導數(shù)結合洛必達法則巧解高考壓軸題

1、設函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍解析：解法1：令g(x)=(x1)ln(x1)ax，對函數(shù)g(x)求導數(shù)：g′(x)=ln(x1)1a，令g′(x)=0，解得x=ea11.(1)當a≤1時，對所有x＞0g′(x)＞0所以g(x)在［0，∞)上是增函數(shù).又g(0)=0，所以對x≥0，有g(x)≥g(0)即當a≤1時，對于所有x≥0，都有f(x)≥ax.(2)當a＞1時，

2、對于0＜x＜ea11，g′(x)＜0所以g(x)在(0ea11)是減函數(shù).又g(0)=0，所以對0＜x＜ea11，有g(x)＜g(0)，即f(x)＜ax.所以當a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立.綜上a的取值范圍是(∞1］.解法2：令g(x)=(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)≥ax成立即為g(x)≥g(0)成立.對g(x)求導數(shù)得g′(x)=ln(x1)1a令g′(x)=0，解得x=ea11當x＞ea11時

3、，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，當1＜x＜ea11時，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù).要對所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要條件為ea11≤0.由此得a≤1，即a的取值范圍是(∞1].1.23111!2!3!!(1)!nnxxxxxxxeenn???????????其中；(01)???2.231ln(1)(1)2!3!!nnnxxxxxRn??????????其中；111(1)()(1)!1nnnnxRnx???????3.35

4、211sin(1)3!5!(21)!kknxxxxxRk???????????其中；21(1)cos(21)!kknxRxk?????4.24221cos1(1)2!4!(22)!kknxxxxRk???????????其中；2(1)cos(2)!kknxRxk???從而在上單調(diào)遞增，且，因此當時，，當()hx(0)??(1)0h?(01)x?()0hx?時，；當時，，當時，，所(1)x???()0hx?(01)x?()0gx?(1)x

5、???()0gx?以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.()gx(01)(1)??由洛必達法則有，2211112ln2ln2ln2lim()lim(1)1lim1lim0112xxxxxxxxxgxxxx???????????????即當時，，即當，且時，.1x?()0gx?0x?1x?()0gx?因為恒成立，所以.綜上所述，當，且時，成()kgx?0k?0x?1x?ln()1xkfxxx???立，的取值范圍為.k(0]??，設函數(shù).2()1x

6、fxexax????（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；0a?()fx（Ⅱ）當時，，求的取值范圍.0x?()0fx?a應用洛必達法則和導數(shù)應用洛必達法則和導數(shù)（Ⅱ）當時，，即.0x?()0fx?21xexax???①當時，；②當時，等價于.0x?aR?0x?21xexax???21xexax???記，則.21()xexgxx???(0)x??，3(2)2()xxexgxx????記，則，當時，()(2)2xhxxex????(0)x??，()(1)