醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)一元相關(guān)與回歸

1、基本內(nèi)容,,相關(guān)與回歸,第九章,用于研究和解釋變量之間相互關(guān)系的,掌握：積差相關(guān)等級(jí)相關(guān)線性回歸的概念線性回歸方程的計(jì)算回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)相關(guān)與回歸的區(qū)別與聯(lián)系了解：曲線擬合,教學(xué)目的和要求,重點(diǎn)講解積差相關(guān)等級(jí)相關(guān)線性回歸的概念回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)相關(guān)與回歸的區(qū)別與聯(lián)系介紹曲線擬合,教學(xué)內(nèi)容提要,第一節(jié) 兩變量相關(guān),,相關(guān)分析是研究客觀事物或現(xiàn)象之間關(guān)系的密切程度（不存在函數(shù)關(guān)系）。,線性相關(guān)是研究?jī)勺兞?/p>

2、之間是否存在線性關(guān)系。,為研究父親與成年兒子身高之間的關(guān)系，皮爾遜測(cè)量了1078對(duì)父子的身高。把1078對(duì)數(shù)字表示在坐標(biāo)上。X上的數(shù)代表父親身高，Y上的數(shù)代表兒子的身高。1078個(gè)點(diǎn)形成圖形是一個(gè)散點(diǎn)圖。,一、積差相關(guān),1、散點(diǎn)圖,一、積差相關(guān) 1、散點(diǎn)圖,2、 積差相關(guān)系數(shù),定量描述X與Y兩變量間直線相關(guān)方向和相關(guān)密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。,Pearson相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)，適用于x、y都服從正態(tài)分布（稱為雙變量正態(tài)分布）的資料。

3、,積差相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,,r 沒(méi)有單位取值范圍:-1≤r≤1,Lxy=∑XY- (∑X)(∑Y)/nLxx= ∑X2- (∑X)2/nLyy= ∑Y2- (∑Y)2/n,r的特點(diǎn)沒(méi)有單位-1≤ r ≤1 r=-1 完全負(fù)相關(guān)，-1≤ r ＜0 負(fù)相關(guān) r= 1 完全正相關(guān)， 0＜ r ≤1 正相關(guān) r= 0 零相關(guān),散點(diǎn)圖,【例9-1】一個(gè)產(chǎn)科醫(yī)師發(fā)現(xiàn)孕婦尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒的體重有關(guān)。于是設(shè)想，通過(guò)測(cè)量待產(chǎn)婦尿中雌三醇

4、含量，可以預(yù)測(cè)產(chǎn)兒體重，以便對(duì)低出生體重進(jìn)行預(yù)防。因此收集了31例待產(chǎn)婦24小時(shí)的尿，測(cè)量其中的雌三醇含量，同時(shí)記錄產(chǎn)兒的體重。問(wèn)尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒體重之間是否存在相關(guān)關(guān)系？是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？,,3、積差相關(guān)分析,13,待產(chǎn)婦尿雌三醇含量與產(chǎn)兒體重關(guān)系,,,,1)繪制散點(diǎn)圖,2)積差相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,∑X=534；∑Y=99.2；∑X2=9876 ∑Y2=324.8；∑XY=1750；,3) 相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),上例中r =0.6

5、1，說(shuō)明了31例樣本中雌三醇含量與出生體重之間存在相關(guān)關(guān)系。但是，這31例只是總體中的一個(gè)樣本，由此得到的相關(guān)系數(shù)會(huì)存在抽樣誤差。?=0時(shí)，由于抽樣誤差，可能導(dǎo)致r≠0。對(duì)r進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷r ≠0是由于抽樣誤差所致，還是兩個(gè)變量之間確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系。,3) 相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),,總體相關(guān)系數(shù)ρ=0表示總體中兩變量x和y無(wú)直線相關(guān)關(guān)系,,r 的標(biāo)準(zhǔn)誤為sr＝,,,用r和自由度v＝n-2，查附表18，相關(guān)系數(shù)界值表,H0：ρ=0

6、 H1：ρ≠0 ν= n-2=31-2=29查附表7， t0.0005/2,28=3.9351， t0.0002/2,28=4.2754， 0.0002＜ P＜0.0005，拒絕H0，接受H1，認(rèn)為待產(chǎn)婦尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒體重之間有正相關(guān)關(guān)系。,第二節(jié) 直線回歸

7、,一、回歸方程二、回歸系數(shù)三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)四、直線回歸的應(yīng)用,一個(gè)人的快樂(lè)，不是因?yàn)樗麚碛械亩?，而是因?yàn)樗?jì)較的少,休息,二、等級(jí)相關(guān)（秩相關(guān)）,①不服從正態(tài)分布的資料；②總體分布類型不知的資料；③用等級(jí)或相對(duì)數(shù)表示的資料；④數(shù)據(jù)一端或兩端有不確定值的資料 用等級(jí)相關(guān)（或稱秩相關(guān)）分析（屬非參數(shù)統(tǒng)計(jì)法）。,秩相關(guān)系數(shù),Spearman相關(guān)系數(shù)（rs）Kendall相關(guān)系數(shù)（rk）,,用等級(jí)相關(guān)系數(shù)表示兩個(gè)變

8、量間直線關(guān)系密切程度和方向。,先分別將兩個(gè)變量按原始數(shù)值由小到大編秩（遇相同觀察值時(shí)取平均秩），計(jì)算每對(duì)觀察值的秩之差d。,n為對(duì)子數(shù)；d為配對(duì)秩次之差；Tx（或Ty）＝Σ(tj3－tj)/12；tj為x（或y）中第j個(gè)相同秩次的個(gè)數(shù)。查附表19確定P的大小。,1）Spearman相關(guān)系數(shù)（rs）,【例9-2】 12名2~7歲急性白血病患兒的血小板數(shù)與出血癥狀資料見(jiàn)下表，分析兩者之間有無(wú)直線關(guān)系：,H0：ρ＝0，H1：ρ≠0,查統(tǒng)計(jì)用

9、附表19，r0.05/2 (12)＝0.587，P＞0.05不能以?＝0.05水準(zhǔn)拒絕H0，不能認(rèn)為2～7歲急性白血病患兒的血小板數(shù)與出血癥狀之間有直線相關(guān)關(guān)系。,2）Kendall相關(guān)系數(shù),在X的秩從小到大排列后，計(jì)算配對(duì)的Y每個(gè)秩下面更大者的個(gè)數(shù)，合計(jì)值記為S，計(jì)算rK并在相同秩次較多時(shí)校正：,,其中，n為對(duì)子數(shù)，Ux或Uy＝∑(tj2－tj)/2，tj為第j個(gè)相同秩次的個(gè)數(shù)。查附表20確定P的大小。,三、相關(guān)系數(shù)應(yīng)用注意事項(xiàng)

10、有實(shí)際意義在兩個(gè)變量的變化范圍內(nèi)進(jìn)行相關(guān)不是因果關(guān)系，但可做為進(jìn)一步考證有無(wú)因果關(guān)系的基礎(chǔ),四、直線相關(guān)的應(yīng)用,一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)n>100，并對(duì)r進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義時(shí)：∣r∣＞0.7，則表示兩個(gè)變量高度相關(guān)；0.4＜∣r∣≤0.7時(shí)，則表示兩個(gè)變量之間中度相關(guān)；0.2＜∣r∣≤0.4時(shí)，則兩個(gè)變量低度相關(guān)。,,待產(chǎn)婦尿中雌三醇含量和產(chǎn)兒體重之間成正相關(guān)。那么，如果我們知道了一位待產(chǎn)婦的尿雌三醇含量，能推斷出產(chǎn)兒的體重

11、嗎？或產(chǎn)兒的體重可能在什么范圍內(nèi)呢？身高與體重之間也成正相關(guān)關(guān)系。那么，身高每增加1厘米，體重增加多少克呢？上面的相關(guān)關(guān)系分析不能提供給我們需要的答案。這些要用直線回歸的方法來(lái)解決。,某保險(xiǎn)公司承保汽車5萬(wàn)量，平均每量保費(fèi)收入為1000元，則該保險(xiǎn)公司汽車承?？偸杖霝?000萬(wàn)元。 承?？偸杖耄?Y 承保汽車量數(shù)： X Y=1000X X與Y兩

12、個(gè)變量間完全表現(xiàn)為一種確定性關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系。,第二節(jié) 一元回歸,銀行的1年期存款利息年息為2.25%，存入的本金用X表示，到期的本息用Y表示，則 Y=X+2.25%X 這里Y與X仍表現(xiàn)為一種線性函數(shù)關(guān)系。,另外一種情況： 兩事物之間有著密切的聯(lián)系，但密切的程度并沒(méi)有達(dá)到由一個(gè)可以完全

13、確定另一個(gè)的程度。例如： ?生長(zhǎng)發(fā)育階段動(dòng)物體重增量與食量 ? 廣告費(fèi)支出與商品銷售額,由于其它因素的干擾，許多雙變量之間的關(guān)系并不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，不能用函數(shù)方程反映，為了區(qū)別于兩變量間的函數(shù)方程，我們稱這種關(guān)系式為一元回歸方程，這種關(guān)系為一元回歸。,第二節(jié) 一元回歸,一、直線回歸分析,繪制散點(diǎn)圖求直線回歸方程繪制回歸直線回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),用直線方程描述兩個(gè)變量間的數(shù)量依存關(guān)系。,① 一般

14、形式： a:截距 b：回歸系數(shù)（回歸直線斜率）,1. 直線回歸方程的求法,b>0 x↑ y↑；b<0 x↑ y↓ b：意義為x每變化一個(gè)單位，y變化的平均值 x：自變量，要求容易測(cè)定、容易控制 ：y 的估計(jì)值，y稱因變量，要求在不同的x的 時(shí)候其分布為正態(tài)分布,②a、b的計(jì)算（用最小二乘法原理估計(jì)b)

15、n：對(duì)子數(shù)（數(shù)據(jù)對(duì)）,剩余誤差，殘差：各實(shí)測(cè)值y至回歸直線縱向距離。剩余平方和或殘差平方和最小。,SSe＝Σ( y- )2,SS總= SSR +SSe,決定系數(shù)（determining coefficient，R2）：回歸平方和在總平方和中所占的比例。,R2 = SS回 /SS總,R2是評(píng)價(jià)回歸強(qiáng)度的一個(gè)重要指標(biāo)。 0≤R2 ≤ 1， → 1，回歸效果越好，強(qiáng)度↑。 臨床研究中，R2≥0.7認(rèn)為回歸效果不

16、錯(cuò)。,2. 回歸方程擬合效果評(píng)價(jià)（決定系數(shù)）,,,(1) 繪制散點(diǎn)圖(2) 求直線回歸方程,(3)繪制回歸直線,在自變量的變化范圍內(nèi)選兩點(diǎn)做直線 （0，a）（X，Y）這兩點(diǎn)可以用來(lái)核對(duì)圖線繪制是否正確。,,,例題中得到的直線回歸方程一定經(jīng)過(guò)（0，2.15）（17.23，3.2）兩點(diǎn)。,直線回歸方程從樣本資料計(jì)算而得，有抽樣誤差。需要對(duì)樣本的回歸系數(shù)b進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以判斷b是否從回歸系數(shù)為零的總體中抽得?？?/p>

17、體的回歸系數(shù)一般用β表示。,是否能說(shuō)明雌三醇與產(chǎn)兒體重之間一定存在回歸關(guān)系？,t-檢驗(yàn)　　H0：β=0 （直線回歸方程不成立） 　　H1：β≠0 （直線回歸方程成立）,進(jìn)行β=0的假設(shè)檢驗(yàn)（即Ｘ與Ｙ間無(wú)直線回歸關(guān)系）　　t 檢驗(yàn)或Ｆ檢驗(yàn)　　相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)代替,(4) 回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),υ=n-2,H0：β=0H1：β≠0 α=0.05,,υ=31-2=29,查表 t0.0005/2,28=3.9351，

18、P＜0.0005拒絕H0，接受H1，認(rèn)為待產(chǎn)婦尿中雌三醇含量與產(chǎn)兒體重之間存在直線回歸關(guān)系。,二、直線回歸方程的應(yīng)用,估計(jì):描述兩變量間的依存關(guān)系 通過(guò)回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，若認(rèn)為兩變量之間存在直線回歸關(guān)系，則可用直線回歸來(lái)描述。 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)把自變量代入回歸方程，對(duì)應(yīng)變量進(jìn)行估計(jì)。例如，已知某待產(chǎn)婦的尿雌三醇濃度，估計(jì)產(chǎn)兒的體重范圍。利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制胰島素與血糖制定正常值范圍血細(xì)胞,

19、血紅蛋白等,三、曲線擬合,對(duì)呈曲線關(guān)系的資料，可用散點(diǎn)圖分析曲線的類型，建立曲線回歸方程。常用曲線的類型：對(duì)數(shù)： ＝a＋blnX 指數(shù)：ln ＝a＋bX 冪函數(shù)：ln ＝a＋blnX Logistic：,,四、相關(guān)與回歸分析注意事項(xiàng),1. 實(shí)際意義 進(jìn)行相關(guān)回歸分析要有實(shí)際意義，不可把毫無(wú)關(guān)系的兩個(gè)事物或現(xiàn)象用來(lái)作相關(guān)回歸分析。 2. 相關(guān)關(guān)系 相

20、關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，并不能證明事物間有內(nèi)在聯(lián)系。例如，同一父母生的兄弟，往往哥高弟也高，這主要與遺傳因素及生活條件相關(guān)，而不能說(shuō)哥高是弟高的原因。但如果事物之間存在因果關(guān)系，則兩者必然是相關(guān)的。,3.利用散點(diǎn)圖 對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先做散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系、關(guān)系的密切程度、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。4.變量范圍 相關(guān)分析和回歸方程僅適用于樣本的原始

21、數(shù)據(jù)范圍之內(nèi)，出了這個(gè)范圍，我們不能得出兩變量的相關(guān)關(guān)系和原來(lái)的回歸關(guān)系。,資料要求直線回歸要求應(yīng)變量Y是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，X是可以精確測(cè)量和嚴(yán)格控制的變量，一般稱為I型回歸；直線相關(guān)要求X和Y服從雙變量正態(tài)分布，二者間若進(jìn)行回歸分析，則稱為II型回歸。參與相關(guān)分析的兩個(gè)變量無(wú)主次之分，參與回歸分析的兩個(gè)變量則有自變量和應(yīng)變量之分。,★五、相關(guān)與回歸的區(qū)別,應(yīng)用說(shuō)明兩變量間的關(guān)聯(lián)關(guān)系用相關(guān)分析；說(shuō)明兩者數(shù)量上的依存關(guān)系則用回

22、歸分析。意義b表示X每改變一個(gè)單位，Y平均改變b個(gè)單位；r說(shuō)明具有線性關(guān)聯(lián)的兩個(gè)變量間關(guān)系的密切程度和相關(guān)方向。 r的絕對(duì)值越大，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)越趨向于一條直線，表明兩變量的關(guān)系越密切，相關(guān)程度越高。b的絕對(duì)值越大，回歸直線越陡，說(shuō)明當(dāng)X變化一個(gè)單位時(shí)，Y的平均變化就越大。,★五、相關(guān)與回歸的區(qū)別,計(jì)算方法取值范圍單位 r無(wú)量綱；b有量綱。,★五、相關(guān)與回歸的區(qū)別,六、相關(guān)與回歸的聯(lián)系,關(guān)系： 　

23、 能進(jìn)行回歸分析的變量之間存在相關(guān)關(guān)系。所以，對(duì)于兩組新數(shù)據(jù)（兩個(gè)變量）可先做散點(diǎn)圖，求出它們的相關(guān)系數(shù)，對(duì)于確有相關(guān)關(guān)系的變量再進(jìn)行回歸分析，求出回歸方程。,六、相關(guān)與回歸的聯(lián)系,相關(guān)系數(shù)r與回歸系數(shù)b ： １）r與b的符號(hào)一致。r為正時(shí)，b也為正，表示兩變量是正相關(guān)，是同向變化。r為負(fù)時(shí)，b也為負(fù)，表示兩變量是負(fù)相關(guān)，是反向變化?！。玻﹔與b的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果一致 ，可用r的顯著檢驗(yàn)代替b的顯著性檢驗(yàn)?！。常┮阎獂、y的標(biāo)