各種圓定理總結

1、費爾巴赫定理費爾巴赫定理費爾巴赫定理三角形的九點圓與內切圓內切，而與旁切圓外切。此定理由德國數(shù)學家費爾巴赫（KWFeuerbach，1800—1834）于1822年提出。費爾巴赫定理的證明費爾巴赫定理的證明在不等邊△ABC中設OHIQIa分別表示△ABC的外心，垂心，內心，九點圓心和∠A所對的旁切圓圓心.sRrra分別表示△ABC的半周長，外接圓半徑，內切圓半徑和∠A所對的旁切圓半徑BC=aCA=bAB=c.易得∠HAO=|BC|∠HA

2、I=∠OAI=|BC|2AH=2RcosAAO=RAI=√[(sa)bcs]AIa=√[sbc(sa)]在△AHI中，由余弦定理可求得:HI^2=4R^24Rr3r^2s^2在△AHO中，由余弦定理可求得:HO^2=9R^28Rr2r^22s^2在△AIO中，由余弦定理可求得:OI^2=R(R2r).∵九點圓心在線段HO的中點∴在△HIO中，由中線公式可求得.4IQ^2=2(4R^24Rr3r^2s^2)2(R^22Rr)(9R^28R

3、r2r^22s^2)=(R2r)^2故IQ=(R2r)2.又△ABC的九點圓半徑為R2所以九點圓與內切圓的圓心距為d=R2r=(R2r)2=IQ.因此三角形的九點圓與內切圓內切。在△AHIa中，由余弦定理可求得:IaH^2=4R^24Rrr^2s^22(ra)^2在△AOIa中，由余弦定理可求得:IaO^2=R(R2ra).在△HIaO中，由中線公式可求得.4IaQ^2=2(4R^24Rrr^2s^22ra^2)2(R^22Rra)(9

4、R^28Rr2r^22s^2)=(R2ra)^2故IaQ=(R2ra)2.九點圓與∠A的旁切圓的圓心距為d=R2ra=(R2ra)2=IaQ.故三角形的九點圓與∠A的旁切圓外切。二、設ABCD是圓內接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。在AC上取一點K，使得∠ABK=∠CBD；因為∠ABK∠CBK=∠ABC=∠CBD∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD~

5、△KBC。因此AKAB=CDBD，且CKBC=DABD；因此AKBD=ABCD，且CKBD=BCDA；兩式相加，得(AKCK)BD=ABCDBCDA；但AKCK=AC，因此ACBD=ABCDBCDA。證畢。三、托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)已知：圓內接四邊形ABCD，求證：ACBD＝ABCD＋ADBC證明：如圖1，過C作C

6、P交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD②。①＋②得AC(BP＋DP)=ABCD＋ADBC即ACBD=ABCD＋ADBC推論1.任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCDADBC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積