托勒密定理及圓的其它定理

1、托勒密定理定理圖定理的內(nèi)容托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積。原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線(xiàn)所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)定理提出定理的內(nèi)容。摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積。定

2、理表述：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線(xiàn)所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)定理內(nèi)容指圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積。證明一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD連接DE.則△ABE∽△ACD所以

3、BECD=ABAC即BEAC=ABCD(1)證明：如圖1，過(guò)C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD②。①②得AC(BPDP)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC四、廣義托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD四邊長(zhǎng)分別為abcd兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為mn，則有：m^2n

4、^2=a^2c^2b^2d^22abcdcos(AC)推論1.任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCDADBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、推廣托勒密不等式：凸四邊形的兩組對(duì)邊乘積和不小于其對(duì)角線(xiàn)的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線(xiàn)。簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(ab)(cd)(ad)(bc)=(ac)(bd)，兩邊取模，得不等