小學數(shù)學——整體把握蘭州

1、整體把握小學數(shù)學——從數(shù)學的角度,首都師范大學王尚志,問題 不增加學習時間和強度，有什么辦法提高學習、教學效率？ 如何讓學生喜歡您——喜歡數(shù)學？ 如何調動學生學習激情、主動精神？ “做得快”是數(shù)學教育主要價值追求？ 如何幫助學生學會學習？,從一節(jié)課的教學設計說起,百分數(shù)教學設計教學內容 本節(jié)課是在學生學習了分數(shù)后，要學習的一個經常使用的概念，教師設計的一節(jié)概念課。,百分數(shù)概念課,教學目

2、標1、理解百分數(shù)的概念和意義；2、了解百分數(shù)與分數(shù)差異，體會為什么引入百分數(shù)；3、初步了解百分數(shù)的應用；4、讓學生經歷獨立學習和合作學習過程。,百分數(shù)概念課,教學形式 本節(jié)課教師主要采用獨立學習與小組合作結合方式進行教學活動。主要步驟：1、教師將全班同學進行分組；2、確定需要研討的問題串；3、提出學生在獨立思考的要求；4、分工合作、交流提升、集體分享等過程；最后，通過學生的學習，分享結果，形成一個資源包，從而保

3、證每個學生都能有所收獲。,百分數(shù)概念課,研討問題串——研討要求1、了解周圍的人是如何認識百分數(shù)？2、什么是百分數(shù)？3、為什么學習百分數(shù)？百分數(shù)與分數(shù)有什么差異？4、 在那些背景下使用百分數(shù)？,百分數(shù)概念課,研討問題串——研討要求課前，各個小組完成和思考的任務。 收集并整理周圍成人對以下問題認識，并提出自己的認識： 什么是百分數(shù)； 百分數(shù)與分數(shù)差異；

4、 在哪些實際背景下有用； （要求：每一個同學獨立完成，匯總后，再由小組組長和兩個同學一起整理，教師需要進行比較細致指導、要求。） （這一節(jié)課安排在星期一，課前的工作在上周末完成。）,百分數(shù)概念課,研討問題串——研討要求課上，教師組織交流、抽象、總結。1、每個問題有兩個小組為主，集體進行匯報，其他小組補充，討論；2、教師即時引導，把握進度、集中主題；3、討論完，由教師總結。課后，對每一個問題，匯報小組進行整理，并展

5、示。,百分數(shù)概念課,評論： 學生感興趣，每個人都能參與進來。 這節(jié)課的設計真的讓學生開動腦筋思考，想問題，印象深刻。 教學設計不是僅僅以讓學生“學會”為目的，而是以學生“會學”為目的的。 小組合作不僅僅是留于形式而是真正有價值的。,背 景,自上而下,國家在行動,國務院成立了以溫家寶總理為組長的國家中長期教育改革與發(fā)展規(guī)劃綱要領導小組 國家基礎教育課程教材咨詢、工作專家委員會 國家

6、教師教育專家委員會 將成立招生考試專家委員會,背 景,最大的動力 —教育的理想、追求,背 景,過程好了結果不會差 學生動起來結果會更好！,Today’s economy means multiple jobs and on-going development to build transferable skills and competencies,20th Century,21st Century,

7、1 – 2 Jobs,10 – 15 Jobs,Critical Thinking Across Disciplines,Integration of 21st Century Skills intoSubject Matter Mastery,Mastery ofOne Field,SubjectMatterMastery,Number ofJobs:,JobRequirement:,Teaching Model:,

8、SubjectMatterMastery,Integration of 21stCentury Skills intoSubject MatterMastery,Assessment Model:,5,Are we asking the right questions?,Why 21st Century Skills?,Are our students critical thinkers and problem solver

9、s?我們學生是否具有批判思考和問題解決的人？,Are our students globally aware?我們學生是否具有全球意識？,Are our students self-directed?我們學生是否具有自我定向能力？,Are our students good collaborators?我們學生是否是好的合作者？,Are we asking the right questions?,Why 21st Centur

10、y Skills?,Are our students information and technology literate?我們學生是否擁有信息技術意識？,Are our students flexible and adaptable?我們學生是否具有靈活和適應能力？,Are our students innovative?我們學生是否具有創(chuàng)造意識和能力？,Are our students effective communica

11、tors?我們學生能否進行有效交流能力？,P21 Members,,Why 21st Century Skills?,對雇傭的高中畢業(yè)生，什么能力對職業(yè)成功是最重要的?,Why 21st Century Skills?,對你們最近雇傭的高中畢業(yè)生，他們最缺乏的是什么？,,Why 21st Century Skills?,,對于你們將要雇傭的本科畢業(yè)生，那些能力和基本知識是最重要的？ What applied skills and

12、 basic knowledge are most important for those you will hire with a four-year college diploma?,,,對你們近期雇傭的本科畢業(yè)生，如何評價他們的這些能力？ Of the four-year graduates you recently hired, how do they rate?,Why 21st Century Skills?,Why

13、 21st Century Skills?,,在今后五年中，那些能力需要重點提升？ What skills and content areas will be growing in importance in the next five years?,Overview: 21st Century Competencies and Skills,21世紀基本能力幾種看法,基本結構,,THE 4 PILLARS OF A COMPET

14、ENCY-BASED EDUCATION,Learning to Know （學會學習）Learning to Do （學會做事）Learning to Live and Work Together （學會與人共同生活、工作）Learning to Be （學會做人） Source: Report presented to UNESCO by the International Commission on Education

15、 for the 21st Century “Learning: the treasure within”, 1996.,認識數(shù)學課程內容的三個基點： 21世紀基本能力 社會、科學技術的發(fā)展 數(shù)學沿革、發(fā)展 實際需求 認識數(shù)學新課程變化三個基本視角： 數(shù)學視角 教育視角 學生視角,數(shù)學的角度,對數(shù)學和數(shù)學教育有比較科學的認識整體把握數(shù)學和數(shù)學課程努力抓住數(shù)學的

16、本質,數(shù)學的角度,著名數(shù)學家華羅庚 能把書讀厚——聯(lián)系、整體 能把書讀薄——本質,關鍵詞,正確認識數(shù)學整體把握數(shù)學課程——基本脈絡數(shù)學本質四基： 基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗,整體把握—數(shù)學與數(shù)學教育,數(shù)學是研究現(xiàn)實中數(shù)量關系和空間形式的科學?！鞲袼?數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學 ——前蘇聯(lián)“數(shù)學的

17、內容、方法、意義” 數(shù)學是研究模式與秩序的科學。 ——“2061”計劃 把數(shù)學科學與自然科學的并列。 ——“2061”計劃,整體把握—數(shù)學與數(shù)學教育,數(shù)學是科學，數(shù)學是理論，數(shù)學是語言，數(shù)學是工具，數(shù)學是技術，數(shù)學是文化，數(shù)學是伙伴， ……,整體把握—數(shù)學與數(shù)學教育,數(shù)學的基本特征：抽象性嚴格性應用廣泛性數(shù)學基本思想抽象模型推理,整體把握—數(shù)學

18、與數(shù)學教育,數(shù)學教育在國家發(fā)展中的作用 幾個世紀以來，國家的崇高地位、安全、康寧和發(fā)展總是與國民能力緊密聯(lián)系在一起，這種能力又會受到面向各種復雜事物觀念的影響。引導社會發(fā)展需要數(shù)學能力，數(shù)學能力會給國家?guī)戆l(fā)展優(yōu)勢，在醫(yī)學和健康，技術和商業(yè)，航行和太空探索，防御和金融，等等方面，另外，在分析過去失敗經驗和預測未來發(fā)展的能力等方面帶來優(yōu)勢。歷史上這樣的例子比比皆是。,整體把握—數(shù)學與數(shù)學教育,數(shù)學教育在個人發(fā)展中作用

19、 在數(shù)學教育方面的成功對于公民個人也是十分重要的，因為數(shù)學教育有助于他們進大學深造、增加就業(yè)選擇，還有助于在未來的職業(yè)中獲得較好的待遇。 總之，學好數(shù)學有助于學生獲得更廣闊的發(fā)展空間。國家科學委員會預示，與數(shù)學有密切聯(lián)系的科學和工程方面勞動力需求增長速度和總的職業(yè)需求增長速度相比，比值為3：1 。,整體把握—數(shù)學與數(shù)學教育,兩千多年來，人們一直認為每一個受教育者都必須具備一定的數(shù)學知識。但是，

20、今天，數(shù)學教育的傳統(tǒng)地位卻陷入了嚴重的危機之中，而且遺憾的是數(shù)學工作者要對此負一定的責任。數(shù)學教學有時竟演變成空洞的解題訓練，這種訓練雖然可以提高形式推理的能力，但卻不能導致真正的理解與深入的獨立思考。數(shù)學研究已經出現(xiàn)一種過分專門化和過于強調抽象的趨勢，而忽視了數(shù)學的應用以及與其他領域的聯(lián)系。不過，這種狀況不能證明緊縮數(shù)學教育政策是合理的。相反，那些醒悟到培養(yǎng)思維重要性的人，必然會采取完全不同的做法，即更加重視和加強數(shù)學教學。教師、學生

21、和一般受過教育的人都要求數(shù)學家有一個建設性的改造，而不是聽其自然，其目的是要真正理解數(shù)學是一個有機的整體，是科學思考與行動的基礎。 ——R.柯朗（1941年，什么是數(shù)學的序言）,受學校教育的影響，一般人認為數(shù)學僅僅是對科學家、工程師，或許還有金融家才有用的一系列技巧。這樣的教育導致了對這門學科的厭惡和對它的忽視。 由于學校數(shù)學教學的影響，這些權威性的診斷和流行的看法，竟被認為是正確的！數(shù)學學

22、科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠不能代表數(shù)學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣。技巧是將數(shù)學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物。如果我們對數(shù)學的本質有一定的了解，就會認識到數(shù)學在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。 ——M.克萊因,整體把握—數(shù)學與數(shù)學教育,整體把握：

23、大學數(shù)學課程分類,分析類數(shù)學課程： 研究函數(shù)以及與函數(shù)有關的問題的課程。 數(shù)學分析，復變函數(shù)，實變函數(shù)，常微分方程，偏微分方程，數(shù)值計算，泛函分析，與這些課程有聯(lián)系的拓展類課程：三角級數(shù)，調和分析，函數(shù)逼近論等等。,整體把握：大學數(shù)學課程分類,代數(shù)類數(shù)學課程：研究運算以及與運算有關的課程。 高等代數(shù)（線性代數(shù)、多項式理論），抽象代數(shù)，群倫，有限群及其應用，環(huán)論，域論，與這些課程

24、有聯(lián)系的拓展類課程：交換代數(shù)，非交換代數(shù)，半論，等等。,整體把握：大學數(shù)學課程分類,幾何類數(shù)學課程：研究圖形以及與圖形有關的課程。 解析幾何，射影幾何（高等幾何），微分幾何，點集拓撲，代數(shù)拓撲，微分拓撲，微分流形，許多相關課程：代數(shù)幾何，旋論，形論，等,整體把握：大學數(shù)學課程分類,統(tǒng)計、概率類數(shù)學課程： 統(tǒng)計， 概率， 許多相關課程：隨機微分方程，等等,整體把握：大學數(shù)學課程分類,應

25、用類數(shù)學課程 運籌學——線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃 優(yōu)化課程 離散數(shù)學課程——圖論、 學科應用課程——生物數(shù)學、 經濟、金融類數(shù)學類課程 計算類課程 理論物理類數(shù)學課程 圖像識別類數(shù)學課程 等等 算法與計算機課程,整體把握：高中數(shù)學課程 的主要脈絡,高中數(shù)學

26、主要脈絡①函數(shù) ②幾何 ③運算 ④統(tǒng)計、概率 ⑤應用 ⑥算法,初中數(shù)學：內容結構,數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計與概率綜合與實踐,數(shù)與代數(shù)——初中,數(shù)、字母與運算 ——運算對象認識 ——運算背景認識 ——運算法則 ——運算

27、應用,數(shù)與代數(shù)——初中,量、關系與模型 ——量的認識 ——從算術到代數(shù)：模型 ——常量模型：方程與不等式 ——變量模型：函數(shù)模型 ——簡單數(shù)學建模：模型分類、識別、確定,圖形與幾何——初中,圖形分類 ——空間圖形 ——平

28、面圖形 ——直線圖形、曲線圖形,圖形與幾何——初中,基本幾何圖形與基本關系： 基本圖形 ——長方體、直角坐標系 ——圓 ——等腰三角形？ 基本關系 ——圖形組成要素的等、不等量關系 ——圖形間全等關

29、系 ——圖形間相似關系 ——圖形間對稱關系 ——圖形間投影關系,圖形與幾何——初中,研究圖形的基本方法 ——綜合推理 ——運動與變換 ——坐標系與代數(shù)方法 ——度量與積分 幾何（圖形）應用

30、 ——運用圖形描述問題 ——運用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題思路 ——運用圖形表示（記憶）結果和解決問題過程,統(tǒng)計與概率——初中,統(tǒng)計 ——數(shù)據(jù)分析全過程 ——從數(shù)據(jù)中提取信息 ——統(tǒng)計實際應用 概率 ——隨機現(xiàn)象基本特征與識別 ——古典概型初步,綜合

31、與實踐——初中,綜合： 綜合數(shù)學討論某些數(shù)學問題 綜合數(shù)學討論某些實際問題 體會與積累： 數(shù)學實踐活動全過程 積累數(shù)學活動經驗,小學數(shù)學：內容結構,數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計與概率綜合與實踐,小學數(shù)學：內容結構,數(shù)與代數(shù) ——數(shù)量與數(shù)、運算與估算 ——數(shù)量、關系與模型圖形與幾何

32、 ——圖形與分類 ——圖形基本關系 ——研究方法 ——圖形應用,小學數(shù)學：內容結構,統(tǒng)計與概率 ——數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)處理 ——概率初步認識 綜合與實踐 ——數(shù)學綜合 ——數(shù)學應用,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量與數(shù)、運算與估算 運算 ——從數(shù)量到數(shù)——從數(shù)量運算到數(shù)運算

33、 ——運算對象認識：數(shù)與數(shù)的表示 ——運算背景認識 ——運算法則 ——運算應用 估算 ——估算要素：單位、誤差、近似（逼近） ——估算分類,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量與數(shù)、運算與估算 運算 自然數(shù)及其運算 為什么數(shù)數(shù)是學習數(shù)學的

34、基礎？ 自然數(shù)的表示 整“個”數(shù)數(shù)——整“十”數(shù)數(shù)——整“百”整“千”數(shù)數(shù) 數(shù)數(shù)與加法定義 從一位數(shù)加到多位數(shù)的加,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量與數(shù)、運算與估算 運算 自然數(shù)及其運算 加、減、乘、除的順序

35、 ——不講加可否講減？ ——不講加、減，可否講除？,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量與數(shù)、運算與估算 運算 自然數(shù)及其運算 加、減、乘、除運算的意義 乘是加的簡便運算——乘的概念、乘對加的分配 除的意義：平均分、包含、乘的逆運算,數(shù)與代數(shù)—

36、—小學,數(shù)量與數(shù)、運算與估算 運算 分數(shù)及其運算 分數(shù)的意義 分數(shù)與除法 分數(shù)與單位 分數(shù)與百分數(shù) 分數(shù)與比 分數(shù)與小數(shù),數(shù)與代數(shù)——小學,

37、數(shù)量與數(shù)、運算與估算 運算 分數(shù)及其運算 分數(shù)的運算——單位作用 分數(shù)與整數(shù)運算 加 減 除 分數(shù)的乘法運算,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量與數(shù)、運算

38、與估算 估算 ——估算要素：單位、誤差、近似（逼近） ——估算分類 度量估計 比較：兩個量比較；與上、下界比較；決定范圍 求近似值,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量、關系與模型 ——數(shù)量的認識與分類 ——數(shù)量與運算

39、 ——基本實際模型： “路程、速度、時間”模型 “總價、單價、數(shù)量”模型 ——模型抽象：正比例關系與反比例關系 ——方程初步 ——簡單數(shù)學建模：初步學習進行量、量的關系分析,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量、關系與模型

40、 ——數(shù)量的認識、分類 幾何量 生活量 物理量,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量、關系與模型 ——數(shù)量與運算 一類量運算 兩類量運算,加、減,在同一類事物（同一個量）范圍，按加減

41、法分類——兩類 反映的都是部分與總數(shù)關系（求總數(shù)，求部分數(shù)）分別對應 ： 有3只小鳥，又飛來6只，一共是幾只？ 倆人一共有10個梨，一個人有4個，另一個人有幾個？,加、減,兩類事物（兩個量）的數(shù)量比較，按加減法分類——三類 反映兩個量的數(shù)量：大的、小的與差的關系（求相差數(shù)，求大數(shù)，求小數(shù)）。 分別對應： 學校里養(yǎng)了12只白兔，7只黑兔，白兔比黑兔多幾只？ 學校里養(yǎng)

42、了7只黑兔，白兔比黑兔多5只。學校里養(yǎng)了幾只白兔？ 學校里養(yǎng)了12只白兔，黑兔比白兔少5只。學校里養(yǎng)了幾只黑兔？,乘、除,在同一類事物（同一個量）范圍，按乘、除法分類——三類 反映這個量的總數(shù)數(shù)與各部份（各部分數(shù)量相同）的關系：知道每份數(shù)和份數(shù)，求總數(shù)： 同學們澆樹，每人澆4棵，3個人一共澆多少棵？知道總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)： 15條金魚，平均放在3個魚缸里，每個魚缸放幾

43、條？知道總數(shù)和每份數(shù)，求份數(shù)。 15條金魚，每個魚缸里放3條，要用幾個魚缸？,乘、除,兩類事物（兩個量）的數(shù)量比較，按乘、除法分類——三類 反映兩個量的倍數(shù)關系：知道大量的數(shù)量和小量的數(shù)量，求大的是小的幾倍數(shù)： 飼養(yǎng)組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨。小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？知道小量的數(shù)量和大量對小量的倍數(shù)，求大量的數(shù)量： 美術小組做黃花7朵，做紅花的

44、朵數(shù)是黃花的5倍。做了多少朵紅花？知道大量的數(shù)量和大量對小量的倍數(shù)，求小量的數(shù)量或求1倍數(shù)： 小林家養(yǎng)了36只母雞，正好是公雞只數(shù)的9倍。小林家養(yǎng)幾只公雞？,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量、關系與模型 ——基本實際模型： “路程、速度、時間”模型 “總價、單價、

45、數(shù)量”模型,典型應用問題,三個量形成基本關系 ——具體實際模型 反映“路程、速度、時間”基本模型 反映“總價、單價、數(shù)量”基本模型 其他，例如 反映“工程總量、進度、時間”基本模型 數(shù)量關系：絕對大小關系——絕對變化 相對大小關系——相對變化

46、 （速度、單價、進度、等等）,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量、關系與模型 ——模型抽象：正比例關系與反比例關系,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量、關系與模型 ——方程初步 加數(shù) + 加數(shù) ＝和 和 － 加數(shù) ＝差 被乘數(shù)×乘數(shù) ＝積

47、 被除數(shù)÷除數(shù) ＝商,數(shù)與代數(shù)——小學,數(shù)量、關系與模型 ——簡單數(shù)學建模：初步學習進行量、量的關系分析,小學數(shù)學：內容結構,圖形與幾何 ——圖形與分類 ——基本圖形與基本關系 ——研究方法 ——圖形應用,圖形與幾何——小學,圖形與分類 ——空間圖形 —

48、—平面圖形 ——直線圖形、曲線圖形,圖形與幾何——小學,基本圖形與基本關系： 基本圖形 ——數(shù)軸 ——方格紙 ——圓、等腰三角形？ 基本關系 ——圖形變換：平移、軸對稱、旋轉,圖形與幾何——小學,研究圖形的基本方法

49、 ——綜合推理 ——運動與變換 ——方格紙——坐標系與代數(shù)方法 ——度量與積分,圖形與幾何——小學,幾何（圖形）應用 ——運用圖形描述問題 ——運用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題思路 ——運用圖形表示（記憶）結果和解決問題過程,一些典型

50、問題,從算術到代數(shù),從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,問題：一支鉛筆4元，一支鋼筆7元，共有46元買10支筆，應如何購買？ 問題：一個籠子里裝著一些兔子和雞，共計20只，它們56條腿，試問：兔子和雞各有多少？,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術方法（一）嘗試（猜測）——調整 有的學生——嘗試：買4支鉛筆6支鋼筆， 供需要58元。 ——

51、調整：只有46元，不足，只能少買一些鋼筆；買1支鋼筆9支鉛筆，可否？需43元?！僬{整：自己有46元，還可多買鋼筆；買2支鋼筆8支鉛筆，恰為46元。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術方法（二）窮舉、列表 有的學生—— 羅列所有的可能： 從0支鉛筆、10支鋼筆； 1支鉛筆、9支鋼筆； ……… 10支鉛筆、0支鋼筆。 把各種情況下所需的錢算出來

52、。最后作出判斷。 這種方法好嗎？有沒有邏輯？給我們什么啟示？,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術方法（三）假設，推理 假設都買成鉛筆，供需40元； （46 – 40）/ （7 – 4）= 2 結果：買 8支鉛筆，2 支鋼筆。 為什么？,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法： 1、量的分析 鉛筆每支4元、鋼筆每支7元 （1） 鉛筆的數(shù)量、鋼筆的數(shù)量

53、 （2） 鉛筆和鋼筆的總量10支 （3） 一共擁有46元 （4）其中(1)(3)(4)是已知量,(2)是未知量.這些在討論問題過程中都是不變的。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,2、等量關系讓學生用自然語言敘述等量關系 等量關系1：鉛筆、鋼筆的數(shù)量之和是10支。 等量關系2：買鉛筆和鋼筆的費用之和是46元。 3、設未知數(shù)、列

54、方程第一種列方程方式：設未知量鉛筆的支數(shù)為x，利用等量關系1：鋼筆的數(shù)量為10-x,這樣，利用等量關系2，有： 4x+7(10-x)=46 。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,第二種列方程方式： 設鉛筆的支數(shù)為x，鋼筆的支數(shù)為y，則 x + y=10 （利用等量關系1） 4x+7y=46 （利用等量關系2） 4、 解方程。,,從算術到代

55、數(shù)例子：雞兔同籠問題,有兩種思維方法： 算術方法：嘗試，調整 窮舉，列表 假設，推理 代數(shù)方法：分析問題中的量，確定等量關 系，設未知數(shù)，列方程（不同方式），解方程。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,嘗試——調整求 的值二分法 排序優(yōu)選法微積分、數(shù)值計算等大部分數(shù)學課程這

56、種方法本質上是“逼近”，在數(shù)學研究特別是數(shù)學應用中，她是非?；镜脭?shù)學思想，也是一種重要的方法。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,窮舉，列表學生很容易在老師的誘導下，通過窮舉、列表法做出判斷。在“分類”討論是數(shù)學思考問題的基本思想，窮舉、列表等是最基本、重要的一種方法。為了把所有的情況表示清楚，我們常常采用這種方法。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,假設、推理假設有10支鉛筆，0支鋼筆，則一共需要40元。如何使用余下的6元？

57、我們知道： 1支鋼筆7元=1支鉛筆4元+3元 這樣，可以用2支鉛筆加6元換兩支鋼筆。由此可知 46元可買8支鉛筆，2支鋼筆。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術方法小結：從數(shù)學上來講，前兩種方法更重要一些，它們體現(xiàn)了數(shù)學基本思想——逼近、分類。它們也是數(shù)學的通性通法，在今后學習中非常有用。希望老師幫助學生掌握。從學生認知來說，前兩種方法也是學生容易接受的方法。它們反映了比較自然的解決問題過程。很多老

58、師更喜歡用第三種方法來解決類似問題，但這對于部分學生有一定難度。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法——方程：1、量的分析2、等量關系3、設未知數(shù)、列方程4、 解方程5、討論解的實際意義,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法特征：分析規(guī)律表示規(guī)律 解決問題討論問題的意義,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術方法基本特征：算——數(shù)（加—減、乘、除）基本特征：用“術”——算（有規(guī)律地算）基本特征：不同

59、的算法—— 不同的計算途徑或程序基本特征：解決一個一個的具體問題 通過“術”和“算”解決的問題是算術問題。 通過“術”和“算”體現(xiàn)邏輯思維—演繹。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法基本特征：用字母代替數(shù)基本特征：用字母表示規(guī)律 量之間的相等關系、不等關系、函數(shù)關系基本特征：通過字母的運算和運算規(guī)律

60、 ——解決問題基本特征：不同的算法—— 不同的計算途徑或程序基本特征：一類一類地解決問題,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法 通過字母的運算和運算規(guī)律解決的問題是代數(shù)問題。 通過運算和運算規(guī)律體現(xiàn)邏輯思維—演繹。,算術方法與代數(shù)方法 共性： 通過“算”和“算律”解決問題 通過

61、“算”和“算律”體現(xiàn)數(shù)學的邏輯思維 不同： “算數(shù)”——“算字母” 解決具體問題——解決一類問題,從算術到代數(shù) 例子：雞兔同籠問題,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術方法與代數(shù)方法都是解決數(shù)學問題重要方法。學習代數(shù)方法，不是要取代算術方法，在進一步數(shù)學學習、數(shù)學研究中，算術方法仍然會發(fā)揮重要作用?！皬乃阈g到代數(shù)過渡”是一個重要學習階段，通過小學、初中數(shù)學學習，完成這個過渡

62、。需要有一個整體思考。,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法的基本特征： 一類一類解決問題，這是數(shù)學解決問題的重要思想。 近年來，提出并強調一個重要的數(shù)學概念： 模 型,從算術到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,實例：雞兔同籠 x + y = a bx + cy = d