第5節(jié) 條件概率

1、一、條件概率,二、乘法定理,三、全概率公式與貝葉斯公式,四、小結,第五節(jié)　條件概率,,將一枚硬幣拋擲兩次 ,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設事件 A為 “至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”. 現(xiàn)在來求已知事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.,分析,事件A 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率,記為,1. 引例,一、條件概率,,,,同理可得,為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率.,2. 定義,3. 性質(zhì),,,二

2、、 乘法定理,例1 在標有1,2,3,4,5這5個數(shù)字的卡片里,無放回地抽取兩次,一次一張,求 (1)第一次取到奇數(shù)卡片的概率; (2)已知第一次取到偶數(shù),求第二次取到奇數(shù)卡片的概率; (3)第二次才取到奇數(shù)卡片的概率.,例2 某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8, 活到25歲以上的概率為0.4, 如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物, 問它能活到25歲以上的概率是多少?,設 A 表示“ 能活

3、 20 歲以上 ” 的事件，B 表示 “ 能活 25 歲以上”的事件,,則有,解,例4 五個鬮, 其中兩個鬮內(nèi)寫著“有”字， 三個鬮內(nèi)不寫字 ，五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?,解,則有,抓鬮是否與次序有關?,依此類推,故抓鬮與次序無關.,例5 一個罐子中包含b個白球和r個紅球. 隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進 c 個與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進行四次 ，試求第一、二次取

4、到白球且第三、四次取到紅球的概率.,波里亞罐子模型,于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球. ”,,隨機取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.,解 設 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4,Rj={第j次取出是紅球}， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,,,,,當 c > 0 時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.

5、 這是一個傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),例6 設某光學儀器廠制造的透鏡, 第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率為7/10 , 若前兩次落下未打破, 第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”.,所

6、以,1. 樣本空間的劃分,,,,,,三、全概率公式與貝葉斯公式,,2. 全概率公式,全概率公式,圖示,,,,,,,證明,化整為零各個擊破,,說明 全概率公式的主要用處在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.,例7 有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占 30% ，二廠生產(chǎn)的占 50% ，三廠生產(chǎn)的占 20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2% ，

7、1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?,設事件 A 為“任取一件為次品”,,解,由全概率公式得,,,30%,,20%,50%,,2%,1%,1%,稱此為貝葉斯公式.,,,3. 貝葉斯公式,證明,例8,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由貝葉斯公式得,解,例9,由貝葉斯公式得所求概率為,上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后驗概率.,先驗