第14講柯西中值定理與洛必達(dá)法則2009

1、《數(shù)學(xué)分析《數(shù)學(xué)分析I》第》第14講教案講教案1第1414講柯西中值定理與洛必達(dá)法則柯西中值定理與洛必達(dá)法則授課題目授課題目柯西中值定理與洛必達(dá)法則教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容1.柯西中值定理；2.洛必達(dá)法則教學(xué)目的教學(xué)目的和要求和要求通過(guò)本次課的教學(xué)，使學(xué)生能較好地了解柯西中值定理，掌握用洛必達(dá)法則求各種不定式極限掌握洛必達(dá)法則00型定理的證明.教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：洛必達(dá)法則求各種不定式極限；教學(xué)難點(diǎn)：洛必達(dá)法則定理的證明.教學(xué)

2、方法教學(xué)方法及教材處及教材處理提示理提示(1)本講的重點(diǎn)是掌握用洛必達(dá)法則求各種不定式極限，特別強(qiáng)調(diào)洛必達(dá)法則在極限計(jì)算中的重要性，是計(jì)算極限的一種常用的有效方法.(2)采用講練結(jié)合的授課方式，通過(guò)舉例的形式，總結(jié)和歸納求各種不定式極限的方法，使每一位學(xué)生都能掌握此法則(3)本講的難點(diǎn)是洛必達(dá)法則定理的證明，特別是??型的證明，但要求學(xué)生掌握洛必達(dá)法則00型定理的證明(4)了解柯西中值定理.作業(yè)布置作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材:2，3，5（2

3、，4，6，8，10，12），7（5，8）.133P講授內(nèi)容講授內(nèi)容一、柯西中值定理一、柯西中值定理定理定理6.5(柯西（cauchy）中值定理)設(shè)函數(shù)和滿足(i)在上都連續(xù)；(ii)在()上都可導(dǎo)；fg][baba(iii)不同時(shí)為零；(iv)則存在使得)()(xgxf??和)()(bgag?)(ba??.)()()()()()(agbgafbfgf???????證：證：作輔助函數(shù)易見(jiàn)在)上滿足羅爾定理)).()(()()()()()(

4、)()(agxgagbgafbfafxfxF??????)(xF][ba條件，故存在，使得)(ba??.0)()()()()()()(???????????gagbgafbffF因?yàn)?否則由上式也為零)，所以得證.0)(???g)(?f?例1設(shè)函數(shù)在[ab]上連續(xù)，在()內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得f)0(?aba)(ba??.ln)()()(abfafbf?????證：證：設(shè)，顯然它在上與xxgln)(?][ba)(xf《數(shù)學(xué)分析《數(shù)學(xué)分析I

5、》第》第14講教案講教案3??0limx例4求.1xex?解：這是型不定式極限，可直接運(yùn)用洛必達(dá)法則求解但若作適當(dāng)變換，在計(jì)算上可方便些為00此，令，當(dāng)時(shí)有，于是有xt???0x??0t.11lim1lim1lim000?????????????ttttxxteetee2型不定式極限型不定式極限??定理定理6.7若函數(shù)和g滿足：(i)ii）在某右鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，f)(lim)(lim00???????xgxfxxxx)(00xU?且（

6、iii）(A可為實(shí)數(shù)，也可為)，則0)(??xgAxgxfxx?????)()(lim0??.)()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx????????注：注：定理6.7對(duì)于?；虻惹樾我灿邢嗤慕Y(jié)論00xxxx????????xx例5求解：.lnlimxxx???.01lim)()(lnlimlnlim??????????????xxxxxxxx例6求解：解：.lim3xexx???.6lim6lim3limlim23?

7、?????????????????xxxxxxxxexexexe注：注：不能對(duì)任何比式極限都按洛必達(dá)法則求解首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達(dá)法則的其他條件，雖然是型，但若不顧條件隨便使用洛必達(dá)法則：1sinlim????xxxx??就會(huì)因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯(cuò)誤結(jié)論1cos1limsinlimxxxxxx???????3其他類(lèi)型不定式極限其他類(lèi)型不定式極限不定式極限還有等類(lèi)型它們一般均可化為型或??型的