管理統(tǒng)計學(xué)第11章-一元線性回歸

1、第 11 章 一元線性回歸,第11章 一元線性回歸,§11.1 變量間關(guān)系的度量 §11.2 一元線性回歸§11.3 利用回歸方程進行估計和預(yù)測§11.4 殘差分析,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.相關(guān)系數(shù)的分析方法一元線性回歸的基本原理和參數(shù)的最小二乘估計回歸直線的擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗利用回歸方程進行估計和預(yù)測用 Excel 進行回歸,§11.1 變

2、量間關(guān)系的度量,變量間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系的描述與測度相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗,變量間的關(guān)系,函數(shù)關(guān)系,是一一對應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個變量 x 和 y ，變量 y 隨變量 x 一起變化，并完全依賴于 x ，當(dāng)變量 x 取某個數(shù)值時， y 依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記為 y = f (x)，其中 x 稱為自變量，y 稱為因變量各觀測點落在一條線上,函數(shù)關(guān)系(幾個例子),? 函數(shù)關(guān)系的例子某種商品的銷售額(y)與銷

3、售量(x)之間的關(guān)系可表示為 y = px (p 為單價)圓的面積(S)與半徑之間的關(guān)系可表示為S=?R2 企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1) 、單位產(chǎn)量消耗(x2) 、原材料價格(x3)之間的關(guān)系可表示為y = x1 x2 x3,相關(guān)關(guān)系(correlation),變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達一個變量的取值不能由另一個變量唯一確定當(dāng)變量 x 取某個值時，變量 y 的取值可能有幾個各觀測點分布在直線周圍,相關(guān)關(guān)系(

4、幾個例子),? 相關(guān)關(guān)系的例子父親身高(y)與子女身高(x)之間的關(guān)系收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關(guān)系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、溫度(x3)之間的關(guān)系商品的消費量(y)與居民收入(x)之間的關(guān)系商品銷售額(y)與廣告費支出(x)之間的關(guān)系,相關(guān)關(guān)系(類型),相關(guān)關(guān)系的描述與測度(散點圖),散點圖(scatter diagram),散點圖(例題分析),【例】一家大型商業(yè)銀行在多個地區(qū)

5、設(shè)有分行，其業(yè)務(wù)主要是進行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、國家重點項目建設(shè)、固定資產(chǎn)投資等項目的貸款。近年來，該銀行的貸款額平穩(wěn)增長，但不良貸款額也有較大比例的提高，這給銀行業(yè)務(wù)的發(fā)展帶來較大壓力。為弄清楚不良貸款形成的原因，希望利用銀行業(yè)務(wù)的有關(guān)數(shù)據(jù)做些定量分析，以便找出控制不良貸款的辦法。下面是該銀行所屬的25家分行2002年的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù),散點圖(例題分析),散點圖(例題分析),相關(guān)關(guān)系的描述與測度(相關(guān)系數(shù)),相關(guān)系數(shù)(correlati

6、on coefficient),對變量之間關(guān)系密切程度的度量對兩個變量之間線性相關(guān)程度的度量稱為簡單相關(guān)系數(shù)若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為?若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，記為 r,相關(guān)系數(shù) (計算公式),? 樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式,或化簡為,相關(guān)系數(shù)(取值及其意義),r 的取值范圍是 [-1,1] |r|=1，為完全相關(guān)r =1，為完全正相關(guān)r =-1，為完全負正相關(guān) r =

7、0，不存在線性相關(guān)關(guān)系相關(guān) -1?r<0，為負相關(guān) 0<r?1，為正相關(guān) |r|越趨于1表示關(guān)系越密切；|r|越趨于0表示關(guān)系越不密切,相關(guān)系數(shù)(取值及其意義),r,相關(guān)系數(shù)(例題分析),用Excel計算相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗,相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗( r 的抽樣分布),1.r 的抽樣分布隨總體相關(guān)系數(shù)和樣本容量的大小而變化當(dāng)樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體時，隨著n的增大，r 的抽樣分布趨于正態(tài)分布，尤其是在總體

8、相關(guān)系?數(shù)很小或接近0時，趨于正態(tài)分布的趨勢非常明顯。而當(dāng)遠離0時，除非n非常大，否則r的抽樣分布呈現(xiàn)一定的偏態(tài)。當(dāng)?為較大的正值時，r 呈現(xiàn)左偏分布；當(dāng)?為較大的負值時，r 呈現(xiàn)右偏分布。只有當(dāng)?接近于0，而樣本容量n很大時，才能認為r是接近于正態(tài)分布的隨機變量,相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(檢驗的步驟),1.檢驗兩個變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系等價于對回歸系數(shù) b1的檢驗采用R.A.Fisher提出的 t 檢驗檢驗的步驟為提出

9、假設(shè)：H0：? ? ? ；H1： ? ? 0,計算檢驗的統(tǒng)計量：,確定顯著性水平?，并作出決策 若?t?>t???，拒絕H0 若?t?<t???，不拒絕H0,相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(例題分析),? 對不良貸款與貸款余額之間的相關(guān)系數(shù)進行顯著性檢(??0.05)提出假設(shè)：H0：? ? ? ；H1： ? ? 0計算檢驗的統(tǒng)計量,3. 根據(jù)顯著性水平?＝0.05，查t分布表得t???(n-2)=2.0687由于?t?=

10、7.5344>t???(25-2)=2.0687，拒絕H0，不良貸款與貸款余額之間存在著顯著的正線性相關(guān)關(guān)系,相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(例題分析),各相關(guān)系數(shù)檢驗的統(tǒng)計量,§11.2 一元線性回歸,一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計回歸直線的擬合優(yōu)度顯著性檢驗,什么是回歸分析？(Regression),從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對這些關(guān)系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的

11、諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預(yù)測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度,回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別,相關(guān)分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化相關(guān)分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機變量，自變量 x 可以是隨機變量，也可以是

12、非隨機的確定變量相關(guān)分析主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進行預(yù)測和控制,回歸模型的類型,一元線性回歸模型,一元線性回歸,涉及一個自變量的回歸因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系被預(yù)測或被解釋的變量稱為因變量(dependent variable)，用y表示用來預(yù)測或用來解釋因變量的一個或多個變量稱為自變量(independent variable)，用x

13、表示 因變量與自變量之間的關(guān)系用一條線性方程來表示,回歸模型(regression model),回答“變量之間是什么樣的關(guān)系？”方程中運用1 個數(shù)字的因變量(響應(yīng)變量)被預(yù)測的變量1 個或多個數(shù)字的或分類的自變量 (解釋變量)用于預(yù)測的變量3.主要用于預(yù)測和估計,一元線性回歸模型,描述因變量 y 如何依賴于自變量 x 和誤差項? 的方程稱為回歸模型一元線性回歸模型可表示為 y

14、 = b0 + b1 x + ey 是 x 的線性函數(shù)(部分)加上誤差項線性部分反映了由于 x 的變化而引起的 y 的變化誤差項 ? 是隨機變量反映了除 x 和 y 之間的線性關(guān)系之外的隨機因素對 y 的影響是不能由 x 和 y 之間的線性關(guān)系所解釋的變異性?0 和 ?1 稱為模型的參數(shù),一元線性回歸模型(基本假定),誤差項ε是一個期望值為0的隨機變量，即E(ε)=0。對于一個給定的 x 值，y 的期望值為E ( y )

15、=? 0+ ? 1 x對于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同誤差項ε是一個服從正態(tài)分布的隨機變量，且相互獨立。即ε~N( 0 ,σ2 )獨立性意味著對于一個特定的 x 值，它所對應(yīng)的ε與其他 x 值所對應(yīng)的ε不相關(guān)對于一個特定的 x 值，它所對應(yīng)的 y 值與其他 x 所對應(yīng)的 y 值也不相關(guān),回歸方程 (regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依賴于 x 的方程稱為回歸方程一元線性回歸方程的

16、形式如下 E( y ) = ?0+ ?1 x,方程的圖示是一條直線，也稱為直線回歸方程?0是回歸直線在 y 軸上的截距，是當(dāng) x=0 時 y 的期望值?1是直線的斜率，稱為回歸系數(shù)，表示當(dāng) x 每變動一個單位時，y 的平均變動值,估計的回歸方程(estimated regression equation),一元線性回歸中估計的回歸方程為,用樣本統(tǒng)計量 和 代替回歸方

17、程中的未知參數(shù) 和 ，就得到了估計的回歸方程,總體回歸參數(shù) 和 是未知的，必需利用樣本數(shù)據(jù)去估計,其中： 是估計的回歸直線在 y 軸上的截距， 是直線的斜率，它表示對于一個給定的 x 的值， 是 y 的估計值，也表示 x 每變動一個單位時， y 的平均變動值,參數(shù)的最小二乘估計,最小二乘估計,使因變量的觀察值與估計值之間的離差平方和達到最小來求得 和 的方法。即,用最小二乘法擬合的直線來代表x與y

18、之間的關(guān)系與實際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小,最小二乘估計(圖示),最小二乘法 ( 和 的計算公式),? 根據(jù)最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下,估計方程的求法(例題分析),【例】求不良貸款對貸款余額的回歸方程,回歸方程為：y = -0.8295 + 0.037895 x回歸系數(shù) =0.037895 表示，貸款余額每增加1億元，不良貸款平均增加0.037895億元,估計方程的求法(例題分析),

19、不良貸款對貸款余額回歸方程的圖示,用Excel進行回歸分析,第1步：選擇“工具”下拉菜單第2步：選擇“數(shù)據(jù)分析”選項第3步：在分析工具中選擇“回歸”，然后選擇“確定”第4步：當(dāng)對話框出現(xiàn)時 在“Y值輸入?yún)^(qū)域”方框內(nèi)鍵入Y的數(shù)據(jù)區(qū)域 在“X值輸入?yún)^(qū)域”方框內(nèi)鍵入X的數(shù)據(jù)區(qū)域 在“置信度”選項中給出所需的數(shù)值 在“輸出選項”中選

20、擇輸出區(qū)域 在“殘差”分析選項中選擇所需的選項用Excel進行回歸分析,回歸直線的擬合優(yōu)度,變差,因變量 y 的取值是不同的，y 取值的這種波動稱為變差。變差來源于兩個方面由于自變量 x 的取值不同造成的除 x 以外的其他因素(如x對y的非線性影響、測量誤差等)的影響對一個具體的觀測值來說，變差的大小可以通過該實際觀測值與其均值之差 來表示,變差的分解(圖示),,離差平方和的分解 (三個平方和的關(guān)

21、系),離差平方和的分解 (三個平方和的意義),總平方和(SST)反映因變量的 n 個觀察值與其均值的總離差回歸平方和(SSR)反映自變量 x 的變化對因變量 y 取值變化的影響，或者說，是由于 x 與 y 之間的線性關(guān)系引起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和殘差平方和(SSE)反映除 x 以外的其他因素對 y 取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和,判定系數(shù)r2 (coefficient of determ

22、ination),回歸平方和占總離差平方和的比例,反映回歸直線的擬合程度取值范圍在 [ 0 , 1 ] 之間 R2 ?1，說明回歸方程擬合的越好；R2?0，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝(r)2,判定系數(shù)r2 (例題分析),【例】計算不良貸款對貸款余額回歸的判定系數(shù)，并解釋其意義 判定系數(shù)的實際意義是：在不良貸款取值的變差中，有71.16%可以由不良貸款與貸款余額之間的線性關(guān)

23、系來解釋，或者說，在不良貸款取值的變動中，有71.16%是由貸款余額所決定的。也就是說，不良貸款取值的差異有2/3以上是由貸款余額決定的?？梢姴涣假J款與貸款余額之間有較強的線性關(guān)系,估計標(biāo)準誤差(standard error of estimate),實際觀察值與回歸估計值離差平方和的均方根反映實際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況對誤差項?的標(biāo)準差?的估計，是在排除了x對y的線性影響后，y隨機波動大小的一個估計量反映用估計的回歸方

24、程預(yù)測y時預(yù)測誤差的大小 計算公式為,注：例題的計算結(jié)果為1.9799,顯著性檢驗,線性關(guān)系的檢驗,檢驗自變量與因變量之間的線性關(guān)系是否顯著將回歸均方(MSR)同殘差均方(MSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗來分析二者之間的差別是否顯著回歸均方：回歸平方和SSR除以相應(yīng)的自由度(自變量的個數(shù)p) 殘差均方：殘差平方和SSE除以相應(yīng)的自由度(n-p-1),線性關(guān)系的檢驗 (檢驗的步驟),提出假設(shè)H0：?1=0 線性關(guān)系不顯著,2

25、. 計算檢驗統(tǒng)計量F,確定顯著性水平?，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度n-2找出臨界值F ?作出決策：若F>F ?,拒絕H0；若F<F ?,不拒絕H0,線性關(guān)系的檢驗 (例題分析),提出假設(shè)H0： ?1=0 不良貸款與貸款余額之間的線性關(guān)系不顯著計算檢驗統(tǒng)計量F,確定顯著性水平?=0.05，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度25-2找出臨界值F ?=4.28作出決策：若F>F ?,拒絕H0，線性關(guān)系顯著,線

26、性關(guān)系的檢驗 (方差分析表),Excel 輸出的方差分析表,回歸系數(shù)的檢驗,在一元線性回歸中，等價于線性關(guān)系的顯著性檢驗,檢驗 x 與 y 之間是否具有線性關(guān)系，或者說，檢驗自變量 x 對因變量 y 的影響是否顯著,理論基礎(chǔ)是回歸系數(shù) 的抽樣分布,回歸系數(shù)的檢驗(樣本統(tǒng)計量 的分布),是根據(jù)最小二乘法求出的樣本統(tǒng)計量，它有自己的分布 的分布具有如下性質(zhì)分布形式：正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準差：由于?未知，需用

27、其估計量sy來代替得到 的估計的標(biāo)準差,回歸系數(shù)的檢驗 (檢驗步驟),提出假設(shè)H0: b1 = 0 (沒有線性關(guān)系) H1: b1 ? 0 (有線性關(guān)系) 計算檢驗的統(tǒng)計量,確定顯著性水平?，并進行決策? t?>t???，拒絕H0；? t?<t???，不拒絕H0,回歸系數(shù)的檢驗 (例題分析),?對例題的回歸系數(shù)進行顯著性檢驗(?＝0.05)提出假設(shè)H0：b1 = 0 H1：b1 ? 0 計算檢

28、驗的統(tǒng)計量,t=7.533515>t???=2.201，拒絕H0，表明不良貸款與貸款余額之間有線性關(guān)系,回歸系數(shù)的檢驗 (例題分析),?P 值的應(yīng)用,P=0.000000<?=0.05，拒絕原假設(shè)，不良貸款與貸款余額之間有線性關(guān)系,Excel輸出的部分回歸結(jié)果,§11.3 利用回歸方程進行 估計和預(yù)測,點估計區(qū)間估計,利用回歸方程進行估計和預(yù)測,根據(jù)自變量 x 的取值估計或預(yù)

29、測因變量 y的取值估計或預(yù)測的類型點估計y 的平均值的點估計y 的個別值的點估計區(qū)間估計y 的平均值的置信區(qū)間估計y 的個別值的預(yù)測區(qū)間估計,點估計,點估計,2. 點估計值有y 的平均值的點估計y 的個別值的點估計在點估計條件下，平均值的點估計和個別值的的點估計是一樣的，但在區(qū)間估計中則不同,對于自變量 x 的一個給定值x0 ，根據(jù)回歸方程得到因變量 y 的一個估計值,y 的平均值的點估計,?利用估計的回歸方程，對于

30、自變量 x 的一個給定值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的一個估計值E(y0) ，就是平均值的點估計在前面的例子中，假如我們要估計貸款余額為100億元時，所有分行不良貸款的平均值，就是平均值的點估計 。根據(jù)估計的回歸方程得,y 的個別值的點估計,,?利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的一個給定值 x0 ，求出因變量 y 的一個個別值的估計值 ，就是個別值的點估計比如，如果我們只是想知道貸款余額為72.8億元的那個分行(這里

31、是編號為10的那個分行)的不良貸款是多少，則屬于個別值的點估計 。根據(jù)估計的回歸方程得,區(qū)間估計,區(qū)間估計,點估計不能給出估計的精度，點估計值與實際值之間是有誤差的，因此需要進行區(qū)間估計對于自變量 x 的一個給定值 x0，根據(jù)回歸方程得到因變量 y 的一個估計區(qū)間區(qū)間估計有兩種類型置信區(qū)間估計(confidence interval estimate)預(yù)測區(qū)間估計(prediction interval estimate),置信

32、區(qū)間估計,利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的一個給定值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的估計區(qū)間 ，這一估計區(qū)間稱為置信區(qū)間(confidence interval) E(y0) 在1-?置信水平下的置信區(qū)間為,式中：sy為估計標(biāo)準誤差,置信區(qū)間估計(例題分析),【例】求出貸款余額為100億元時，不良貸款95% 的置信區(qū)間 解：根據(jù)前面的計算結(jié)果，已知n=25，

33、 sy=1.9799，t???(25-2)=2.0687 置信區(qū)間為,當(dāng)貸款余額為100億元時，不良貸款的平均值在2.1141億元到3.8059億元之間,預(yù)測區(qū)間估計,利用估計的回歸方程，對于自變量 x 的一個給定值 x0 ，求出因變量 y 的一個個別值的估計區(qū)間，這一區(qū)間稱為預(yù)測區(qū)間(prediction interval) y0在1-?置信水平下的預(yù)測區(qū)間為,預(yù)測區(qū)間

34、估計(例題分析),【例】求出貸款余額為72.8億元時，不良貸款 95% 的置信區(qū)間 解：根據(jù)前面的計算結(jié)果，已知n=25， sy=1.9799，t???(25-2)=2.0687 置信區(qū)間為,貸款余額為72.8億元的那個分行，其不良貸款的預(yù)測區(qū)間在-2.2766億元到6.1366億元之間,影響區(qū)間寬度的因素,置信水平 (1 -

35、?)區(qū)間寬度隨置信水平的增大而增大數(shù)據(jù)的離散程度 (s)區(qū)間寬度隨離散程度的增大而增大3.樣本容量區(qū)間寬度隨樣本容量的增大而減小4.用于預(yù)測的 xp與?x的差異程度區(qū)間寬度隨 xp與?x 的差異程度的增大而增大,置信區(qū)間、預(yù)測區(qū)間、回歸方程,§11.4 殘差分析,用殘差證實模型的假定用殘差檢測異常值和有影響的觀測值,殘差(residual),因變量的觀測值與根據(jù)估計的回歸方程求出的預(yù)測值之差，用e表

36、示反映了用估計的回歸方程去預(yù)測而引起的誤差 確定有關(guān)誤差項?的假定是否成立 檢測有影響的觀測值,用殘差證實模型的假定,殘差圖(residual plot),表示殘差的圖形關(guān)于x的殘差圖關(guān)于y的殘差圖標(biāo)準化殘差圖用于判斷誤差?的假定是否成立 檢測有影響的觀測值,殘差圖(形態(tài)及判別),殘差圖(例題分析),,標(biāo)準化殘差(standardized residual),? 殘差除以它的標(biāo)準差后得到的數(shù)值。計算公式為

37、 ei是第i個殘差的標(biāo)準差，其計算公式為,標(biāo)準化殘差圖,? 用以直觀地判斷誤差項服從正態(tài)分布這一假定是否成立 若假定成立，標(biāo)準化殘差的分布也應(yīng)服從正態(tài)分布在標(biāo)準化殘差圖中，大約有95%的標(biāo)準化殘差在-2到+2之間,標(biāo)準化殘差圖(例題分析),,用殘差檢測異常值和有影響的觀測值,異常值(outlier),如果某一個點與其他點所呈現(xiàn)的趨勢不相吻合，這個點就有可能是異常點，或稱為野點如果異常值是一個錯誤的數(shù)據(jù)，比如記錄錯誤造成的，

38、應(yīng)該修正該數(shù)據(jù)，以便改善回歸的效果如果是由于模型的假定不合理，使得標(biāo)準化殘差偏大，應(yīng)該考慮采用其他形式的模型，比如非線性模型如果完全是由于隨機因素而造成的異常值，則應(yīng)該保留該數(shù)據(jù)在處理異常值時，若一個異常值是一個有效的觀測值，不應(yīng)輕易地將其從數(shù)據(jù)集中予以剔出,異常值(識別),異常值也可以通過標(biāo)準化殘差來識別如果某一個觀測值所對應(yīng)的標(biāo)準化殘差較大，就可以識別為異常值一般情況下，當(dāng)一個觀測值所對應(yīng)的標(biāo)準化殘差小于-2或大于+2時

39、，就可以將其視為異常值,有影響的觀測值,如果某一個或某一些觀測值對回歸的結(jié)果有強烈的影響，那么該觀測值或這些觀測值就是有影響的觀測值 一個有影響的觀測值可能是一個異常值，即有一個的值遠遠偏離了散點圖中的趨勢線對應(yīng)一個遠離自變量平均值的觀測值或者是這二者組合而形成的觀測值，,有影響的觀測值(圖示),,不存在影響值的趨勢,,不存在影響值的趨勢,存在影響值的趨勢,,,杠桿率點(ieverage point),如果自變量存在一個極端

40、值，該觀測值則稱為高杠桿率點(high ieverage point)在一元回歸中，第i個觀測值的杠桿率用hi表示，其計算公式為 如果一個觀測值的杠桿率 就可以將該觀測值識別為有高杠桿率的點 一個有高杠桿率的觀測值未必是一個有影響的觀測值，它可能對回歸直線的斜率沒有什么影響,高杠桿率點 (圖示),高杠桿率點,,本章小結(jié),變量間關(guān)系的度量回歸模型、回歸方程與估計的回歸方程回歸直線的擬合優(yōu)度回歸分析