舍去 K 純策略，不影響最優(yōu)混合策略和策略鞍點值。 此時稱 j 策略為對 K 策略的優(yōu)勢策略。,例1-7 設有矩陣對策,,,,,注：無鞍點對策時，要求決策的不是每次局中人應選那個純策略，而是決定用多大的概率選擇

25、 每一種純策略，以期達到能平均反映各方純策略實力的穩(wěn)妥結(jié)果。,19,三、最優(yōu)混合策略的求解方法 1· 圖解法：適用于縮減后的支付矩陣為2×n或m×2的無鞍點對策問題。,例1-8 設有下列矩陣對策，求甲、乙的最優(yōu)混合策略。,解：設甲的混合策略為(x,1-x) ，乙的混合策略為(y,1-y)。得失期望值為：,⑴ 甲的期望值方程為： V = x + 6(1-x) = 6 – 5x ……

26、… ① V = 7x + 2(1-x) = 2 + 5x ……… ②,⑵ 乙的期望值方程為： V = y + 7(1-y) = 7 – 6y ……… ③ V = 6y + 2(1-y) = 2 + 4y ……… ④,,甲的最優(yōu)混合策略為(0.4,0.6,0),對策值為V=4;,,乙的最優(yōu)混合策略為(0.5,0.5,0),對策值為V=4;,20,2· 解析法：適用于縮減后的支付矩陣為n×

27、n方陣的無鞍點對策問題。,設甲的混合策略為(x1,x2,…,xn) ，乙的混合策略為(y1,y2,…,yn)。得失期望值為：,⑴ 甲的期望值方程為：,⑵ 乙的期望值方程為：,,解得甲的最優(yōu)混合策略為X*=(x1*,…,xn*);,,解得乙的最優(yōu)混合策略為Y*=(y1*,…,yn*),對策值V=V*;,21,例1-9 求兩小孩玩游戲?qū)Σ叩淖顑?yōu)混合策略。,⑴ 甲小孩的期望值方程為：,⑵ 乙小孩的期望值方程為：,,解得甲的最優(yōu)混合策略為

28、X* = (1/3,1/3,1/3), V* = 0,,解得乙的最優(yōu)混合策略為 Y*=(1/3,1/3,1/3), V* = 0;,無鞍點且不能縮減。,設甲的混合策略為(x1,x2,x3) ，乙的混合策略為(y1,y2,y3)。得失期望值為：,甲、乙兩小孩均以1/3的同等概率取石頭、剪刀、布純策略，在不考慮其它因素的前提下， 多局競爭的結(jié)果是最終和局，誰也不占優(yōu)勢，反映雙方純策略實力相等。,22,例1-10 求齊王與田

29、忌賽馬對策的最優(yōu)混合策略。,⑴ 齊王的期望值方程為：,⑵ 田忌的期望值方程為：,,解得齊王的最優(yōu)混合策略為 X* = (1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6), V* = 1,無鞍點且不能縮減。,設齊王的混合策略為(x1,x2,x3,x4,x5,x6) ，田忌的混合策略為(y1,y2,y3,y4,y5,y6)。,雙方都示以莫測，但很理智，總結(jié)局齊王得1千金，表明齊王實力略勝一籌。,,解得田忌的最優(yōu)混合策略為 Y*

30、= (1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6), V* = 1,23,3· 拉格朗日乘子法：適用于縮減后的支付矩陣為n×n方陣的無鞍點對策問題。,設甲的混合策略為(x1,x2,…,xn) ，乙的混合策略為(y1,y2,…,yn)。得失期望值為：,,求出最優(yōu)混合策略和對策值，并且有：,構(gòu)造拉格朗日函數(shù) L 為：,解下列方程組：,24,例1-11 求下列對策的最優(yōu)混合策略。,⑴ 解下列方程組：,⑵ 解下列方程

31、組：,,解得乙的最優(yōu)混合策略為 Y* = (14/45,11/45,20/45), V* = 29/45,無鞍點且不能縮減。,設甲的混合策略為(x1,x2,x3) ，乙的混合策略為(y1,y2,y3)。拉氏函數(shù)為：,,解得甲的最優(yōu)混合策略為 X* = (20/45,11/45,14/45), V* = 29/45,25,例1-12 求下列對策的最優(yōu)混合策略。,⑴ 解下列方程組：,,解得乙的最優(yōu)混合策略為 y1* =

32、26/35, y2* = 19/35, y3* = -2/7 < 0,違背概率定義 ?1=V* = 5/14,無鞍點且不能縮減。,設甲的混合策略為(x1,x2,x3) ，乙的混合策略為(y1,y2,y3)。拉氏函數(shù)為：,解析法與拉氏法不是對所有的有解支付矩陣均能得到正確答案，沒有顧及變量非負的要求。,26,4· 線性規(guī)劃法：適用于縮減后的支付矩陣為 m×n 矩陣的無鞍點對策問題。,設甲的混合策略為(

33、x1,x2,…,xm),乙的混合策略為(y1,y2,…,yn)。得失期望值為：,這里不妨設 V＞0，（否則可令 a’ij = aij + K，使得 V’ = V+K ＞0）,27,⑴· 由定理1的：,,,,,,此時對甲，要求 V 取大，即 V→max，1/v →min，于是得下列 LP 數(shù)學模型：,,⑵· 由定理1的：,,,,,,此時對乙，要求 V 取小，即 V→Min，1/v →Max，于是得下列 LP 數(shù)學模型：

34、,,以上兩個數(shù)學模型互為對偶數(shù)模,解出其中一個數(shù)模的最優(yōu)解,其影子價格就是另一個數(shù)模的最優(yōu)解。,28,例1-13 求下列對策的最優(yōu)混合策略。,無鞍點且不能縮減，用 LP 方法求解。,仍無鞍點且不能縮減，有:,,,29,,最優(yōu)解為：,影子價格為：,甲的最優(yōu)混合策略為:,乙的最優(yōu)混合策略為:,對策值為:,甲損失 29/45，乙贏得 29/45。,30,習 題 一1、有A,B兩個企業(yè)都想通過改革經(jīng)營管理獲得更多市場銷售份額，A企業(yè)

35、考慮的策略措施有：⑴降低 產(chǎn)品價格；⑵提高產(chǎn)品質(zhì)量，延長保修年限；⑶推出新產(chǎn)品。 B企業(yè)考慮的策略措施有：⑴增加 廣告費用；⑵增修維修網(wǎng)點、擴大維護服務；⑶改進產(chǎn)品維修性能。由于各自采取的策略措施 不同。通過預測，兩企業(yè)對市場占有份額增加數(shù)如下表：,問：兩企業(yè)各應采用何種最優(yōu)策略? 競爭結(jié)果對誰有利？,2、某廠三種不同設備?1,?2,?3加工三種不同產(chǎn)品?1,?2,?3。已知這三種設備分別加工三種產(chǎn)品時，

36、 單位時間內(nèi)創(chuàng)造的利潤價值如下表，負數(shù)是設備消耗大于它創(chuàng)造的值。求一組合理的加工方案？,31,3.甲、乙雙方談判簽定一項合同，甲方的最后“要價”是 25 萬元，而乙方的“出價”是 20 萬元， 談判限于僵局。為打破僵局，雙方約定，再各報一個價，以下述價格成交：誰讓步多，取誰 出的價；如果雙方讓步相同，則取雙方報價的中間值。問：甲、乙雙方應該如何報價？最后 的成交價是多少？,甲的最優(yōu)混合策略是要價 23 萬元，乙的最優(yōu)

37、混合策略是出價 22 萬元，雙方讓步相同， 最后的成交價是 22.5 萬元。,32,第 二 章 模糊集合,2.0 引論一、模糊集合產(chǎn)生的原因 1、現(xiàn)實世界中存在大量的模糊現(xiàn)象和模糊概念。如“青年人”、“高個子”等。 2、研究模糊性具有重要的現(xiàn)實意義。如“做化學實驗”、“炒萊”等。 3、信息科學和人工智能的發(fā)展促進了模糊數(shù)學的產(chǎn)生。如“電視圖像的調(diào)節(jié)”等。 人腦思維活動的特點之一：就是能對模糊事物進行識別和

38、判斷。 如：要找一個人，只知道他是“高個子，大胡子”，無須知道他的身高究竟具體是多少米， 以及臉上有多少根胡子、平均有多粗。二、模糊性與隨機性的區(qū)別 1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合給出的概念不明確。 2、隨機性：事物的概念本身是明確的，只是發(fā)生的條件不充分，使條件與事物的發(fā)生無因果 關系，從而事物的發(fā)生與否表現(xiàn)出不確定性，但有統(tǒng)計規(guī)律。三、起源

39、 1965年，(美)著名控制論教授扎德( L.A.Zadeh )發(fā)表論文“模糊數(shù)學( fuzzy )”。 給定量研究客觀世界中的模糊性開辟了新途徑。,33,2.1 模糊集合的定義 一、普通集合論知識：確定概念→普通集合→特征函數(shù) 1、集合的概念：符合某個確定概念的對象的全體。常用字母 A、B、C ? ? ?等表示。 因此，確定概念可用集合來表示，集合是確定概念的外延。 2、論域：某議題范圍內(nèi)被討論的全部

40、對象。常用字母 U、V、X、Y ? ? ?等表示。 論域中的每個對象叫元素。常用字母 a、b、c、d ? ? ?等表示。 如：{中南大學的學生}就可以成為一個論域。 ⑴ 有限論域：元素個數(shù)為有限個或可列個的論域。 ⑵ 無限論域：元素個數(shù)為無限個的論域。 3、論域中的子集：論域U中某一部分元素組成的全體叫論域U中的一個集合。 用 A、B、? ?

41、?等表示。 如論域 U ={中南大學的學生}，則 A = {中南大學的男學生}就是論域 U 中的一個集合。 二、模糊子集的定義：模糊概念→模糊集合→隸屬函數(shù) 給定論域 U ，稱A是論域 U 上的模糊子集( 記為 Ã )： 如果對?x∈U，都有一個確定的數(shù) ?A(x)∈[0,1]與之對應。 此時，映射 ?A(x)： U ? [0,1] x ? ?A(x)

42、 ?A(x)稱為 A 的隸屬函數(shù)； 數(shù)?A(x)稱為論域U中的元素 x 對模糊子集 A 的隸屬度，表示 x 屬于 A 的程度。 特例：當?A(x)=0、1時，模糊子集 Ã 蛻化為普通集合 A ； Ã 的隸屬函數(shù) ?A(x) 蛻化為 A 特征函數(shù) CA(x)，即,34,例2-1 組成一個100人的評比小組，對五種商品X1,X2,X3,X4,X

43、5進行評比。結(jié)果是： 認為商品X1“質(zhì)量好”的有81人，占81%=0.81；認為商品X2“質(zhì)量好”的有53人，占53%=0.53； 認為商品X3“質(zhì)量好”的有100人，占100%=1；認為商品X4“質(zhì)量好”的有0人，占0%=0； 認為商品X5“質(zhì)量好”的有24人，占24%=0.24。 對論域 U = {X1,X2,X3,X4,X5}(有限論域)中的每一個元素均規(guī)定了一個隸屬度： X1→0.81，X2 →

44、0.53，X3 →0.1，X4 →0 ，X5 →0.24 它們確定了 U 中的一個模糊子集 A，表示商品“質(zhì)量好”這一模糊概念。,例2-2 考查某商店商品銷售利潤的經(jīng)濟效益 論域 U = [ 0 ，k ](無限論域)表示該商品銷售利潤額的范圍， 則表示商品銷售利潤的“經(jīng)濟效益好”這一模糊概念的模糊子集Ã，用以下隸屬函數(shù)表示：,其中，n為同期商品銷售額，m為銷售利潤效益最好時刻的利潤率。,35,例2-3 取年齡為

45、論域 U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”， 表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數(shù)定義為：,,,若你的年齡 x = 30 歲，則,36,2.2 模糊子集的運算： Ã 仍記為 A (除非特別申明) 1.關系運算：對論域 U ⑴ 模糊空集 ? ：對?x?U，均有 ??(x)=0 ⑵ 模糊全集 E ：對?x?U，均有 ?E(x)=1 ⑶ 模糊冪集 ?(U) ：U 中的全體模糊子集

46、(含普通子集)構(gòu)成的普通集合(其元素是模糊子集)。 ⑷ A = B ：對?x?U，均有 ?A(x) = ?B(x) ⑸ A ? B ：對?x?U，均有 ?A(x)≤ ?B(x) 2.并、交、余運算：對論域 U ⑴ 并(A∪B)：設 A ,B ? ?(U),對?x?U，則 A∪B 是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集 ?A∪B(x) = Max{?A(x),?B(x)}= ?A(

47、x)∨?B(x） ⑵ 交(A∩B)：設 A ,B ? ?(U),對?x?U，則 A∩B 是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集 ?A∩B(x) = Min{?A(x),?B(x)}= ?A(x)∧?B(x） ⑶ 余(Ac)：設 A ? ?(U),對?x?U，則 Ac 是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集 ?Ac(x) = 1 - ?A(x) 例2-4 商品論域 U = {X

48、1,X2,X3,X4,X5}，表示 “商品質(zhì)量好”這個模糊概念的模糊子集為：A = {0.81,0.53,1,0,0.24} ， “商品質(zhì)量差”這個模糊概念的模糊子集為：B = {0.05,0.21,0,0.36,0.57} 。 則：①表示“商品質(zhì)量或好或差”這個模糊概念的模糊子集為： A∪B = {0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81

49、,0.53,1,0.36,0.57}； ②表示“商品質(zhì)量又好又差”這個模糊概念的模糊子集為： A∩B = {0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}； ③表示“商品質(zhì)量不好”這個模糊概念的模糊子集為： Ac = {1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,

50、1,0.76}；,37,例2-5 年齡論域 U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”,對應的模糊子集Y與O,隸屬函數(shù)為,,,則：表示“又老又年輕”這個模糊概念的模糊子集為O∪Y：隸屬函數(shù)為,,38,3.運算性質(zhì)： ⑴ 對偶律：( A∪B )c = Ac ∩ Bc ；( A∩B )c = Ac ∪ Bc ⑵ 冪等律： A∪A = A ；A∩A = A ⑶ 交換律： A∪B = B∪A ；A∩B = B∩

51、A ⑷ 結(jié)合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ) ；( A∩B )∩C = A∩( B∩C ) ⑸ 分配律：( A∪B )∩C =( A∩C )∪( B∩C ) ；( A∩B )∪C=( A∪C )∩( B∪C ) ⑹ 吸收律：( A∪B )∩A = A ；( A∩B )∪A = A ⑺ 兩極律： A∪? = A ；A∩? = ? ；A∪E = E ；A∩E = A ⑻ 還原律：( Ac )

52、c = A ⑼ 不滿足互補律：A∪Ac ≠ E ， A∩Ac ≠ ? ⑽ 偽補律： ?A∪Ac(x) = ?A(x)∨?Ac(x) ≥ ½ ； ?A∩Ac(x) = ?A(x)∧?Ac(x) ≤ ½ 例2-6 設有模糊子集為：A = {0.81,0.53,1,0,0.24} 則：A∪Ac = {0.81,0.53,1,1,0.76} ≠ E ，并且其隸屬度均大于1/2 A

53、∩Ac = {0.19,0.47,0,0,0.24} ≠ ? ，并且其隸屬度均小于1/2,39,4.幾種常用的模糊算子：須同時滿足 對偶律、交換律、結(jié)合律、兩極律 ⑴ 普通實數(shù)乘法?與最大∨算子 M(?,∨)： ?A∩B(x) = ?A(x) ? ?B(x)；?A∪B(x) = ?A(x)∨?B(x) ⑵ 普通實數(shù)乘法?與有界和⊙算子 M(?,⊙) ： ?A∩B(x) = ?A(x) ? ?B(x

54、)；?A∪B(x) = ?A(x)⊙?B(x) 其中有界和⊙ ：對?a,b?[0,1],有 a⊙b = min{a+b,1} ⑶ 普通實數(shù)乘法?與概率和△算子 M(?,△) ： ?A∩B(x) = ?A(x) ? ?B(x)；?A∪B(x) = ?A(x)△?B(x) 其中概率和△：對?a,b?[0,1],有 a△b = a+b – a·b ⑷ 有界積☆與有界和⊙算子 M(☆,

55、⊙) ： ?A∩B(x) = ?A(x)☆ ?B(x)；?A∪B(x) = ?A(x)⊙?B(x) 其中有界積☆：對?a,b?[0,1],有 a☆b = max{0,a+b–1} 例2-7 設有模糊子集為：A = {0.81,0.53,1,0,0.24} ， B = {0.05,0.21,0,0.36,0.57} 。 采用算子 M(☆,⊙

56、)，得： 則：A∩B = {0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57} = {0，0，0，0，0} A∪B = {0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57} = {0.86，0.74，1，0.36，0.81},40,2.4 模糊集合與普通集合的關系：模糊集合是普通集合的推廣 1.模糊子

57、集 A 的 ? 水平截集 A? 給定模糊子集 A??(U)，對???[0,1]， 稱普通集合 A? ={x|x?U,且 ?A(x)≥?}為模糊子集 A 的 ? 水平截集。 即：A? 由 U 中哪些隸屬度大于或等于 ? 的元素組成，其特征函數(shù)為：,例2-8 五種商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“質(zhì)量好”的模糊子集 A = ( 0.81，0.53，1，0 ，0.24 )， 進一步研究：有50%以上

58、的人認為“質(zhì)量好” ，稱為“合格” ，則“合格”商品的集合為 A0.5 = {X1,X2,X3} ， ? = 0.5 有80%以上的人認為“質(zhì)量好” ，稱為“優(yōu)良” ，則“優(yōu)良”商品的集合為 A0.8 = {X1,X3} ， ? = 0.8 A0.5與 A0.8 均是A按一定水平 ? 確定的普通子集( ?截集 ) 。,41,2.

59、? 水平截集 A? 的性質(zhì) ① ( A∪B )? = A?∪B? ； ② ( A∩B )? = A?∩B? ； ③ 設 ?1,?2 ?[0,1]，且 ?1≤ ?2 ，則 A?1 ? A?2,3. 模糊子集 A 的核 A1、支撐架 SuppA、邊界 SuppA - A1 ① A 的核 A1 = {x|?A(x)≥1}； ② A 的支撐架 SuppA = {x|?A(x)＞0} ；

60、③ A 的邊界 SuppA - A1 = {x|0＜?A(x)＜1}; ④ A0 = {x|?A(x)≥0} = U,例2-9 五種商品論域 U = {X1,X2,X3,X4,X5}， 模糊子集 A = ( 0.81，0.53，1，0 ，0.24 )，則 A 的核 A1 = {X3}； A 的支撐架 SuppA = {X1,X2,X3,X5}； A 的邊界 SuppA - A1 = {X1,X2,X5};

61、A0 = {X1,X2,X3,X4,X5} = U,42,4. 由 A? 生成的模糊子集 設 A??(X)，其 ? 水平截集為 A? ，,分解定理：,或用隸屬函數(shù),結(jié)論：任何模糊數(shù)學問題，均可通過分解定理用經(jīng)典集合論方法處理； 從概念上講，模糊數(shù)學是經(jīng)典數(shù)學的推廣和發(fā)展；,43,① 矩形分布,② 尖?分布,③ 正態(tài)分布,④ 柯西分布,⑤ 梯形分布,2.5 實數(shù)域上的模糊集 論域 X = R = (-∞,

62、+∞)上的模糊子集A的隸屬函數(shù)稱為模糊分布。,44,第三章 模糊關系 3.1 模糊關系的定義 從普通集合 A 到普通集合 B 的一個模糊關系 R 是指： 以笛卡爾積 A×B = {(a,b)|a∈A，b∈B}為論域的一個模糊子集 R ， 記作 R：A ? B ，或 R∈?( A×B ) 其隸屬函數(shù)為 ?R(a,b)，稱為(a,b)具有模糊關系 R 的程度。

63、 ?R ：A×B ? [0,1] (a,b) ? ?A(a,b) 若 A = B ，則稱 ?R ：A×A ? [0,1] (a1,a2) ? ?A(a1,a2) 為 A 上的模糊關系。 例3-1 設 A = {質(zhì)量好,質(zhì)量一般,質(zhì)量差} ，B = {價格高,價格中等,價格低}是

64、兩個普通集合， 則表示“質(zhì)價相符”這個模糊關系 R ，就是笛卡爾積 A×B 上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：,45,例3-3 設 X，Y 為兩個坐標軸，則表示“x遠遠大于y”這個模糊關系 R ， 就是笛卡爾積 X×Y 上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：,若取 x = 101，y = 1 ，則 x 遠遠大于 y 的程度是：,例3-2 設 A = {直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線} ，則表示這五種幾何圖形“相

65、似關系” R ， 就是笛卡爾積 A×A 上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：,46,3.2 模糊矩陣 一、概念 當論域 A、B 為有限集時，模糊關系 R 可用矩陣表示， 記為 R = (rij),0≤rij≤1，i=1,2,…,m; j=1,2,…,n 例如: “質(zhì)價相符”這個模糊關系的模糊矩陣為：,五種幾何圖形“相似” 這個模糊關系的模糊矩陣為：,特例：當隸屬度為 0 和

66、 1 時，模糊矩陣變?yōu)槠胀ň仃嚒Ｈ?,47,二、幾種特殊的模糊矩陣： ① 表示 A×B 上的“零關系”的零矩陣 O ：,?(a,b)?A×B，?o(a,b)=0 。即 A 與 B 中任意元素之間具有關系 O 的程度為 0 。,② 表示 A×A 上的“恒等關系”的恒等矩陣 I ：,?(a,b)?A×A，當a=b時,?I(a,b)=1；當a≠b時,?I(a,b)=0 。即 A 中任意元素自己

67、與自己具有關系 I 的程度為 1 ，與其余元素具有關系 I 的程度為 0 。,③ 表示 A×B 上的“全稱關系”的全矩陣 E ：,?(a,b)?A×B，?E(a,b)=1 。即 A 與 B 中任意元素之間具有關系 E 的程度均為 1 。,48,三、模糊矩陣的運算：設有模糊矩陣 R = (rij)n×m ，S = (sij)n×m ① R 與 S 的并：R∪S = (rij∨sij) ；

68、 ② R 與 S 的交：R∩S = (rij∧sij) ； ③ R 的余：Rc = (1-rij) ； ④ R 與 S 相等：R = S ，?i,j，均有 rij = sij ； ⑤ R 包含于 S ：R ? S ，?i,j，均有 rij ≤ sij 。,例如：,49,四、模糊矩陣的運算性質(zhì)： ⑴ 冪等律：R∪R = R ，R∩R = R ； ⑵ 交換律：R∪S = S∪R ，R∩S = S∩R ；

69、 ⑶ 結(jié)合律：( R∪S )∪T = R∪( S∪T ) ，( R∩S )∩T = R∩( S∩T ) ； ⑷ 分配律：( R∪S )∩T = ( R∩T )∪( S∩T ) ，( R∩S )∪T = ( R∪T )∩( S∪T ) ； ⑸ 吸收律：( R∪S )∩S = S ，( R∩S )∪S = S ； ⑹ 兩極律：O∪R = R ，O∩R = O，E∪R = E ，E∩R = R ； ⑺ 還原律