力學數(shù)學預備知識微積分與矢量

1、1,微積分學概要,微積分學是微分學和積分學的總稱。它是一種數(shù)學思想，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分。 十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學家都參加過準備的工作，分別獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，但是理論基礎是不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進行演算，所以，直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實數(shù)理論，這門學科才得以嚴密化。,牛頓,

2、2,極 限,極限——對 y = f (x) ，若 x 無限趨近某一數(shù)值x0 ，f (x) 則無限趨近某一確定數(shù)值a，則a就是函數(shù)f (x)在x趨近x0時的極限，記作：,3,若函數(shù) y = f (x) 在某一區(qū)間內各點均可導，則其導數(shù) f' (x) 也是自變量 x 的函數(shù)，稱為導函數(shù)。導函數(shù) f'(x) 對 x 的導數(shù)叫做 y 對 x 的二階導數(shù)，定義為：,函數(shù)y=f(x)對自變量x的導數(shù)， 就是y對x的變化率，定

3、義為：,導 數(shù),4,微 分,若函數(shù)y = f(x)在點x處可導, 則導數(shù)f ’(x)與自變量增量dx（稱為：自變量的微分）的乘積，就叫做函數(shù) y = f(x) 在點 x 處的微分（稱為：函數(shù)的微分） ，記作： dy = f '(x)dx,函數(shù)一階導數(shù)對應的微分稱為一階微分；一階微分 的微分稱為二階微分；二階微分及以上的微分稱為 高階微分。,5,極值點的充要條件是在該點

4、的一階導數(shù)為零，且在該點兩側的導數(shù)值異號。因此，令 f'(x) = 0 即可求出極值點x0若 f"(x0) ＜ 0，則為極大值點 若 f"(x0) ＞ 0，則為極小值點,函數(shù)的極值點和極值,,6,導數(shù)的運算,導數(shù)定義給出了求導方法例如，求 y = x2 的導數(shù)：,7,基本函數(shù)的求導公式,8,⑴ (u±v)' = u' ±v' ⑵ (uv)' = u

5、' v + v' u ⑶ (u/v)' = (u' v - v' u)/v2 ⑷ 設 y = f(x) 的反函數(shù)為 x = φ(y) 則 φ'(y) = 1/ f '(x) ⑸ 復合函數(shù)的導數(shù) 設y = f(u) , u = φ(x)，則 （連鎖律）,導數(shù)的基本運算法則,9,例 題,10,導數(shù)的應用,質點

6、沿x軸作直線運動的速度：,質點沿x軸作直線運動的加速度：,電流強度：,11,不定積分,1、不定積分的定義 若 F ’ (x) = f(x)，則 [F(x) + c]’ = f(x)，F(xiàn)(x) + c 就叫做 f(x) 的原函數(shù)，有無窮多個；函數(shù) f(x) 的所有原函數(shù)，就叫 f(x) 的不定積分，記為：∫f(x)dx = F(x) + c 。 其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分

7、變量，f(x)dx叫做被積式，c叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分。（積分是微分的逆運算，即知道了導函數(shù)，求原函數(shù)）,12,不定積分...,2、性質 ⑴ (∫f(x)dx )' = f(x) (先積后導等于自身) ⑵ ∫f '(x)dx = f(x) + c (先導后積等于自身加上任意常數(shù)),13,基本積分公式,⒈∫adx = ax + c

8、 ∫af(x)dx = a∫f(x) dx ⒉∫(u±v)dx =∫udx±∫vdx ⒊∫xndx = xn+1/(n+1) + c (n≠-1) ∫x-1dx=lnx+c⒋∫axdx = ax/lna + c ∫exdx = ex+ c ⒌∫sinxdx = - cosx + c ⒍∫cosxdx = sinx + c ⒎∫sec2xdx = tgx +

9、 c ⒏∫csc2xdx = - ctgx + c,14,換元積分法與分部積分法,換元積分法 適當變換積分變量，把被積表達式化成基本積分公式中的形式（又稱湊積分）,15,換元積分法與分部積分法…,分部積分法 其基本思路是將不易求得結果的積分形式，轉化為等價的但易于求出結果的積分形式。 d(uv) = (uv)' dx = u' vdx + v

10、9; udx = vdu + udv 兩邊同時積分，得： uv = ∫vdu + ∫udv 則∫udv = uv - ∫vdu,16,分部積分法…,例題⑴ ∫xexdx = ∫xdex = xex - ∫exdx = xex – ex + c ⑵ ∫lnx dx = x

11、lnx - ∫xdlnx = x lnx - ∫dx = x lnx - x + c,17,不定積分的應用,已知加速度求速度已知速度求位矢（或運動學方程）（見教材P36—37）,18,定積分,⒈定積分概念 設函數(shù) y = f(x) 在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，把 [a,b]分成寬為Δx的 n個小區(qū)間，當 n→∞ 時，的極限叫函數(shù) y =

12、 f(x)在區(qū)間 [a,b] 上的定積分，記作：,定積分的幾何意義為曲邊梯形的面積。,19,定積分的主要性質,20,牛頓—萊布尼茨公式,設F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù),即F'(x)=f(x), 則,稱為牛頓—萊布尼茨公式（可以證明）。,牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。,21,牛頓—萊布尼茨公式…,例題：,22,定積分的應用,計算

13、平面幾何圖形的面積計算立體的體積計算曲線的弧長變力的沖量質心計算變力做功轉動慣量,23,矢量的概念,矢量的初步概念 既有大小又有方向，且加法遵從幾何法則的量叫矢量 ，用黑體字母或帶箭頭的字母表示：A, 。矢量的大小又叫矢量的模，用 或A 表示。模等于1 的矢量叫單位矢量，用 表示。在直角坐標系中，沿 x、y、z軸的單位矢量，分別用 表示。矢量具有平移

14、不變性：矢量的平動既不改變矢量的量值，也不改變矢量的方向。,24,矢量的幾何描述,矢尾,矢端,25,矢量的加法與減法,⒈矢量加法可用平行四邊形法則、三角形法則 、多邊形法則⒉矢量減法 用三角形法則求矢量相減最方便，注意：差矢量方向是由減矢量末端指向被減矢量末端,26,矢量的正交分解,矢量的加減在直角坐標系中表示為：,27,矢量乘法,矢量的數(shù)乘 ⒈定義：矢量 與實數(shù)m的乘積m 仍然是矢量，大小是 的|m|倍，方

15、向與 的方向相同或者相反，取決于m的正負。⒉性質：,28,矢量的標積（點乘積）,⒊標積的分量表示,29,矢量標積應用,功的定義功率的定義,30,矢量的矢積（叉乘積）,方法：伸開右手，除拇指外的四指并攏、沿 的方向伸出，并從 經(jīng)小于180°的角向 彎曲，則與四指垂直的拇指的方向即為 的方向。,31,矢量的矢積（叉乘積）…,32,矢積的分量表示,33,矢量矢積應用,力矩的定義角動量的

16、定義洛倫茲力的定義,34,三個矢量的混合積,35,雙重矢積,36,矢量的非法運算,37,矢量函數(shù)（矢函）,一個矢量在某一過程中，若大小、方向都不發(fā)生變化，則為恒矢量；反之則為變矢量，可有三種情況：大小、方向均變化；大小變化，方向不變；大小不變，方向變化。 說一個變矢量 是標量 t 的矢函，意味著對應 t 的每一個數(shù)值，變矢 都存在一個確定的矢量與之對應，記為：分量表示：,38,矢量函數(shù)的導數(shù),⒈矢量函數(shù)導數(shù)的定義,3