《數(shù)學(xué)史》微積分的創(chuàng)立

1、第6章 微積分的創(chuàng)立,,,如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹(shù)，那么初等數(shù)學(xué)是樹(shù)的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹(shù)枝，而樹(shù)干的主要部分就是微積分． 微積分堪稱(chēng)是人類(lèi)智慧最偉大的成就之一．,微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過(guò)來(lái)廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作 者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。,微積分產(chǎn)生的社會(huì)背景和數(shù)學(xué)淵源,微積分誕生在17世紀(jì)，主要來(lái)自政治，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的巨大

2、推動(dòng)。,15世紀(jì)，商業(yè)、航海、天文、測(cè)量等日益繁榮:,流體力學(xué)、天文學(xué)、幾何光學(xué)、天文儀器的發(fā)展。,數(shù)學(xué)家面臨問(wèn)題：,求面積，求體積，求速度，求加速度，求行程等,古時(shí)中國(guó)劉徽、祖沖之的割圓術(shù)求 和希臘阿基米德等窮竭法求圓面積等，出現(xiàn)了極限和無(wú)窮小思想。,阿基米德的平衡法,先把面積或體積分成很多窄的平行條或薄的平行層。進(jìn)而假設(shè)把這些薄片掛在杠桿的一端，使它們平衡于容積和重心都為已知的一個(gè)圖形，而且已知圖形的面（體）積一般都是容易

3、求得的。,微積分的創(chuàng)立,微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追溯到古代．面積和體積的計(jì)算自古以來(lái)一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希臘、中國(guó)和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無(wú)窮小過(guò)程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長(zhǎng)的例子．他們的工作，確實(shí)是人們建立一般積分學(xué)的漫長(zhǎng)努力的先驅(qū)．,與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚得多．刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問(wèn)題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問(wèn)題．,微積分的萌芽,微積分的產(chǎn)生是數(shù)

4、學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過(guò)來(lái)廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作 者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。 微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱(chēng)，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期。早在古希臘時(shí)期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國(guó)莊子的《天下篇》中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)提出了 “ 割圓術(shù) ” ，用正多邊形

5、來(lái)逼近圓周。這是極限論思想的成功運(yùn)用。 積分概念是由求某些面積、體積和弧長(zhǎng)引起的，古希臘數(shù)學(xué)家要基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，人沒(méi)有用極限，是 “ 有限 ” 開(kāi)工的窮竭法。但阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽。,6.1 半個(gè)世紀(jì)的醞釀,近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這半個(gè)世紀(jì)．,△1608年，伽利略制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡。,△1619年，開(kāi)普勒公布了他的最后一條行星運(yùn)動(dòng)定律．,,,伽利略(Gali

6、leo Galilei, 1564–1642) 伽利略1564年生于意大利的比薩，1581年入比薩大學(xué)攻讀醫(yī)學(xué)．他是世界著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)現(xiàn)代科學(xué)思想的發(fā)展作出重大貢獻(xiàn)．他是最早用望遠(yuǎn)鏡觀察天體的天文學(xué)家，曾用大量事實(shí)證明地球環(huán)繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，否定地心說(shuō)．,伽利略,1632年，發(fā)表《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話》，大力支持和闡釋哥白尼的地動(dòng)說(shuō)，因此受到教會(huì)的痛恨．1633年羅馬教廷宗教裁判所對(duì)他進(jìn)行

7、了審判，并處以八年軟禁． 伽利略在科學(xué)史上具有不朽的地位，他的貢獻(xiàn)是劃時(shí)代的，他認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的核心意義，用數(shù)學(xué)公式去表達(dá)物理定律． 1642年1月8日，伽利略在阿切特里去世，享年78歲．1983年，羅馬教廷正式承認(rèn)，350年前宗教裁判所對(duì)伽利略的審判是錯(cuò)誤的．,,,開(kāi)普勒(Kepler Johannes, 1571–1630) 開(kāi)普勒1571年12月27日生于德國(guó)的魏爾，1630年11月15日卒

8、于雷根斯堡．他是德國(guó)天文學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家．行星三大定律的發(fā)現(xiàn)者，近代光學(xué)的奠基人． 他自幼體弱多病，但智力超群．1587年進(jìn)圖賓根大學(xué)，次年得學(xué)士學(xué)位．1600年到布拉格的貝納泰克的天文臺(tái)任第谷的助手．第二年第谷去世，開(kāi)普勒受聘為皇家數(shù)學(xué)家．,,,第谷是望遠(yuǎn)鏡發(fā)明以前的最后一位偉大的天文學(xué)家，也是世界上前所未有的最仔細(xì)、最準(zhǔn)確的觀察家，因此他的記錄具有十分重大的價(jià)值。 作為第谷的接班人，開(kāi)普勒認(rèn)真地

9、研究了第谷多年對(duì)行星進(jìn)行仔細(xì)觀察所做的大量記錄。,,,就在找到基本的解決辦法后，開(kāi)普勒仍不得不花費(fèi)數(shù)月的時(shí)間來(lái)進(jìn)行復(fù)雜而冗長(zhǎng)的計(jì)算，以證實(shí)他的學(xué)說(shuō)與第谷的觀察相符合。他在1609年發(fā)表的偉大著作《新天文學(xué)》中提出了他的前兩個(gè)行星運(yùn)動(dòng)定律。十年后開(kāi)普勒發(fā)表了他的行星運(yùn)動(dòng)第三定律 。,經(jīng)過(guò)多年煞費(fèi)苦心的數(shù)學(xué)計(jì)算，開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)第谷的觀察與當(dāng)時(shí)的各種學(xué)說(shuō)都不符合 ，最終開(kāi)普勒認(rèn)識(shí)到了所存在的問(wèn)題：他與第谷、拉格茨·哥白尼以及所有的經(jīng)典天

10、文學(xué)家一樣，都假定行星軌道是由圓或復(fù)合圓組成的。但是實(shí)際上行星軌道不是圓形而是橢圓形。,開(kāi)普勒,1609年，他在《新天文學(xué)》和《宇宙和諧》兩部著作中提出了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，為日后牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律奠定了基礎(chǔ)． 開(kāi)普勒在極度貧苦中去世，在他的墓碑上刻著他自己寫(xiě)的墓志銘：我曾觀測(cè)蒼穹，今又度量大地． 靈魂遨游太空，身軀化為塵泥．,開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律要意是：,I

11、．行星運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，太陽(yáng)位于該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；,,,Ⅱ．由太陽(yáng)到行星的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等；,,,Ⅲ．行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長(zhǎng)軸 的立方成正比．,從數(shù)學(xué)上推證開(kāi)普勒的經(jīng)驗(yàn)定律，成為當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題之一．,1638年，伽利略(Galileo Galilei，1564—1642)《關(guān)于兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話》出版．伽利略建立了自由落體定律、動(dòng)量定律等，為動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識(shí)到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮

12、彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45’時(shí)達(dá)到，等等．,凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來(lái)在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開(kāi)始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問(wèn)題空前地成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)：,◆確定非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度與加速度使瞬時(shí)變化率問(wèn)題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；,◆望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)需要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線，這又使求任意曲線的切線問(wèn)題變得不可回避；,◆確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)等涉

13、及的函數(shù)極大值、極小值問(wèn)題也亟待解決．,◆行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過(guò)的面積以及物體重心與引力的計(jì)算等又使積分學(xué)的基本問(wèn)題——面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力計(jì)算的興趣被重新激發(fā)起來(lái)．,微分學(xué)的基本問(wèn)題,(一)開(kāi)普勒與旋轉(zhuǎn)體體積,德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒(Johannes Kepler，1571—1630)在1615年發(fā)表《測(cè)量酒桶的新立體幾何》，論述了求圓錐曲線圍繞其所在平面上某直線旋轉(zhuǎn)而成的立體體積的積分法．,開(kāi)普勒方法的要旨

14、，是用無(wú)數(shù)個(gè)同維無(wú)限小元素之和來(lái)確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積．例如他認(rèn)為球的體積是無(wú)數(shù)個(gè)小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點(diǎn)在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤(pán)之和，并由此計(jì)算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之— ( )·,(二)卡瓦列里不可分量原理,意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(Bonaventura Cavali

15、eri，1598—1647)在其著作《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》(1635)中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法．,卡瓦列里認(rèn)為線是由無(wú)限多個(gè)點(diǎn)組成；面是由無(wú)限多條平行線段組成；立體則是由無(wú)限多個(gè)平行平面組成．他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”(indivisible)．,卡瓦列里原理：,兩個(gè)等高的立體，如果它們的平行于底面且離開(kāi)底面有相等距離的截面面積之間總有給定的比，那么這兩個(gè)立體的體積之間也有同樣的比．,第一原理:有兩個(gè)

16、平面片處于兩條平行線之間，在這兩個(gè)平面片內(nèi)作任意平行于這兩條平行線的直線，如果它們被平面片所截得的線段長(zhǎng)度相等，則這兩個(gè)平面片的面積相等,第二原理：有兩個(gè)立體處于兩個(gè)平行平面之間，在這兩個(gè)平行平面之間作任意平行于這兩個(gè)平面的平面，如果它們被立體所截得的面積相等，則這兩個(gè)立體的體積相等。,卡瓦列里利用這條原理計(jì)算出許多立體圖形的體積．然而他對(duì)積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于，他后來(lái)(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等價(jià)于下列積分,的基

17、本結(jié)果，使早期積分學(xué)突破了體積計(jì)算的現(xiàn)實(shí)原型而向一般算法過(guò)渡．,,,,,,卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括開(kāi)普勒所使用的方法更接近于普遍的積分學(xué)算法，因而也具有更大的威力．開(kāi)普勒曾向他的同行們提出一個(gè)挑戰(zhàn)問(wèn)題：求拋物線弓形繞弦旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積．卡瓦列里用自己的方法解決了開(kāi)普勒的問(wèn)題．,(三)笛卡兒“圓法”,以上介紹的微積分準(zhǔn)備階段的工作，主要采用幾何方法并集中于積分問(wèn)題．解析幾何的誕生改變了這一狀況．解析幾何的兩位創(chuàng)始人笛卡兒和

18、費(fèi)馬，都是將坐標(biāo)方法引進(jìn)微分學(xué)問(wèn)題研究的前鋒．,笛卡兒在《幾何學(xué)》(1637)中提出了求切線的所謂“圓法”，本質(zhì)上是一種代數(shù)方法．,求曲線過(guò)點(diǎn) 的切線，笛卡兒的方法是首先確定曲線 在點(diǎn)P處的法線與x軸的交點(diǎn)C的位置，然后作該法線的過(guò)點(diǎn)P的垂線，便可得到所求的切線．,笛卡兒的代數(shù)方法在推動(dòng)微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分

19、的道路的．,,,費(fèi)馬(Fermat, P.1601—1665) 費(fèi)馬1601年生于法國(guó)南部圖魯斯附近的波蒙，父親是個(gè)商人，費(fèi)馬從小就受到良好的家庭教育．他在大學(xué)攻讀法律，畢業(yè)后當(dāng)了律師．費(fèi)馬結(jié)交了不少數(shù)學(xué)高手和哲學(xué)家，參加聚會(huì)，討論科學(xué)、研究數(shù)學(xué)，還經(jīng)常和友人通信交流數(shù)學(xué)研究工作的信息，但對(duì)發(fā)表著作非常淡漠． 費(fèi)馬在世時(shí)，沒(méi)有完整的著作問(wèn)世．當(dāng)他去世后，他的兒子將費(fèi)馬的筆記、批注及書(shū)信加以整理匯成《數(shù)學(xué)論集》

20、在圖魯斯出版． 費(fèi)馬為解析幾何與微積分的創(chuàng)立作出了實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)．從費(fèi)馬與羅伯瓦、帕斯卡的通信中可以看出，他在笛卡爾《幾何學(xué)》發(fā)表前至少８年就已相當(dāng)清晰地掌握了解析幾何一些基本原理。,,,費(fèi)馬也是微積分的先驅(qū)者，牛頓曾坦率地說(shuō)：“我從費(fèi)馬的切線作法中得到了這種方法的啟示、我推廣了它，把它直接并且反過(guò)來(lái)應(yīng)用于抽象方程上． 費(fèi)馬還開(kāi)創(chuàng)了近代數(shù)論的研究．他指出對(duì)數(shù)的性質(zhì)的研究應(yīng)當(dāng)有獨(dú)自的園地──（整）數(shù)論．同時(shí)，費(fèi)

21、馬認(rèn)為在數(shù)論中素?cái)?shù)的研究非常重要，因?yàn)閿?shù)論中的大量問(wèn)題都與素?cái)?shù)有關(guān)． 在這方面的研究成果是費(fèi)馬在數(shù)學(xué)許多部門(mén)中最為突出的，其中最為著名是“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”，值得一提的是，300多年來(lái)“費(fèi)馬大定理”一直困擾著數(shù)學(xué)界，直到1993年才被普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)教授安德魯·懷爾斯完全證明． 費(fèi)馬盡管是業(yè)余數(shù)學(xué)家，但他在微積分、解析幾何、概率論、數(shù)論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，都做出了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)．,(四)費(fèi)馬

22、求極大值與極小值的方法,笛卡兒圓法記載于他1637年發(fā)表的《幾何學(xué)》中．就在同一年，費(fèi)馬在一份手稿中提出了求極大值與極小值的代數(shù)的方法．,按費(fèi)馬的方法，設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處取極值，費(fèi)馬用 代替原來(lái)的未知量 ，并使 與 “逼近”(adequatio)， 即,消去公共項(xiàng)后，用 除兩邊，再令 消失，即,由此方程求得的 就是

23、 的極值點(diǎn)．,,,,,,,,,費(fèi)馬的方法幾乎相當(dāng)于現(xiàn)今微分學(xué)中所用的方法，只是以符號(hào) (他寫(xiě)作 )代替了增量△ ．,,,,,,,,記載費(fèi)馬求極大值與極小值方法的這份手稿，實(shí)際上是他寫(xiě)給梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森將費(fèi)馬這封信轉(zhuǎn)給了笛卡兒，從而引起了關(guān)于切線問(wèn)題的熱烈爭(zhēng)論 。,費(fèi)馬在信中指出他求函數(shù)極大值、極小值的方法還“可以推廣應(yīng)用于一些優(yōu)美的問(wèn)題”，并說(shuō)他已經(jīng)獲得了求平面與立體圖形的重

24、心等一些其他結(jié)果，“關(guān)于這些結(jié)果，如果時(shí)間允許，我將在另外的場(chǎng)合來(lái)論述.”,(五)巴羅“微分三角形”,巴羅(1saac Barrow，1630--1677)也給出了求曲線切線的方法，他的方法記載在1669年出版的《幾何講義》中，但他應(yīng)該是在更早的時(shí)候就得到了這種方法．,與笛卡兒、費(fèi)馬不同，巴羅使用了幾何法．巴羅幾何法的關(guān)鍵概念后來(lái)變得很有名，就是“微分三角形”，也叫“特征三角形”．,設(shè)有曲線 ，欲求其上一

25、點(diǎn)P處的切線．巴羅考慮一段“任意小的弧” ，它是由增量 引起的．曲邊三角形 就是所謂的微分三角形．巴羅認(rèn)為當(dāng)這個(gè)三角形越來(lái)越小時(shí)，它與△ 應(yīng)趨近于相似，故應(yīng)有,即,因Q、P在曲線上，故應(yīng)有 ,,在上式中消去一切包含有 的冪或二者乘積的項(xiàng)，從

26、所得方程中解出 ，即切線斜率 ，于是可得到 值而作出線．巴羅的方法實(shí)質(zhì)上是把切線看作是當(dāng) 和 趨于零時(shí)割線PQ的極限位置，并利用忽略高階無(wú)限小來(lái)取極限．在這里， 和 分別相當(dāng)于現(xiàn)在的 和 ，而 則相當(dāng)于 ．,,,,,,,(六)沃利斯“無(wú)窮算術(shù)”,沃利斯(J．Wallis，1616—1703)是在牛頓和萊布尼茨以前，將分析方法引入微積分貢獻(xiàn)最突出的數(shù)

27、學(xué)家．沃利斯最重要的著作是《無(wú)窮算術(shù)》(1655)，其書(shū)名就表明了他用本質(zhì)上是算術(shù)的也就是牛頓所說(shuō)“分析”的途徑發(fā)展積分法．,沃利斯利用他的算術(shù)不可分量方法獲得了許多重要結(jié)果，其中之一就是將卡瓦列里的冪函數(shù)積分公式,推廣到分?jǐn)?shù)冪情形．,沃利斯另一項(xiàng)重要的研究是計(jì)算四分之一單位圓的面積，并由此得到 的無(wú)窮乘積表達(dá)式．,后來(lái)，牛頓發(fā)展了他的方法，從而導(dǎo)出二項(xiàng)式定理。,17世紀(jì)上半葉一系列前驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門(mén)逼

28、近．但所有這些努力還不足以標(biāo)志微積分作為一門(mén)獨(dú)立科學(xué)的誕生．這些前驅(qū)者對(duì)于求解各類(lèi)微積分問(wèn)題確實(shí)作出了寶貴貢獻(xiàn)，但他們的方法仍然缺乏足夠的一般性。求切線，求變化率、求極大極小值以及求面積、體積等基本問(wèn)題，在當(dāng)時(shí)是被作為不同的類(lèi)型處理的．,雖然也有人注意到了某些聯(lián)系，如費(fèi)馬就是用同樣的方法求函數(shù)的極值和曲線的切線；巴羅的求切線方法實(shí)際上是求變化率的幾何版本，等等．然而并沒(méi)有人能將這些聯(lián)系作為一般規(guī)律明確提出，而作為微積分的主要特征的微分與

29、積分的互逆關(guān)系，雖然在特殊場(chǎng)合已被某些學(xué)者邂逅，如巴羅在《幾何學(xué)講義》中有一條定理以幾何形式表達(dá)了切線問(wèn)題是面積問(wèn)題的逆問(wèn)題，但他本人完全沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一事實(shí)的重要意義。因此，就需要有人站在更高的高度將以往個(gè)別的貢獻(xiàn)和分散的努力綜合為統(tǒng)一的理論，這是17世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)家們面臨的艱巨任務(wù)．牛頓和萊布尼茨正是在這樣的時(shí)刻出場(chǎng)的．,,,伊薩克·牛頓(Isac Newton 1643—1727),“我不知道世人如何看我，可我自己認(rèn)為，我好

30、像只是一個(gè)在海邊玩耍的孩子，不時(shí)為撿到比通常更光滑的石子或更美麗的貝殼而高興，而展現(xiàn)在我面前的是完全未被探明的趔之海．”,這是牛頓晚年對(duì)自己的評(píng)價(jià)．,牛頓是英國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，17世紀(jì)科學(xué)革命的頂峰人物，他提出近代物理學(xué)基礎(chǔ)的力學(xué)三大定律和萬(wàn)有引力定律．他關(guān)于白光由色光組成的發(fā)現(xiàn)為物理光學(xué)奠定了基礎(chǔ)．他是微積分的創(chuàng)始人之一．,6.2 牛頓的“流數(shù)術(shù)”,牛頓(1saac Newton，1642—1727)于伽利略去世那年（1642年）

31、的圣誕出生于英格蘭林肯郡伍爾索普村一個(gè)農(nóng)民家庭 ．少年牛頓不是神童，成績(jī)并不突出，但酷愛(ài)讀書(shū)與制作玩具．17歲時(shí)，牛頓被母親從格蘭瑟姆中學(xué)召回田莊務(wù)農(nóng)。史托克斯校長(zhǎng)竭力勸說(shuō)牛頓的母親：“在繁雜的農(nóng)務(wù)中埋沒(méi)這樣一位天才，對(duì)世界來(lái)說(shuō)將是多么巨大的損失!” 這恐怕是科學(xué)史上最幸運(yùn)的預(yù)言。,牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅．三一學(xué)院至今還保存著牛頓的讀書(shū)筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的

32、《無(wú)窮算術(shù)》對(duì)他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路．,1665年8月，劍橋大學(xué)因嚴(yán)重的鼠疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，竟成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月．制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力和顏色理論，……?？梢哉f(shuō)牛頓一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖，都是在這兩年描繪的．,牛頓有這樣一句贊美前輩科學(xué)家的名言：“如果說(shuō)我比別人看得遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕藗兊募缟希?6.2.1 流數(shù)術(shù)的初建,牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始

33、于1664年秋，當(dāng)時(shí)他反復(fù)閱讀笛卡兒《幾何學(xué)》，對(duì)笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法．,◇牛頓首創(chuàng)了小o記號(hào)表示x的無(wú)限小且最終趨于零的增量；,◇1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)；,◇次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分法)；,◇1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文《流數(shù)簡(jiǎn)論》(Tract on Fluxions)，當(dāng)時(shí)雖未正式發(fā)表，但在同事中傳閱．《簡(jiǎn)論》)是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)

34、．,《流數(shù)簡(jiǎn)論》反映了牛頓微積分的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景．該文事實(shí)上以速度形式引進(jìn)了“流數(shù)”(即微商)概念，雖然沒(méi)有使用“流數(shù)”這一術(shù)語(yǔ)．,牛頓在《簡(jiǎn)論》中提出微積分的基本問(wèn)題如下：,(a)設(shè)有兩個(gè)或更多個(gè)物體 同一時(shí)刻內(nèi)描畫(huà)線段 ．已知表示這些線段關(guān)系的方程，求它們的速度 的關(guān)系．,(b)已知表示線段 和運(yùn)動(dòng)速度 之比 的關(guān)系方程式，求另一線段 ．,牛頓對(duì)多項(xiàng)式情形給出(a)的解法．,,

35、,,對(duì)于問(wèn)題(b)，牛頓的解法實(shí)際上是問(wèn)題(a)的解的逆運(yùn)算，并且也是逐步列出了標(biāo)準(zhǔn)算法。特別重要的是，《簡(jiǎn)論》中討論了如何借助于這種逆運(yùn)算來(lái)求面積，從而建立了所謂“微積分基本定理”．,牛頓在《簡(jiǎn)論》中是這樣推導(dǎo)微積分基本定理的：,設(shè) ，△ 為已知曲線 下的面積，作 ∥ ⊥ ∥ ．當(dāng)垂 線

36、 以單位速度向右移動(dòng)時(shí)， 掃出面積 ， 變化率 ; 掃出面積□ ,變化率 由此得,這就是說(shuō)，面積y在點(diǎn)x處的變化率是曲線在該處的q值．,□,當(dāng)然，《簡(jiǎn)論》中對(duì)微積分基本定理的論述并不能算是現(xiàn)代意義下的嚴(yán)格證明．牛頓在后來(lái)的著作中對(duì)微積分基本定理又給出了不依賴于運(yùn)動(dòng)學(xué)

37、的較為清楚的證明．,正如牛頓本人在《流數(shù)簡(jiǎn)論》中所說(shuō)：一旦反微分問(wèn)題可解，許多問(wèn)題都將迎刃而解。這樣，牛頓就將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類(lèi)普遍的算法——正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系而將這兩類(lèi)運(yùn)算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體．這是他超越前人的功績(jī)，正是在這樣的意義下，我們說(shuō)牛頓發(fā)明了微積分．,在《流數(shù)簡(jiǎn)論》的其余部分，牛頓將他建立的統(tǒng)一的算法應(yīng)用于求曲線切線、曲率、拐點(diǎn)、曲線求長(zhǎng)、求積、求引力與引力中心等1

38、6類(lèi)問(wèn)題，展示了他的算法的極大的普遍性與系統(tǒng)性．,6.2.2 流數(shù)術(shù)的發(fā)展,《流數(shù)簡(jiǎn)論》標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的，牛頓于1667年春天回到劍橋，對(duì)自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)．從那時(shí)起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時(shí)間里，牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，先后寫(xiě)成了三篇微積分論文，它們分別是:,(1)《運(yùn)用無(wú)限多項(xiàng)方程的分析》，簡(jiǎn)稱(chēng)《分析學(xué)》，完成于1669年；,(2)《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》，簡(jiǎn)稱(chēng)《流數(shù)法》，

39、完成于1671年；,(3)《曲線求積術(shù)》，簡(jiǎn)稱(chēng)《求積術(shù)》，完成于1691年。,這三篇論文，反映了牛頓微積分學(xué)說(shuō)的發(fā)展過(guò)程 。,第一篇論文《分析學(xué)》是牛頓為了維護(hù)自己在無(wú)窮級(jí)數(shù)方面的優(yōu)先權(quán)而作． 《分析學(xué)》利用這些無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算流數(shù)、積分以及解方程等，因此《分析學(xué)》體現(xiàn)了牛頓的微積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)緊密結(jié)合的特點(diǎn)．,牛頓還給出了另一條法則：若y值是若干項(xiàng)之和，那么所求面積就是由其中每一項(xiàng)得到的面積之和，這相當(dāng)于逐項(xiàng)積分定理．,由上述可知，牛頓《

40、分析學(xué)》以無(wú)限小增量“瞬”為基本概念，但卻回避了《流數(shù)簡(jiǎn)論》中的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景而將“瞬”看成是靜止的無(wú)限小量，有時(shí)直截了當(dāng)令其為零，從而帶上了濃厚的不可分量色彩．,第二篇論文《流數(shù)法》可以看作是1666年《流數(shù)簡(jiǎn)論》的直接發(fā)展．牛頓在其中又恢復(fù)了運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，但對(duì)以物體速度為原型的流數(shù)概念作了進(jìn)一步提煉，并首次正式命名為“流數(shù)”(fluxion)．,牛頓后來(lái)對(duì)《流數(shù)法》中的流數(shù)概念作了如下解釋?zhuān)?“我把時(shí)間看作是連續(xù)的流動(dòng)或增長(zhǎng)，而其他量則隨

41、著時(shí)間而連續(xù)增長(zhǎng)，我從時(shí)間的流動(dòng)性出發(fā)，把所有其他量的增長(zhǎng)速度稱(chēng)之為流數(shù)，又從時(shí)間的瞬息性出發(fā)，把任何其他量在瞬息時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的部分稱(chēng)之為瞬”．,《流數(shù)法》以清楚明白的流數(shù)語(yǔ)言表述微積分的基本問(wèn)題為：,“已知流量間的關(guān)系，求流數(shù)關(guān)系”；,以及反過(guò)來(lái),“已知表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流量間的關(guān)系”．,無(wú)論是《分析學(xué)》還是《流數(shù)法》都是以無(wú)限小量作為微積分算法的論證基礎(chǔ)，所不同的是：在《流數(shù)法》中變量 的瞬 ×

42、;o, ×o 隨時(shí)間瞬o而連續(xù)變化；而在《分析學(xué)》中變量 的瞬則是某種不依賴于時(shí)間的固定的無(wú)限小微元．,,,,第三篇微積分論文《曲線求積術(shù)》中，牛頓關(guān)于微積分的基礎(chǔ)在觀念上發(fā)生了新的變革，提出了所謂的“首末比方法”。,《曲線求積術(shù)》是牛頓最成熟的微積分著述．牛頓在其中改變了對(duì)無(wú)限小量的依賴并批評(píng)自己過(guò)去那種隨意忽略無(wú)限小瞬o的做法：,“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略．……在這里，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的量不是由非

43、常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述的”．,在此基礎(chǔ)上定義了流數(shù)概念之后，牛頓寫(xiě)道：,“流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時(shí)間間隔內(nèi)生成的流量的增量比．確切地說(shuō)，它們構(gòu)成增量的最初比”．,牛頓接著借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)獲得的最終比．,他舉例說(shuō)明自己的新方法如下：為了求的流數(shù)，設(shè)x變?yōu)閤+o， 則變?yōu)?構(gòu)成兩變化的“最初比”：,然后“設(shè)增量o消逝，它們的最終比就是 ”，這也是x的流數(shù)與的

44、流數(shù)之比 。,這就是所謂“首末比方法”，它相當(dāng)于求函數(shù)自變量與應(yīng)變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導(dǎo)．,牛頓對(duì)于發(fā)表自己的科學(xué)著作態(tài)度謹(jǐn)慎．除了兩篇光學(xué)著作，他的大多數(shù)著作都是經(jīng)朋友再三催促才拿出來(lái)發(fā)表．上述三篇論文發(fā)表都很晚，其中最先發(fā)表的是最后一篇《曲線求積術(shù)》，1704年載于《光學(xué)》附錄；《分析學(xué)》發(fā)表于1711年；而《流數(shù)法》則遲至1736年才正式發(fā)表，當(dāng)時(shí)牛頓已去世．牛頓微積分學(xué)說(shuō)最早的公開(kāi)表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)

45、名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(Philosophiae naturalis principia mathematica，以下簡(jiǎn)稱(chēng)《原理》)之中，因此《原理》也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作．,盡管《原理》表現(xiàn)出以極限方法作為微積分基礎(chǔ)的強(qiáng)烈傾向，但并不意味著牛頓完全摒棄無(wú)限小觀點(diǎn)．在第二卷第2章中，人們可以看到無(wú)限小瞬方法的陳述：,“任何生成量(genitum)的瞬，等于生成它的各邊的瞬乘以這些邊的冪指數(shù)及系數(shù)并逐項(xiàng)相加．”,此處所謂“生成量”

46、，即函數(shù)概念的雛形；生成量的瞬則是指函數(shù)的微分．,6.2.3《原理》與微積分,《原理》中并沒(méi)有明顯的分析形式的微積分．整部著作是以綜合幾何的語(yǔ)言寫(xiě)成的，但牛頓在第一卷第l章開(kāi)頭部分通過(guò)一組引理(共11條)建立了“首末比法”。,牛頓說(shuō)明這類(lèi)量的例子有“積、商、根、……”等，并把它們看成是“變化的和不定的”；因此上述陳述實(shí)際上相當(dāng)于一些微分運(yùn)算法則．,《原理》在創(chuàng)導(dǎo)首末比方法的同時(shí)保留了無(wú)限小瞬，這種做法常常被認(rèn)為自相矛盾而引起爭(zhēng)議．實(shí)際上

47、，在牛頓的時(shí)代，建立微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)的時(shí)機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時(shí)，堅(jiān)持對(duì)微積分基礎(chǔ)給出不同解釋?zhuān)f(shuō)明了他對(duì)微積分基礎(chǔ)所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度．,《原理》被愛(ài)因斯坦盛贊為“無(wú)比輝煌的演繹成就”．全書(shū)從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律、萬(wàn)有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威

48、力．,牛頓的科學(xué)貢獻(xiàn)是多方面的：,◆在數(shù)值分析領(lǐng)域，今天任何一本教程都不能不提到牛頓的名字：牛頓—格里高利公式、牛頓—拉弗森公式、牛頓—斯特林公式、……；牛頓還是幾何概率的最早研究者．,◆代數(shù)名著《普遍算術(shù)》，包含了方程論的許多重要成果，如虛數(shù)根必成對(duì)出現(xiàn)、笛卡兒符號(hào)法則的推廣、根與系數(shù)的冪和公式等等；,◆幾何杰作《三次曲線枚舉》，首創(chuàng)對(duì)三次曲線的整體分類(lèi)研究，是解析幾何發(fā)展新的一頁(yè)；,光學(xué)方面的貢獻(xiàn)　　牛頓曾致力于顏色的現(xiàn)象和光的本

49、性的研究。1666年，他用三棱鏡研究日光，得出結(jié)論：白光是由不同顏色(即不同波長(zhǎng))的光混合而成的，不同波長(zhǎng)的光有不同的折射率。在可見(jiàn)光中，紅光波長(zhǎng)最長(zhǎng)，折射率最??；紫光波長(zhǎng)最短，折射率最大。,熱學(xué)方面的貢獻(xiàn)　　牛頓確定了冷卻定律，即當(dāng)物體表面與周?chē)袦夭顣r(shí)，單位時(shí)間內(nèi)從單位面積上散失的熱量與這一溫差成正比。,,哲學(xué)方面的貢獻(xiàn)　　牛頓的哲學(xué)思想基本屬于自發(fā)的唯物主義，他承認(rèn)時(shí)間、空間的客觀存在?！蹲匀徽軐W(xué)的數(shù)學(xué)原理》牛頓最重要的著作，

50、1687年出版。該書(shū)總結(jié)了他一生中許多重要發(fā)現(xiàn)和研究成果，其中包括上述關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)的定律。他說(shuō)，該書(shū)“所研究的主要是關(guān)于重、輕流體抵抗力及其他吸引運(yùn)動(dòng)的力的狀況，所以我們研究的是自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理?！?天文學(xué)方面的貢獻(xiàn)　　牛頓1672年創(chuàng)制了反射望遠(yuǎn)鏡。他用質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力證明，密度呈球?qū)ΨQ(chēng)的球體對(duì)外的引力都可以用同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)放在中心的位置來(lái)代替。他還用萬(wàn)有引力原理說(shuō)明潮汐的各種現(xiàn)象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有關(guān)，而且同太陽(yáng)的方

51、位有關(guān)。牛頓預(yù)言地球不是正球體。歲差就是由于太陽(yáng)對(duì)赤道突出部分的攝動(dòng)造成的。,牛頓是一位科學(xué)巨人，對(duì)此，萊布尼茨有過(guò)高度的評(píng)價(jià)：“綜觀有史以來(lái)的全部數(shù)學(xué)，牛頓做了一多半的工作”。拉格朗日對(duì)牛頓的作用和影響也有過(guò)評(píng)語(yǔ)，說(shuō)他是,歷史上最有才能的人，也是最幸運(yùn)的人——因?yàn)橛钪骟w系只能被發(fā)現(xiàn)一次。,英鎊上的牛頓,與這些頌揚(yáng)相反，牛頓對(duì)他的工作有自己謙虛的評(píng)價(jià)：,“我不知道世間把我看成什么樣的人；但是，對(duì)我來(lái)說(shuō)，就像一個(gè)在海邊玩耍的孩子，有時(shí)找到

52、一塊比較平滑的卵石或格外漂亮的貝殼，感到高興，在我面前是完全沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)的真理的大海洋。”,還有一次，當(dāng)別人問(wèn)他是怎樣作出自己的科學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，他的回答是：,“心里總是裝著研究的問(wèn)題，等待那最初的一線希望漸漸變成普照一切的光明!”,“如果我看得更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀保?在尊重他的前輩的成果方面，他曾作過(guò)這樣的解釋?zhuān)?關(guān)于牛頓的很多軼事多半是不真實(shí)的，人們常把牛頓偶像化加以神話式的宣揚(yáng)也是不切實(shí)際的。最突出的例子：英國(guó)詩(shī)人浦普(A

53、lexander Pope,1688-1747)的詩(shī)句：,“宇宙和自然的規(guī)律隱藏在黑夜里，上帝說(shuō)：讓牛頓降生吧！一切都變得光明?！?牛頓在事業(yè)正處于顛峰的同時(shí)卻陷入了唯心主義的泥潭。2003年2月在以色列發(fā)現(xiàn)的牛頓手稿表明，他曾經(jīng)花費(fèi)40多年的時(shí)間用來(lái)證明上帝的存在，并預(yù)言地球?qū)⒃?060年毀滅（2003年2月25日鳳凰衛(wèi)視）。,牛頓終身未婚，晚年由外甥女凱瑟琳協(xié)助管家．牛頓的許多言論、軼聞，就是靠凱瑟琳和她的丈夫康杜德的記錄留傳下來(lái)的

54、．家喻戶曉的蘋(píng)果落地與萬(wàn)有引力的故事，就是凱瑟琳告訴法國(guó)哲學(xué)家伏爾泰并被后者寫(xiě)進(jìn)《牛頓哲學(xué)原理》一書(shū)中．,終身未婚之謎,可以說(shuō)，牛頓是一個(gè)追求用科學(xué)中的光線譜來(lái)解釋他的理想的特殊類(lèi)型的詩(shī)人。他讓他的思想展翅飛翔，以整個(gè)宇宙作為藩籬。在他的整個(gè)心田里，填滿了自然、宇宙。也許這是他終身未娶的最根本原因。不過(guò)，牛頓并沒(méi)有完全與愛(ài)情絕緣。他一生中甚至有過(guò)兩次戀愛(ài)。 牛頓在劍橋大學(xué)求學(xué)時(shí)，由于劍橋發(fā)生了瘟疫，學(xué)校放假

55、。牛頓回到鄉(xiāng)下，住在舅父家里。在那里，他一次愛(ài)上了美麗、聰明、好學(xué)、富有思想的表妹。但是牛頓生性靦腆，并未及時(shí)向表妹表白心中的愛(ài)情。等他回到劍橋大學(xué)后，他早已忘記了遠(yuǎn)方的鄉(xiāng)村還有一位美麗的少女在等著他。 他對(duì)個(gè)人生活一直不予重視，而她的表妹卻誤以為牛頓對(duì)她冷淡，便擇夫，令醉心于科學(xué)研究的牛頓耽誤了一次愛(ài)情的大好時(shí)機(jī)。牛頓實(shí)在太忙了，他連做夢(mèng)想的都是宇宙、世界。,牛頓1727年因患肺炎與痛風(fēng)而逝世，

56、葬于威斯特敏斯特大教堂．當(dāng)時(shí)參加了葬禮的伏爾泰親眼目睹英國(guó)的大人物爭(zhēng)抬牛頓的靈柩而無(wú)限感嘆．牛頓去世后，外甥女凱瑟琳夫婦在親屬們圍繞遺產(chǎn)的糾紛中不惜代價(jià)保存了牛頓的手稿．現(xiàn)存牛頓手稿中，僅數(shù)學(xué)部分就達(dá)5000多頁(yè)．,幾個(gè)小故事,牛頓常常把24小時(shí)中的18或19個(gè)小時(shí)用于寫(xiě)作，并且他 有超人的集中注意力。 一次他請(qǐng)一些朋友吃飯，他離席去拿一瓶酒，可是他跑回房間竟然把取酒這事忘了，而穿上白衣，進(jìn)了祈禱室。 牛頓的朋友斯圖克利博

57、士請(qǐng)他吃雞肉飯。牛頓出去了一 會(huì)，但是，桌子上已經(jīng)放好蓋著的盤(pán)子，里面是烹調(diào)好的雞肉。牛頓忘記吃飯這事，而超過(guò)了時(shí)間，斯圖克利把雞吃了，然后再把骨頭放在蓋著的盤(pán)子里。牛頓回來(lái)后，發(fā)現(xiàn)只剩下骨頭了。他說(shuō)：“親愛(ài)的：我竟然忘了我們已經(jīng)吃了飯?！?牛頓從格蘭瑟姆騎馬回家時(shí)，下了馬步行牽著它上城外的斯皮特門(mén)山。牛頓不知道馬在上山時(shí)滑脫了，到了山頂，才發(fā)現(xiàn)手里只剩下個(gè)空韁繩。 煮表代蛋。忘記與女友的約會(huì)。,萊布尼茨,戈特弗里德·威

58、廉·凡·萊布尼茨，德國(guó)最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一位舉世罕見(jiàn)的科學(xué)天才，和牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）同為微積分的創(chuàng)建人。 他的研究成果還遍及力學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、歷史、外交等等，“世界上沒(méi)有兩片完全相同的樹(shù)葉”就是出自他之口，他還是最早研究中國(guó)文化和中國(guó)哲學(xué)的德

59、國(guó)人，對(duì)豐富人類(lèi)的科學(xué)知識(shí)寶庫(kù)做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。然而，由于他創(chuàng)建了微積分，并精心設(shè)計(jì)了非常巧妙簡(jiǎn)潔的微積分符號(hào)，從而使他以偉大數(shù)學(xué)家的稱(chēng)號(hào)聞名于世。,公元1646年7月1日，萊布尼茨出生于德國(guó)東部萊比錫的一個(gè)書(shū)香之家，父親弗里德希·萊布尼茨是萊比錫大學(xué)的道德哲學(xué)教授，母親凱瑟琳娜·施馬克出身于教授家庭，虔信路德新教。,萊布尼茨的父親在他年僅六歲時(shí)便去世了，給他留下了比金錢(qián)更寶貴的豐富的藏書(shū)，知書(shū)達(dá)理的母親擔(dān)負(fù)起了

60、兒子的幼年教育。 1664年1月，萊布尼茨完成了論文《論法學(xué)之艱難》，獲哲學(xué)碩士學(xué)位。是年2月12日，他母親不幸去世。18歲的萊布尼茨從此只身一人生活，他—生在思想、性格等方面受母親影響頗深。 　　 萊布尼茨一生沒(méi)有結(jié)婚，沒(méi)有在大學(xué)當(dāng)教授。他平時(shí)從不進(jìn)教堂，因此他有一個(gè)綽號(hào) Lovenix，即什么也不信的人。他去世時(shí)教士以此為借口，不予理睬，曾雇用過(guò)他的宮廷也不過(guò)問(wèn)，無(wú)人前來(lái)吊唁。彌留之際，

61、陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘書(shū)艾克哈特。,6.3 萊布尼茨的微積分,萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716) 早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時(shí)開(kāi)始接觸伽利略、開(kāi)普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思想．1667年獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開(kāi)始為緬因茨選帝侯服務(wù)，不久被派往巴黎任大使．萊布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，這四年對(duì)他整個(gè)科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避

62、瘟疫的兩年類(lèi)比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時(shí)期完成或奠定了基礎(chǔ)．,6.3.1 特征三角形,萊布尼茨在巴黎與荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯(C.Huygens)的結(jié)識(shí)、交往，激發(fā)了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣．他通過(guò)卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作了解并開(kāi)始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問(wèn)題．,與牛頓流數(shù)論的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問(wèn)題的思考，尤其是特征三角形的研究（1673）．據(jù)萊布尼茨后來(lái)在《微積

63、分的歷史和起源》中自述，他這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)正是受到了帕斯卡論文《關(guān)于四分之一圓的正弦》的啟發(fā)，他從這篇短文的一個(gè)例子中“突然看到一束光明”．,萊布尼茨應(yīng)用特征三角形很快發(fā)現(xiàn)了他后來(lái)才“在巴羅和格里高里的著作中見(jiàn)到的幾乎所有定理”．但是如果萊布尼茨就此而止，那么他也不會(huì)成為微積分的創(chuàng)立者.實(shí)際上，他在關(guān)于特征三角形的研究中認(rèn)識(shí)到：,求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值當(dāng)這些差值變成無(wú)限小時(shí)之比；而求曲線下的面積則依賴于無(wú)限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)

64、之和(縱坐標(biāo)之和在這里是指縱坐標(biāo)乘以無(wú)限小區(qū)間的長(zhǎng)度再相加，因而也相當(dāng)于寬度為無(wú)限小的矩形面積之和)．,萊布尼茨還看出了這兩類(lèi)問(wèn)題的互逆關(guān)系．,6.3.2 分析微積分的建立,早在1666年，萊布尼茨在《組合藝術(shù)》一書(shū)中討論過(guò)數(shù)列問(wèn)題并得到許多重要結(jié)論,平方數(shù)序列 ：0,1,4,9,16,25,36，…,及其一階差（相繼兩項(xiàng)之差）： 1,3,5,7,9,11,…,與二階差 2,2,2,2,2,…,當(dāng)時(shí)他

65、注意到如果原來(lái)的序列是從0開(kāi)始，那么一階差的和就是原序列的最后一項(xiàng)，并且這里序列的求和運(yùn)算與求差運(yùn)算存在著互逆的關(guān)系．,大約從1672年開(kāi)始，萊布尼茨將他對(duì)數(shù)列研究的結(jié)果與微積分運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)．,萊布尼茨后來(lái)在致洛必達(dá)(L’Hospital)的一封信中總結(jié)說(shuō)：,這使他發(fā)現(xiàn)，“求切線不過(guò)是求差，求積不過(guò)是求和!”,萊布尼茨后來(lái)做了大量工作，艱難地前進(jìn)，從一串離散值過(guò)渡到任意函數(shù) 的增量．在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了符

66、號(hào) 表示積分，顯然 是“sum”的首字母 的拉長(zhǎng)．稍后，在11月11日的手稿中，萊布尼茨又引進(jìn)了記號(hào) 表示兩相鄰 的值的差，并探索運(yùn)算 與d 運(yùn)算的關(guān)系。無(wú)論如何，到1676年11月，萊布尼茨已經(jīng)能夠給出冪函數(shù)的微分與積分公式：,和,其中 不一定是正整數(shù)．,,,,如圖，由相似三角形，得則求和：,1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》(簡(jiǎn)

67、稱(chēng)《新方法》)，刊登在《教師學(xué)報(bào)》(Acta Eruditorum)上，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)．該文是萊布尼茨對(duì)自己1673年以來(lái)微分學(xué)研究的概括，其中,◆定義了微分并廣泛采用了微分記號(hào)dx,dy;,◆明確陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式;,6.3.3 萊布尼茨微積分的發(fā)表,我們知道，萊布尼茨還得出了復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)轿⒎址▌t，以及后來(lái)又將 乘積微分的“萊布尼茨法則”推廣到了高階情

68、形．這些都表明萊布尼茨非常重視微積分的形式運(yùn)算法則和公式系統(tǒng)。,《新方法》還包含了微分法在求極大、極小值、求拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用．,1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》．這篇論文初步論述了積分或求積問(wèn)題與微分或切線問(wèn)題的互逆關(guān)系．萊布尼茨分析道：,“研究不定求積或其不可能性的方法，對(duì)我來(lái)說(shuō)不過(guò)是我稱(chēng)之為反切線方法的更廣泛的問(wèn)題的特殊情形(并且事實(shí)上是比較容易的情形)，而這種反切線方